1、考研数学三-157 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设有无穷级数 则（分数：4.00）A.B.C.D.2.以一种检验方法诊断癌症，真患癌症和未患癌症被诊断正确的概率分别为 0.95 和 0.90今对一批患癌症比率为 2%的人用此方法进行检验，则其中某人被诊断为患有癌症时，他真的患有癌症的概率为（分数：4.00）A.0.462B.0.362C.0.262D.0.1623.设 n 维列向量组 1， 2， m(mn)线性无关，则 n 维列向量组 1， 2， m线性无关的充分必要条件为（分数：4.00）A.向量组 1， 2， m可由向
2、量组 1， 2， m线性表示B.向量组 1， 2， m可由向量组 1， 2， m线性表示C.向量组 1， 2， m与向量组 1， 2， m等价D.矩阵 A= 1， 2， m与矩阵 B= 1， 2， m等价4.设 f(x)在点 x=0 处二阶可导，且 f(0)=0，令（分数：4.00）A.B.C.D.5.若函数 f(x)在 x0处取得极小值，则下列命题中正确的是（分数：4.00）A.f(x)在(x 0-，x 0)内单调减少，在(x 0，x 0+)内单调增加B.在(x 0-，x 0)内 f(x)0，在(x 0，x 0+)内 f(x)0C.f(x0)=0，且 f(x0)0D.对任意 x(x 0-，x
3、 0)6.设函数 f(x)在(-，+)内连续， （分数：4.00）A.B.C.D.7.设随机变量 XN(0，1)，yN(1，4)，且 X 与 Y 相互独立，则（分数：4.00）A.P(X+Y0)=P(X+Y0)B.P(X+Y1)=P(X+Y1)C.P(X-Y1)=P(X-Y0)D.P(X-Y1)=P(X-Y1)8.已知 1， 2， 3为三阶方阵 A 的三个不同的特征值，对应特征向量依次为 1， 2， 3，令 P=- 1，2 2，3 3，则 P-1AP=（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x)有一阶连续导数，且 f(0)=0，f(0)=1，则
4、（分数：4.00）填空项 1:_10.差分方程 yx+1+2yx=5x2的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_11.设 （分数：4.00）填空项 1:_12.z=f(u，x，y)，u=x 2ey，其中 f 具有连续的二阶偏导数，则 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 A 为三阶方阵，且|A|=2，则|2(A *)-1|= 1（分数：4.00）填空项 1:_14.已知 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)连续，且积分 （分数：10.00）_16.一向上凸的光滑曲线连接了 0(0，0)和 A(1，4)两点，而 P(x，y)为曲线上的
5、任一点，已知曲线与线段OP 所围区域的面积为 x4/3，求该曲线方程（分数：10.00）_17.设 （分数：10.00）_18.已知某商品的需求量 D 和供给量 S 都是价格 P 的函数，且其中 a0，b0 为常数，价格 P 是时间 t 的函数且满足方程，k 为正常数，试求()价格函数 p(t)；() （分数：10.00）_19.计算 其中 D：x 2+y2ax(a0)，()求 l(a)；()求 （分数：10.00）_20.设某产品的成本函数为 C(g)=q 2+2q+，需求函数为 （分数：10.00）_21.设齐次线性方程组（分数：10.00）_22.设随机变量 Y 服从参数为 =1 的泊松
6、分布，随机变量 （分数：10.00）_23.设 Z=lnXN(， 2)，即 X 服从对数正态分布，验证 （分数：14.00）_考研数学三-157 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设有无穷级数 则（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 *2.以一种检验方法诊断癌症，真患癌症和未患癌症被诊断正确的概率分别为 0.95 和 0.90今对一批患癌症比率为 2%的人用此方法进行检验，则其中某人被诊断为患有癌症时，他真的患有癌症的概率为（分数：4.00）A.0.462B.0.362C.0.262D.0.162 解析：解析 设 A1=
7、“他患有癌症”，A 2=“他未患癌症”，B=“诊断为癌症”，则P(A1)=0.02，P(A 2)=0.98，P(B|A 1)=0.95，P(B|A 2)=1-0.90=0.10，根据贝叶斯公式可得*故选 D3.设 n 维列向量组 1， 2， m(mn)线性无关，则 n 维列向量组 1， 2， m线性无关的充分必要条件为（分数：4.00）A.向量组 1， 2， m可由向量组 1， 2， m线性表示B.向量组 1， 2， m可由向量组 1， 2， m线性表示C.向量组 1， 2， m与向量组 1， 2， m等价D.矩阵 A= 1， 2， m与矩阵 B= 1， 2， m等价 解析：解析 举反例说明取
8、*则 1线性无关， 1线性无关，但(A)(B)(C)均不成立，故选 D4.设 f(x)在点 x=0 处二阶可导，且 f(0)=0，令（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 *故应选 D5.若函数 f(x)在 x0处取得极小值，则下列命题中正确的是（分数：4.00）A.f(x)在(x 0-，x 0)内单调减少，在(x 0，x 0+)内单调增加B.在(x 0-，x 0)内 f(x)0，在(x 0，x 0+)内 f(x)0C.f(x0)=0，且 f(x0)0D.对任意 x(x 0-，x 0) 解析：解析 函数在 x0处取极小值并没有告知是否可导，因此(B)(C)不该入选极值定义中也没有提及单
