1、考研数学三-158 及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在点 x=a 可导，则极限_=f(a)A BC D （分数：4.00）A.B.C.D.2.当 x0 时，已知 ，则 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 f(x+y，xy)=x 2+y2+xy，则 df(x，y)=_A2xdx-dy B2xdx+dy C-2xdx+dy D-2xdx-dy（分数：4.00）A.B.C.D.4.设平面区域 D 由 x=0，y=0，x+y=1/2，x+y=1 围成，若（分数：4.00）A.B.C.D.5.设 ， ， ， （分数：4
2、.00）A.B.C.D.6.设线性方程组（分数：4.00）A.B.C.D.7.设 A，B，C 是三个两两相互独立的事件，且 P(ABC)=0，0P(C)1，则一定有_AP(ABC)=P(A)P(B)P(C)BP(A+B| （分数：4.00）A.B.C.D.8.已知随机变量 X 的密度函数 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.若 （分数：4.00）填空项 1:_10.设 a，b 是某两个常数，且 （分数：4.00）填空项 1:_11.设 =5，则 （分数：4.00）填空项 1:_12.求极限 （分数：4.00）填空项 1:_13.已知二次型f(x1，x
3、 2，x 3)= 经正交变换化为标准形 f(x1，x 2，x 3)= （分数：4.00）填空项 1:_14.设 A，B，C 是三个随机事件， （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)设 f(x)在a，b上连续，且 f(x)0，又（分数：10.00）(1).F(x)2（分数：5.00）_(2).F(x)=0 在a，b内有一且有一个实根（分数：5.00）_15.计算二重积分 （分数：10.00）_16.设变换 把方程化为 （分数：10.00）_已知商品的需求量 D 和供给量 S 都是价格 p 的函数：D=D(p)= ，s=s(p)=bp，其中 a0，b0 为常数；
4、价格 p 是时间 t 的函数，且满足方程（分数：9.99）(1).需求量等于供给时量时的均衡价格 pe（分数：3.33）_(2).价格函数 p(t)（分数：3.33）_(3).极限*（分数：3.33）_17.已知某二阶常系数线性非齐次微分方程的通解为（分数：10.00）_18.设 A 为三阶实对称矩阵， 1=8， 2= 3=2 是其特征值已知对应 1=8 的特征向量为 1=1，k，1T，对应 2= 3=2 的一个特征向量为 2=-1，1，0 T试求参数 k 及 2- 3=2 的另一个特征向量和矩阵A（分数：11.00）_已知三元二次型f(x1，x 2，x 3)=XTAX，矩阵 A 的对角元素之
5、和为 3，且 AB+B=0，其中B= （分数：11.01）(1).用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的坐标变换（分数：3.67）_(2).求出此二次型（分数：3.67）_(3).若 =4，-1，0 T，求 An（分数：3.67）_设随机变量 的分布密度为（分数：11.01）(1).求系数 A（分数：3.67）_(2).求 P(-1/21/2)（分数：3.67）_(3).求 E()和 D()（分数：3.67）_设随机变量 X，Y 相互独立，X 在区间0，5上服从均匀分布，Y 服从参数为 1 的指数分布，令 Z=maxX，Y.（分数：11.00）(1).求随机变量 Z=max(X，Y)的概率
6、密度（分数：5.50）_(2).计算 P(X+Y1)（分数：5.50）_考研数学三-158 答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)在点 x=a 可导，则极限_=f(a)A BC D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 利用函数导数的定义求函数的极限但也可利用下述结论观察求出：设 f(x)在点 x0处可导，且对任意两常数 r1与 r2，有2.当 x0 时，已知 ，则 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 先作变量代换 lnx=t，求出 f(x)，再用分部积分法求之这是因为被积函数含有导数因子原式= ，令
7、 lnx=t，即 x=et，于是有 f(t)= ，则3.设 f(x+y，xy)=x 2+y2+xy，则 df(x，y)=_A2xdx-dy B2xdx+dy C-2xdx+dy D-2xdx-dy（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 先求出 f(x，y)的表示式，再求其微分因 f(x+y，xy)=x 2+y2+xy=x2+y2+2xy-xy=(x+y)2-xy，故，显然其偏导数 都连续，故 f(x，y)可微，且4.设平面区域 D 由 x=0，y=0，x+y=1/2，x+y=1 围成，若（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 积分区域相同，只需比较被积分函数的大小，由积分区域应
