1、考研数学三-156 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设常数 a，b 满足 则（分数：4.00）A.B.C.D.2.设 f(x0)=0 且 f“(x0)0，则存在 0，使得(A) 曲线 y=f(x)在(x 0=，x 0+)是凹的(B) 曲线 y=f(x)在(x 0-，x 0+)是凸的(C) 函数 y=f(x)在(x 0-，x 0上单调减少，在x 0，x 0+)上单调增加(D) 函数 y=f(x)在(x 0-，x 0上单调增加，在x 0，x 0+)上单调减少（分数：4.00）A.B.C.D.3.设函数 f(u，v)具有一阶连续偏导
2、数，且 f(x+y，x-y)=4(x 2-xy-y2)，则 xfx(x，y)+yf y(x，y)(A) 2x2-8xy 一 2y2 (B) -2x 2+8xy-2y2(C) 2x2-8xy+2y2 (D) -2x 2+8xy+2y2（分数：4.00）A.B.C.D.4.设关于数项级数的四个命题分别是（分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A，B 都是 3 阶矩阵，将 A 中第一行的 2 倍加至第 2 行得到矩阵 A1，将 B中第 3 列乘以 得到 B1，如果 ，则 AB=（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 1=(1，0，2，c 1)T， 2=(0，2，1，c 2)T， 3=(1，2，3
3、，c 3)T， 4=(1，0，1，0) T其中ci(i=1，2，3)为任意实数，则(A) 1， 2， 3， 4必线性相关 (B) 1， 2， 3， 4必线性无关(C) 1， 2， 3必线性相关 (D) 1， 2， 3，必线性无关（分数：4.00）A.B.C.D.7.随机变量 X 的分布函数 F(x)，概率密度为 f(x)，a 为常数，则不能将概率密度设成(A) f(x+a) (B) af(ax)(C) f(-x) (D) 2f(x)F(x)（分数：4.00）A.B.C.D.8.将长度为 1m 的木棒随机地截成两段，记第一段的长度一半为 X，第二段长度的 为 Y，则 X，Y 的相关系数 XY=（
4、分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.函数 （分数：4.00）填空项 1:_10.设常数 ba0，则 （分数：4.00）填空项 1:_11.已知 D 是由 x 轴与曲线 以及 围成的平面图形，设 x=rcos，y=rsin，则可把直角坐标系中的二重积分 （分数：4.00）填空项 1:_12.微分方程 满足 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 =(1，0，1) T，矩阵 A= T，则(A 2-E)-1=_（分数：4.00）填空项 1:_14.设 X1，X 2，X n为来自总体 X 的简单随机样本，而 XB(1，p)，0p1，记 （分数：4.00）填空
5、项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.证明当 x(0，1)时 （分数：10.00）_16.某市计划投资 150(百万元)对该地区现有电器厂和化工厂进行技术改造已知为完成一个电器厂的技术改造需要投资 5(百万元)，而完成一个化工厂的技术改造需要投资 6(百万元)一旦 x 个电器厂与 y 个化工厂完成技术改造，并在扣除这些厂的技术改造的投资后可使该市得到总利润的年增加值为（分数：10.00）_17.计算二重积分 （分数：10.00）_18.求幂级数 （分数：10.00）_19.设连续函数 f(x)满足方程（分数：10.00）_20.已知齐次方程组 Ax=0 为（分数：11.00
6、）_21.已知矩阵 可逆，A *是 A 的伴随矩阵， （分数：11.00）_22.已知随机变量(X，Y)的概率密度为（分数：11.00）_23.设相互独立的两随机事件 A 与 B，已知 A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 不发生的概率相等，且 记（分数：11.00）_考研数学三-156 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设常数 a，b 满足 则（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 将 a=2 代入原式即得注意 题目中的极限可改写成这表明直线 y=ax+b 是曲线 当 x 一+时的一条斜渐近线从而分析二 本题也可用
