1、考研数学三-155 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设随机变量 X 服从 F(3，4)分布，对给定的 (01)，F 分布上的 分位点 F (3，4)满足P(XF (3，4)=；若 P(Xx)=1-，则 x 等于( )（分数：4.00）A.B.C.D.2.设 的值为( )（分数：4.00）A.B.C.D.3.设分块矩阵 可逆，且 其中 Ai(i=1，2)为 nn 矩阵， i(i=1，2)为 n1 矩阵， i(i=1，2)为1n 矩阵， 为实数，则 =( )（分数：4.00）A.B.C.D.4.4 阶矩阵 A 满足|3E+A|=0
2、，AA T=2E，|A|0，则 A 的伴随矩阵 A*的一个特征值为( )（分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A，B 为随机事件，满足条件：0P(A)1，0P(B)1，且 P(A-B)=0，则( )（分数：4.00）A.B.C.D.6.若 f(x)是连续函数，则下述命题正确的是( )（分数：4.00）A.若 f(x)为奇函数，则 f(x)的任一原函数为偶函数B.若 f(x)为偶函数，则 f(x)的任一原函数为奇函数C.若 f(x)满足 f(x+T)=f(x)(r0 为常数)，则 f(x)任一原函数 F(x)也满足 F(x+T)=F(x)D.若 f(x)g(x)(g(x)是连续函数)，则7.
3、设幂级数 的收敛半径为 3，则幂级数 （分数：4.00）A.B.C.D.8. （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10.设 f(x)= （分数：4.00）填空项 1:_11.设 f，g 均可微，z=f(xy，lnz+g(xy)，则 （分数：4.00）填空项 1:_12.设 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 A 是 2 阶矩阵，非齐次线性方程组 AX=b 有通解 X=k(-2，1) T+(3，-4) T(k 为任意常数)，b=(3，2) T又设 (5，-10) T，则 A=_。（分数：4.00）填空项 1:_1
4、4.市场上某种产品由甲、乙两厂生产的产品占领，甲厂产品占市场 ，乙厂占 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在-1，1上具有二阶连续导数且 f(0)=0，试证：在-1，1上至少存在一点 c，使 （分数：10.00）_16.计算二重积分 （分数：10.00）_17.设 f(x)在点 x=0 的某一邻域有二阶连续导数，且试证：级数 （分数：10.00）_设 f(x)在(0，+)有定义，在 x=1 处可导，且 f(1)=4，若对任意 x10，x 20 有f(x1x2)=x1f(x2)+x2f(x1)（分数：10.00）(1).试证：f(x)在(
5、0，+)处处可导；（分数：5.00）_(2).求 f(x)及 f(x)（分数：5.00）_18.设 Q1，Q 2与 P1，P 2分别表示两种产品的产量与售价，总成本函数为： （分数：10.00）_19.已知线性方程组 （分数：11.00）_二次型 （分数：11.00）(1).求常数 t，及将此二次型通过可逆线性变换 X=CY 化为标准形的矩阵 C；（分数：5.50）_(2).求此二次型的标准形及正、负惯性指数（分数：5.50）_20.某批产品优等品率为 80%，每个检验员将优等品判断为优等品的概率为 97%，而将非优等品判断为优等品的概率为 2%，为了提高检验结果的可信程度，决定由 3 人组成
6、检查组进行检验，3 人中至少有 2 人认为是优等品的产品方能被确认为优等品，假设各个检验员的判断是相互独立的，那么检查组对优等品作出正确判断的概率是多少?（分数：11.00）_设随机变量 XN(0，4)，Y 服从参数 =0.5 的指数分布，Coy(X，Y)=-1，令 Z=X-aY 已知 Coy(X，Z)=Cov(Y，Z)。（分数：11.00）(1).确定 a 的值；（分数：5.50）_(2).求 X 与 Z 的协方差矩阵的逆矩阵。（分数：5.50）_考研数学三-155 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设随机变量 X 服从 F(3
7、，4)分布，对给定的 (01)，F 分布上的 分位点 F (3，4)满足P(XF (3，4)=；若 P(Xx)=1-，则 x 等于( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 F 分布的上 (01)分位点答案解析 XF(3，4)，则*，于是*应选(B)。2.设 的值为( )（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 求二元函数在一点的二阶混合偏导数答案解析 当二阶混合偏导数连续时，与求导顺序无关*应选(D)。3.设分块矩阵 可逆，且 其中 Ai(i=1，2)为 nn 矩阵， i(i=1，2)为 n1 矩阵， i(i=1，2)为1n 矩阵， 为实数，则 =( )（分数：4.00）A.