8、看出：1/2x+y1据此可比较被积函数大小，因 1/2x+y1，故ln(x+y)sin(x+y)x+y,从而ln(x+y) 7sin(x+y) 7(x+y) 7于是仅 C 入选5.设 ， ， ， （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 利用与对角阵相似的充分条件判别之，易求得矩阵 A 的特征值是 1，3，5因为它们是三个不同的特征值，所以 A矩阵 B 特征值是 2，2，5，由于，所以，=2 只有一个线性无关的特征向量，因而矩阵 B 不能相似对角化，矩阵 C 是实对称矩阵，故必有 C矩阵 D 的特征值也是 2，2，5由于秩6.设线性方程组（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 先
9、求出方程组的系数矩阵的秩 r(A)，然后由 n-r(A)确定对系数矩阵作初等行变换7.设 A，B，C 是三个两两相互独立的事件，且 P(ABC)=0，0P(C)1，则一定有_AP(ABC)=P(A)P(B)P(C)BP(A+B| （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 直接利用事件的运算法则计算即可8.已知随机变量 X 的密度函数 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 可由随机变量落入区间内的概率的几何意义确定，也可算出结果分析解一 因连续型随机变量落入某一区间的概率等于密度曲线在该区间上的曲边梯形面积，故P(x+a)随 a 的增大而增大，仅 C 入选解二 由 f(x)dx=
10、1 可求得 A=e ，故P(x+a)=二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.若 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 两分段函数的分段点相同，且仅有一个分段点常用分段代入法求其复合函数，且常将内层函数的表达式代入，然后将外层函数的表达式代入，常简称“先内后外法”当 0x1 时，1(x)=2 x2，故f(x)=f(2 x)=ln2x=xln2当 x=1 时，(x)=1，f(x)=1当 1x2 时，0(x)=x-11，则f(x)=f(x-1)=1-(x-1)=2-x综上，可得10.设 a，b 是某两个常数，且 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：，0 ）解
11、析：解析 由所给极限与 =+，得到事实上，如 的极限不等于 0，那么所给极限必不等于常数，与题设 =b(b 为常数)矛盾由及即可求得 a 的值，再用洛比达法则还可求得 b解一 因 得 a=-于是解二 利用二重积分可算出此结果：，故11.设 =5，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：10ln3）解析：解析 由所给极限及 (3x-1)=0 得到，从而 (x0)因故12.求极限 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 解一 利用定积分定义求之，为此先将其化为积和式解二13.已知二次型f(x1，x 2，x 3)= 经正交变换化为标准形 f(x1，x 2，x 3)=
12、（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0，0）解析：解析 由标准形即知二次型矩阵 A 的特征值，将其代入特征多项式可得 a，b 满足的两个方程，解之即得 a，b对应二次型矩阵 A14.设 A，B，C 是三个随机事件， （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：6）解析：解析 利用和事件概率的计算公式求之，因未给出 P(AC)与 P(BC)，仅给出 P(ACBC)，需将三事件之和 ABC 看成两事件 AB 与 C 之和，利用两事件之和的概率公式计算因为三、解答题(总题数：9，分数：94.00)设 f(x)在a，b上连续，且 f(x)0，又（分数：10.00）(1).F(x)2（分数：
13、5.00）_正确答案：(证明 )解析：解析 利用不等式 a2+b22ab 证之；(2).F(x)=0 在a，b内有一且有一个实根（分数：5.00）_正确答案：(因 F(x)2，故 F(x)在a，b上单调增加，所以 F(x)=0 在a，b上至多有一个实根，又F(a)= 0，F(b)= )解析：解息 利用 F(a)0，F(b)0 及介值定理证之15.计算二重积分 （分数：10.00）_正确答案：(解一 设D1=(x，y)|-1x1，0y1，D2=(x，y)|x 2+y22y，y1，则 D=D1D 2，如下图所示于是为计算 ，可引入极坐标x=rcos，y-1=rsin，于是 D2=(r，)|0，0r