7、带皮亚诺余项的麦克劳林公式 0(x)求解故2.设 f(x0)=0 且 f“(x0)0，则存在 0，使得(A) 曲线 y=f(x)在(x 0=，x 0+)是凹的(B) 曲线 y=f(x)在(x 0-，x 0+)是凸的(C) 函数 y=f(x)在(x 0-，x 0上单调减少，在x 0，x 0+)上单调增加(D) 函数 y=f(x)在(x 0-，x 0上单调增加，在x 0，x 0+)上单调减少（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由题设可得 ，从而按极限的性质即知，存在 0，使得当 0|x-x 0| 时3.设函数 f(u，v)具有一阶连续偏导数，且 f(x+y，x-y)=4(x 2-xy-
8、y2)，则 xfx(x，y)+yf y(x，y)(A) 2x2-8xy 一 2y2 (B) -2x 2+8xy-2y2(C) 2x2-8xy+2y2 (D) -2x 2+8xy+2y2（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 首先求出函数 f(x，y)的表达式令 u=x+Y，v=x-y 则可解得4.设关于数项级数的四个命题分别是（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 设 则 an0 且 对 n1，2，3，成立，但级数 发散，这表明命题不正确若 ，由极限的保号性质可知：存在自然数 N，使得当 nN 时 1 即 成立于是当 nN时有|aN+1|a N+2|a n|a n+1|从而 ，
9、即 故级数 发散这表明命题正确由 是收敛的正项级数知：存在正数 M 是其前 n 项的部分和(a 1+a2)+(a3+a4)+(a2n-1+a2n)的上界由于 an0，从而级数 的前 n 项的部分和Sn=a1+a2+an(a 1+a2)+(a3+a4)+(a2n-1+a2n)M，(n=1，2，3，)故级数 收敛这表明命题正确设 由于 an0，从而 l0当 l0 时，由极限的保号性质知：存在 N 使得当 nN 时 成立，这时 由 发散.即知正项级数 发散故当正项级数 收敛且 存在时必有5.设 A，B 都是 3 阶矩阵，将 A 中第一行的 2 倍加至第 2 行得到矩阵 A1，将 B中第 3 列乘以
10、得到 B1，如果 ，则 AB=（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 矩阵 A 和 B 分别经过初等行变换和列变换得到矩阵 A1和 B1有 A1=PA，B 1=BQ其中于是 A1B1=PABQ那么6.设 1=(1，0，2，c 1)T， 2=(0，2，1，c 2)T， 3=(1，2，3，c 3)T， 4=(1，0，1，0) T其中ci(i=1，2，3)为任意实数，则(A) 1， 2， 3， 4必线性相关 (B) 1， 2， 3， 4必线性无关(C) 1， 2， 3必线性相关 (D) 1， 2， 3，必线性无关（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 如(B)正确则(D)必正确，因此
11、(B)不正确若(C)正确则(A)必正确，故(C)必错误，所以正确的在(A)或(D)中由于仅当 c1+c2=c3时， 1， 2， 3， 4才线性相关，故(A)不正确所以选(D)或者，由7.随机变量 X 的分布函数 F(x)，概率密度为 f(x)，a 为常数，则不能将概率密度设成(A) f(x+a) (B) af(ax)(C) f(-x) (D) 2f(x)F(x)（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 f(x)成为概率密度的充要条件是不难验证，A，B，C 都满足这两条充要条件由于 a 是常数，当 a0 时，af(ax)0，条件(1)不成立或者当 a=0 时，8.将长度为 1m 的木棒随机