8、B.C. D.解析：考点 分块矩阵的运算答案解析 由可逆矩阵定义及分块矩阵乘法运算法则有*即有*应选(C)。4.4 阶矩阵 A 满足|3E+A|=0，AA T=2E，|A|0，则 A 的伴随矩阵 A*的一个特征值为( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 伴随矩阵的特征值答案解析 |3E+A|=|A-(-3E)|=0，故 =-3 是 A 的一个特征值在 AAT=2E 两边取行列式，得|A|2=|A|AT|=24，|E|=16，但|A|0，故|A|=-4，从而 A*的个特征值为*应选(C)。5.设 A，B 为随机事件，满足条件：0P(A)1，0P(B)1，且 P(A-B)=0，则(
9、)（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 随机事件的概率，条件概率答案解析 (A)不正确，概率为。的事件不一定是不可能事件，从 P(A-B)=0 得不出 A-B=*，从而得不出*，即*(B)不正确，(B)的结论等价于 P(A)P(B)，因此 P(A)P(AB)与已知 P(A-B)=P(A)-P(AB)=0，即 P(A)=P(AB)矛盾。(C)不正确，(C)的结论等价于*，于是有*=0，这与*(D)正确，*应选(D)。6.若 f(x)是连续函数，则下述命题正确的是( )（分数：4.00）A.若 f(x)为奇函数，则 f(x)的任一原函数为偶函数 B.若 f(x)为偶函数，则 f(x)的任
10、一原函数为奇函数C.若 f(x)满足 f(x+T)=f(x)(r0 为常数)，则 f(x)任一原函数 F(x)也满足 F(x+T)=F(x)D.若 f(x)g(x)(g(x)是连续函数)，则解析：考点 连续奇、偶函数，周期函数原函数的奇、偶性，周期性；不定积分的单调性答案解析 (A)正确，*因为 F(x)是偶函数，c 是偶函数，从而 f(x)任一原函数为偶函数(B)不正确，*(C)不正确，*未必是周期函数，事实上*F(x+T)-F(x)=f(g+T)-f(x)=0，故 F(x+T)-F(x)=c(c 为任意常数)，只有 c=0 时，F(x)才是周期函数；c0 时，令 (x)=*亦即 (x)为以
11、 T 为周期函数，于是*必不是周期函数。(D)不正确，定积分有单调性，即只有*但*7.设幂级数 的收敛半径为 3，则幂级数 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 幂级数的收敛区间答案解析 *幂级数在收敛区间内可逐项求导，于是*从-3x-13，解出-2x4，即*的收敛区间为(-2，4)，应选(B)。8. （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 函数在一点的导数答案解析 *由于 f_(0)f +(0)，所以 f(0)不存在，应选(A)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 求与积分有关数列的极限答案解析 记*从
12、而*10.设 f(x)= （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(-1) n(2n)!）解析：考点 函数在一点的高阶导数答案解析 因为*在(-1，1)内，逐项积分*即*由 f(x)在 x=0 处幂级数展开的唯一性，有*从而有*11.设 f，g 均可微，z=f(xy，lnz+g(xy)，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：f 2）解析：考点 求二元复合函数的偏导数答案解析 dz=f 1d(xy)+f2d(lnx+g(xy)*从而*于是*12.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 用分部积分法计算定积分答案解析 *即*13.设 A 是 2 阶矩阵，
13、非齐次线性方程组 AX=b 有通解 X=k(-2，1) T+(3，-4) T(k 为任意常数)，b=(3，2) T又设 (5，-10) T，则 A=_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(9，6) T）解析：考点 任一 2 维向量由线性非齐次方程组的解与其导出组的解线性表示答案解析 记 =(-2，1) T，=(3，-4) T，则 ， 线性无关，且 A=0，A=b令 =x 1+x 2，则*即*于是 A=A(2+3)=2A+3A=0+3(3，2) T=(9，6) T14.市场上某种产品由甲、乙两厂生产的产品占领，甲厂产品占市场 ，乙厂占 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*
14、）解析：考点 分布函数概念与全概率公式答案解析 设随机变量 为任取一件产品的产品指标，记 A=“任取一件产品为甲厂生产”，则 A=“任取一件产品为乙厂生产”，且*对任意实数 x，依全概率公式有*三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在-1，1上具有二阶连续导数且 f(0)=0，试证：在-1，1上至少存在一点 c，使 （分数：10.00）_正确答案：(因为，(x)在-1，1上有二阶连续导数，由在 x=0 处的带拉格朗日余项的二阶泰勒公式，对任意的 x：0|x|1，有*由于 f(0)=0，f(0)x 是-1，1上奇函数，因此*而 f“(x)是闭区间-1，1上的连续函数，依最值