14、1，则有综上所述，解二 直接把区域 D 写成不等式形式：D=(x，y)|-1x1，0y ，从而 )解析：解析 将积分区域 D 分为两部分，分别使用直角坐标和极坐标计算，或者直接在 D 上使用直角坐标计算16.设变换 把方程化为 （分数：10.00）_正确答案：( ，将上述所求结果代入所给的方程，得到当 a=-2 时，上方程化为，即 )解析：解析 视 u，v 为中间变量，将所给方程化为以 u，v 为自变量的微分方程，再由所给条件求出a已知商品的需求量 D 和供给量 S 都是价格 p 的函数：D=D(p)= ，s=s(p)=bp，其中 a0，b0 为常数；价格 p 是时间 t 的函数，且满足方程（
15、分数：9.99）(1).需求量等于供给时量时的均衡价格 pe（分数：3.33）_正确答案：(令 D(p)=S(p)，解得均衡价格 pe= )解析：(2).价格函数 p(t)（分数：3.33）_正确答案：(由于 ，即这可化为一阶线性微分方程：，即 ，则 p3=e-3kbdt (e 3kbdt 3kbpedt+C)=e-3kbt(e3kbtpe+C)由 t=0 时，p=1，得到 C=1-pe，则有p3(t)=pe+(1-pe)e-3kbt，即 )解析：(3).极限*（分数：3.33）_正确答案：( )解析：解析 为求价格函数 p(t)需解微分方程此方程为一阶方程，可按通解公式求其解，然后再求出其极
16、限17.已知某二阶常系数线性非齐次微分方程的通解为（分数：10.00）_正确答案：(由通解可知，特征根 1=1， 2=-1于是特征方程为(-1)(+1)= 2-1=0，故对应的齐次方程为 y“-y=0该非齐次方程设为y“-y=f(x)，其中 f(x)为其非齐次项由其通解知为其一特解，将其代入 y“-y，得到 f(x)=(y*)“-y*，即)解析：解析 由通解形式写出特征方程，得对应齐次微分方程由特解求出非齐次项 f(x)18.设 A 为三阶实对称矩阵， 1=8， 2= 3=2 是其特征值已知对应 1=8 的特征向量为 1=1，k，1T，对应 2= 3=2 的一个特征向量为 2=-1，1，0 T
17、试求参数 k 及 2- 3=2 的另一个特征向量和矩阵A（分数：11.00）_正确答案：(因 1， 2是实对称矩阵 A 的属于不同特征值的特征向量，故有 =0，即，故有 k=1，即 1=1，1，1 T设 2= 3=2 的属于 A 的另一特征向量为 3=x1，x 2，x 3T，则 =0为保证 2， 3线性无关，可进一步要求 =0，这样有由 ，得到基础解系为-1/2，-1/2，1 T.为方便计，取 3=1，1，-2 T再由 A 1， 2， 3=A 1，A 2，A 3= 1 1， 2 2， 3 3得 A= 1 1， 2 2， 3 3 1， 2， 3-1= )解析：解析 利用实对称矩阵特征向量的性质求
18、之已知三元二次型f(x1，x 2，x 3)=XTAX，矩阵 A 的对角元素之和为 3，且 AB+B=0，其中B= （分数：11.01）(1).用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的坐标变换（分数：3.67）_正确答案：(令 = 1， 2， 3， i为 B 的列向量，显然 1， 2线性无关， 3= 1+ 2，因而 r(B)=2，由 AB=-B 得到A 1， 2， 3=- 1， 2， 3，即 A 1=- 1，A 2=- 2，A 3=- 3因 1， 2线性无关，故属于特征值-1 的有两个线性无关的特征向量，所以 1= 2=-1 为二重特征值又因 A 的主对角线上的元素之和为 1+ 2+ 3=3，
19、故另一特征值为 3=5设属于 3=5 的特征向量为 =x 1，x 2，x 3T，则=0， =0解 即因 ，故 =1，1，1 T对 1， 2进行施密特正交化得到再将 1， 2， 3单位化，得到令 Q= 1， 2， 3，则 Q 为正交矩阵，且经正交变换 X=QY 后，二次型的标准形为)解析：(2).求出此二次型（分数：3.67）_正确答案：(由 ，得到 ，故 f=XTAX= )解析：(3).若 =4，-1，0 T，求 An（分数：3.67）_正确答案：(设 =k 1 1+k2 2+k3 3，解得 k1=3，k 2=-2，k 3=1因此 =3 1-2 2+，而 A 1=- 1，A 2=- 2，A=5
20、，故 An=A n(31-22+)=3A n 1-2An 2+An=3(-1)n 1-2(-1)n 2+5n= )解析：解析 先由 AB=-B，B= 1， 2， 3得到 A i=- i(i=1，2，3)，从而求出 A 的部分特征值及其特征向量再由主对角元素之和为 3 即可求出 A 的全部特征值，再由特征向量正交，求出其余的特征向量，再正交单位化，即可得到正交变换矩阵 Q，从而可求出 A，将 写成特征向量的线性组合即可求出An，设随机变量 的分布密度为（分数：11.01）(1).求系数 A（分数：3.67）_正确答案：(由 1= )解析：(2).求 P(-1/21/2)（分数：3.67）_正确答案：( )解析：(3).求 E()和 D()（分数：3.67）_正确答案：( )解析：解析 先由设随机变量 X，Y 相互独立，X 在区间0，5上服从均匀分布，Y 服从参数为 1 的指数分布，令 Z=maxX，Y.（分数：11.00）(1).求随机变量 Z=max(X，Y)的概率密度（分数：5.50）_正确答案：(随机变量 X 与 Y 的分布函数分别为故于是 Z 的概率密度为)解析：(2).计算 P(X+Y1)（分数：5.50）_正确答案：()解析：解析 随机变量 Z=max(X，Y)的分布函数就是随机变量 X 与 Y 的分布函数的乘积，据此可求得 Z的概率密度