12、地截成两段，记第一段的长度一半为 X，第二段长度的 为 Y，则 X，Y 的相关系数 XY=（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 显然 2X+3Y=1，即二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.函数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：x=0）解析：解析 由题设知函数 f(x)的定义域是三个开区间 与(0，+)的并集，由初等函数的连续性即知 f(x)在其定义域内连续，即 f(x)只有 x=0 与 两个间断点当 0|8x|1 时 f(x)可改写成 ，从而由洛必达法则可得于是 ，即 x=0 是 f(x)的第一类间断点又因 ，故10.设常数 ba0，则 （分数：4.00）填空
13、项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 由于不能看出被积函数 的原函数的形式，所以不能直接计算题设的定积分这使我们考虑把 看成某个二元函数 f(x，y)当 ya，b的定积分，即把变量 y 改写成 t，把积分上限改写成 y，于是有把(*)看成关于 y 的恒等式，两端对 y 求导数即得这样一来 交换积分次序即可求得结果：11.已知 D 是由 x 轴与曲线 以及 围成的平面图形，设 x=rcos，y=rsin，则可把直角坐标系中的二重积分 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 由题设知，在直角坐标系中积分区域 D 可表示为 D=(x，y)|0y2 设x=rcos，y=rsin
14、，在极坐标系(r，)中积分区域 D 中的点的最小极角为 0，D 中的点的最大极角为，区域 D 的内边界的万裎为 r=2Sin，而 D 的外边界的方程为 r=2，(如下图)故在极坐标系(r，)中积分区域 D 可表示为 D=(r，)|0 ，2sinr2.于是可把直角坐标系中的二重积分化为极坐标系(r，)中的累次积分12.微分方程 满足 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 题设方程是齐次微分方程令 ，则 y=xu，从而 ，代入即得 u 满足的微分方程是分离变量即得 ，把方程改写成 ，两边积分可得方程当 x0 时的通解是解出 y=xarcsinCx利用初值 即知 C 满足等式
15、 故所求特解是 13.设 =(1，0，1) T，矩阵 A= T，则(A 2-E)-1=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 因为又所以A2=( T)( T)=( T) T=2A那么故14.设 X1，X 2，X n为来自总体 X 的简单随机样本，而 XB(1，p)，0p1，记 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(n-1)P(1-p)）解析：解析 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.证明当 x(0，1)时 （分数：10.00）_正确答案：(证明令 ，只需证明当 x(0，1)时 f(x)0 即可由于 f(x)是关于 对称的函数，可见只需证明 f(x)
16、在 为正计算可得 f(0)=0， ，又由 f(x)=coxx-1+2x 可得 f(0)=0，再因即知 f(x)在区间 内先由 f(0)=0 开始单调增加，然后再单调减少到 ，这表明 f(x)在开区间内为正于是 f(x)在 上单调增加，故在 上 )解析：16.某市计划投资 150(百万元)对该地区现有电器厂和化工厂进行技术改造已知为完成一个电器厂的技术改造需要投资 5(百万元)，而完成一个化工厂的技术改造需要投资 6(百万元)一旦 x 个电器厂与 y 个化工厂完成技术改造，并在扣除这些厂的技术改造的投资后可使该市得到总利润的年增加值为（分数：10.00）_正确答案：(分析 本题主要考查条件极值的
17、求法，是经济中的最大值应用问题目标函数是总利润年增加值函数 f(x，y)，要在 5z+6y=150 的约束条件下求 f(x，y)的最大值，其中 x 和Y 分别是完成技术改造的电器厂和化工厂的个数解法一 利用拉格朗日乘数法求解令驻点条件是由，可得 ，即 9y=5x结合可解出唯一驻点 x=18，y=10因驻点唯一，且实际问题必存在最大值，故上述结果表明该地区应改造 18 个电器厂和 10 个化工厂，可获得最大总利润年增加值，且此最大值为maxf=f(18，10)=60(百万元)解法二 从约束条件 5x+6y=150 可得 ，代入目标函数有其中 .由驻点条件可解得唯一驻点 x=18又因)解析：17.