9、调性问题，可知(A)不该入选，故选(D)6.设函数 f(x)在(-，+)内连续， （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 *故应选 C7.设随机变量 XN(0，1)，yN(1，4)，且 X 与 Y 相互独立，则（分数：4.00）A.P(X+Y0)=P(X+Y0)B.P(X+Y1)=P(X+Y1) C.P(X-Y1)=P(X-Y0)D.P(X-Y1)=P(X-Y1)解析：解析 因为 X 与 Y 相互独立，则 XY 仍服从正态分布，且 Y+YN(1，5)，X-YN(-1，5)，由正态分布的性质知，随机变量 X+Y 在其数学期望左、右两侧取值的概率相等，均为*，故选 B8.已知 1， 2，
10、3为三阶方阵 A 的三个不同的特征值，对应特征向量依次为 1， 2， 3，令 P=- 1，2 2，3 3，则 P-1AP=（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 因为 1=- 1， 2=2 1， 3=3 3分别为 1， 2， 3的特征向量，故当 P=- 1，2 3，3 3= 1， 2， 3时，有*，故选(B)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x)有一阶连续导数，且 f(0)=0，f(0)=1，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：e）解析：解析 *10.差分方程 yx+1+2yx=5x2的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解
11、析 特征方程为 +2=0，则 =-2，于是对应的齐次方程的通解为yA=C(-2)x设非齐次方程的一个特解为*，将其代入方程得B0+B1(x+1)+B2(x+1)2+2(B0+B1x+B2x2)=5x2，整理得 3B 0+B1+B2+(3B1+3B2)x+3B2x2=5x2比较同次项系数，得*于是特解为*故所求方程的通解为*11.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 *f(x)=3x2+g(x)-l，g(x)=4x-f(x)+2k以上两式分别在0，1上对 x 积分，得*解之得*12.z=f(u，x，y)，u=x 2ey，其中 f 具有连续的二阶偏导数，则 （分数：4.
12、00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 *13.设 A 为三阶方阵，且|A|=2，则|2(A *)-1|= 1（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：解析 由题设可知*故|2(A *)-1|=23|(A*)-1|=214.已知 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 因为 1， 2， 3线性无关，而*则 1+ 2， 2+2 3，X 3+Y 1线性相关*三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)连续，且积分 （分数：10.00）_正确答案：(*)解析：16.一向上凸的光滑曲线连接了 0(0，0)和 A(1，4)两点，而 P(x，y
13、)为曲线上的任一点，已知曲线与线段OP 所围区域的面积为 x4/3，求该曲线方程（分数：10.00）_正确答案：(设曲线方程为 y=y(x)，则有*代入 x=1，y=4，可得 C=0，故所求曲线的方程为*)解析：17.设 （分数：10.00）_正确答案：(令 u=lnx，则 f“(x)+g(x)=x，即(e xg(x)=xex*)解析：18.已知某商品的需求量 D 和供给量 S 都是价格 P 的函数，且其中 a0，b0 为常数，价格 P 是时间 t 的函数且满足方程，k 为正常数，试求()价格函数 p(t)；() （分数：10.00）_正确答案：()把 D(p)，S(p)代入微分方程得*)解析
14、：19.计算 其中 D：x 2+y2ax(a0)，()求 l(a)；()求 （分数：10.00）_正确答案：(D 关于 x 轴对称，于是*)解析：20.设某产品的成本函数为 C(g)=q 2+2q+，需求函数为 （分数：10.00）_正确答案：()利润 L=R-C=pq-aq2-2q-=(4-q)q-aq 2-2q2-2q-=-(+)q 2+2q-*()需求价格弹性为*()*)解析：21.设齐次线性方程组（分数：10.00）_正确答案：(所给方程组的系数矩阵为 A，则*由此可知，(1)当 a+(n-1)b0 且 ab 时，即 ab 且 a(1-n)b 时，方程组仅有零解(2)当 a+(n-1)
15、b=0 或 a=b 时，|A|=0，所给方程组有无穷多解当 a=b 时，所给方程组与方程x1+x2+x3+xn=0同解，所以方程组的基础解系为 1(-1，1，0，0) T， 2=(-1，0，1，0) T， n-1=(-1，0，0，1) T，故方程组的全部解是x=C1 1+c2 2+cn-1 n-1，其中 c1，c 2，c n-1为任意常数当 a=(1-n)b，且 ab 时，基础解系为=(1，1，1，1) T，故方程组的全部解是x=c，其中 c 为任意常数)解析：22.设随机变量 Y 服从参数为 =1 的泊松分布，随机变量 （分数：10.00）_正确答案：()P(X 0=0，X 1=0)=P(Y
16、0，Y1)=P(Y=0)=e -1P(X0=1，X 1=0)=P(Y0，Y1)=P(Y=1)=e -1P(X0=0，X 1=1)=P(Y0，Y1)=0P(X0=1，X 1=1)=P(Y0，Y1)=P(Y1)=1-P(Y=0)-P(Y=1)=1-2e-1所以 X0和 X1的联合分布律为*()由()可知 X0和 X1的边缘分布律分别为*所以 E(X0-X1)=E(X0)-E(X1)=1-e-1-(1-2e-1)=e-1()cov(X 0，X 1)=E(X0X1)-EX0EX1=1-2e-1-(1-e-1)(1-2e-1)=e-1-2e-2)解析：23.设 Z=lnXN(， 2)，即 X 服从对数正态分布，验证 （分数：14.00）_正确答案：(*()X i的密度函数为*设 x1，x 2，x n是相应于 X1，X 2，X n的样本值，则似然函数为*从而得到 ， 2的最大似然估计量为*故 E(X)的最大似然估计量为*)解析：