18、计算二重积分 （分数：10.00）_正确答案：(分析与求解解法一 积分区域如图所示令 x=rcos，y=rsin 引入极坐标系，于是在极坐标系(r，)中 ，d=rdrd，故其中解法二 在直角坐标系中计算二重积分由于 D=(x，y)|1x2，2- ，故其中)解析：18.求幂级数 （分数：10.00）_正确答案：(解 当 x=0 时幂级数 是收敛的，当 x0 时由于可见当 0|x|1 时幂级数绝对收敛，当|x|1 时幂级数发散，故幂级数的收敛半径 R=1当 x=1 时幂级数成为交错级数 由于数列 单调减少且趋于零，故幂级数当 x=1 时也收敛，即幂级数的收敛域为闭区间-1，1令幂级数的和函数为 S
19、(x)，即 由于 当|x|1 时逐项求导得将上式逐项求积分，并利用 S1(0)0 即得当|z|1 时代入即得由于幂级数 在 x=1 收敛，从而 S(x)在-1，1上连续注意 xarctanx 在 x=1 也连续，故 S(x)=xarctanx 不仅当|x|1 时成立，而且在 x=1 也成立即有)解析：19.设连续函数 f(x)满足方程（分数：10.00）_正确答案：(解 在题设的积分方程中令 x=0 得 f(0)=0，把方程改写成由于上式右端各项都可导，因而 f(x)可导，且即 不难看出 f(x)也可导，且 f“(x)=12x2-4f(x)，此外还有 f(0)=1这样一来，y=f(x)就是二阶
20、常系数线性微分方程初值问题的特解由于 y“+4y=0 的特征根为 12i 与 2-2i(其中 i 是虚数单位)，所以其通解为ycC 1cos2x+C2sin2x。因为非齐次项是 12x2，于是非齐次方程是 y“+4y=12x2具有形式为y *=Ax2+Bx+C 的特解令y*“+4y*=2A+4(Ax2+Bx+C)12x 2，可确定 A=3，B=0， ，即 .按通解结构定理知非齐次方程 y“+4y=12x2的通解为令 x=0 并利用 y(0)=0 可确定 ，在y=-2C1sin2x+2C2cos2x+6x中令 x=0 并利用 y(0)=1 可确定 .故所求函数)解析：20.已知齐次方程组 Ax=
21、0 为（分数：11.00）_正确答案：(由 B( 1， 2)=0 有( 1， 2)TBT0那么矩阵 BT的列向量(亦即矩阵 B 的行向量)是齐次方程组( 1， 2)Tx=0 的解对系数矩阵( 1， 2)T作初等行变换，有得到基础解系：(1，2，1，0) T，(-1，-1，0，1) T故矩阵()由于两个方程组同解，那么 1， 2必是齐次方程组 Ax0 的基础解系即 )解析：21.已知矩阵 可逆，A *是 A 的伴随矩阵， （分数：11.00）_正确答案：(按定义，设 A*= 0，则 AA* 0A，即 0A=|A| 由于矩阵 A 可逆，知|A|0， 00，于是对于即 解出 =1，a=-1由矩阵 A
22、 的特征多项式得矩阵 A 的特征值是 1，2，3于是|A|=6从而 A*的特征值是 6，3，2对 1，由(E-A)x0得矩阵 A 属于特征值 =1 的特征向量是 1(-1，1，1) T于是 A*属于特征值 6 的特征向量是k1 1，(k 10)对 2，由(2E-A)x0得矩阵 A 属于特征值 =2 的特征向量 2(-2，2，3) T，于是 A*属于特征值 =3 的特征向量是k2 2，(k 20)对 =3，由(3E-A)x=0得矩阵 A 属于特征值 3 的特征向量 3(-1，2，3) T，于是 A*属于特征值 =2 的特征向量是k3 3，(k 30)()因为 A*有 3 个线性无关的特征向量，故
23、 A*A令 则有 )解析：22.已知随机变量(X，Y)的概率密度为（分数：11.00）_正确答案：(常数 A 可以通过性质 来求得所以 A=1() ，且 fX(x)0而fX(x)0 等价于 x0，所以当 x0 时，即 x0 时，评注 从上面的解法中不难发现，求解的关键在于找出 fX(x)，求 时，即使 A 不知道也没关系，分子、分母的 A 相约了找出了 fX(x)后再根据 fX(x)为密度的性质也很容易求出 A基于上述想法，下面的解法更简单些：()不难看出 fX(x)为参数为 1 的指数分布，故 A=1()当 fX(x)0，即 X0 时，所以，当 x0 时， )解析：23.设相互独立的两随机事件 A 与 B，已知 A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 不发生的概率相等，且 记（分数：11.00）_正确答案：(解 故 P(A)-P(AB)=P(B)-P(AB)所以 .又因为 AB 独立 .()XB(1，P)，其中 .故同理()解析：