15、定理，存在 m，M，使mf“(x)M(x-1，1)故 mf“()M*再对闭区间上连续函数 f“(x)用介值定理，至少存在一点 c-1，1，使*)解析：考点 带拉格朗日余项的泰勒公式，连续函数的最值定理，介值定理16.计算二重积分 （分数：10.00）_解析：17.设 f(x)在点 x=0 的某一邻域有二阶连续导数，且试证：级数 （分数：10.00）_正确答案：(*由于正项级数*收敛，依正项级数比较判别法的极限形式知*收敛，即级数*绝对收敛。)解析：考点 证明数项级数绝对收敛设 f(x)在(0，+)有定义，在 x=1 处可导，且 f(1)=4，若对任意 x10，x 20 有f(x1x2)=x1f
16、(x2)+x2f(x1)（分数：10.00）(1).试证：f(x)在(0，+)处处可导；（分数：5.00）_正确答案：(取 x1=x2=1，则有 f(1)=f(1)+f(1)，即 f(1)=0。对任意 x0，任意 x+h0 有*即对任意*)解析：(2).求 f(x)及 f(x)（分数：5.00）_正确答案：(*从而 y=x(4lnx+c)，代入 f(1)=0，得 c=0，于是 f(x)=4xlnx，f(x)=41nx+4=4(1+lnx)解析：考点 证明函数的导函数在定义域存在，并解一阶齐次微分方程18.设 Q1，Q 2与 P1，P 2分别表示两种产品的产量与售价，总成本函数为： （分数：10
17、.00）_正确答案：(以 Q1，Q 2为自变量，则需求函数应改写为：P 1：-Q 1-Q2+55，P 2=-Q1-2Q2+70，于是记总利润为L=L(Q1，Q 2)时，有*令*得*为定义域内唯一驻点。而*此时，*是唯一极点，故为最大点，即*时，利润最大，此时*)解析：考点 二元函数最值在经济问题中的应用19.已知线性方程组 （分数：11.00）_正确答案：(记方程组的系数矩阵为 B，增广矩阵为*，用初等行变换化为阶梯形*方程组有无穷多解，表明*当 a=-1 时，进一步有*当 a=0 时，进一步有*)解析：考点 方程组的解与矩阵相似对角化的逆问题的综合题二次型 （分数：11.00）(1).求常数
18、 t，及将此二次型通过可逆线性变换 X=CY 化为标准形的矩阵 C；（分数：5.50）_正确答案：(二次型矩阵为 A，则*由 r(A)=2 得 t-5=0，即 t=5为 r 求将二次型化为标准形的可逆变换的矩阵 C，用以下方法*令 X=CY，则f=XTAX=YT(CTAC)=YTAY*)解析：(2).求此二次型的标准形及正、负惯性指数（分数：5.50）_正确答案：(次型的正惯性指数 p=2，负惯性指数 q=0。)解析：考点 求将二次型化为标准形的可逆变换 X=CY 中的矩阵 C，标准形及正、负惯性指数。20.某批产品优等品率为 80%，每个检验员将优等品判断为优等品的概率为 97%，而将非优等
19、品判断为优等品的概率为 2%，为了提高检验结果的可信程度，决定由 3 人组成检查组进行检验，3 人中至少有 2 人认为是优等品的产品方能被确认为优等品，假设各个检验员的判断是相互独立的，那么检查组对优等品作出正确判断的概率是多少?（分数：11.00）_正确答案：(“检验组对优等品作出正确判断”=“确为优等品|检验组判断产品为优等品”。记 A=“产品为优等品”，*=“产品不是优等品”则 A，*构成完备事件组，且 P(A)=0.8；P(*)=0.2。记 B=“经检验组检验，产品被判断为优等品”。以 X 表示 3 名检验员将优等品判断为优等品的人数，则 XB(3，0.97)以 Y 表示 3 名检验员
20、将非优等品判断为优等品的人数，则 YB(3，0.02)依全概率公式，有*再由贝叶斯公式，所求概率为*)解析：考点 全概率公式与贝叶斯公式设随机变量 XN(0，4)，Y 服从参数 =0.5 的指数分布，Coy(X，Y)=-1，令 Z=X-aY 已知 Coy(X，Z)=Cov(Y，Z)。（分数：11.00）(1).确定 a 的值；（分数：5.50）_正确答案：(XN(0,4)则 D(X)=Cov(X，Y)=4；YE(0.5)，则 D(Y)=Cov(X，Y)=*=4，于是Cov(X，Z)=Cov(X，X-aY)=Cov(X，X)-aCov(X，Y)=4-a(-1)=4+aCov(Y，Z)=Cov(Y，Y-aY)=Cov(Y，X)-aCov(Y，Y)=-1-4a今知 Cov(X，Z)=Cov(Y，Z)，即 4+a=-1-4a，故 a=-1)解析：(2).求 X 与 Z 的协方差矩阵的逆矩阵。（分数：5.50）_正确答案：(由(1)知 Z=X-(-Y)=X+Y，D(X)=Cov(X，X)=4，Cov(X，Z)=Cov(X，X+Y)=Cov(X，X)+Coy(X，Y)=4-1=3D(Z)=Cov(Z，Z)=D(Z)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)=4+4-2=6于是 X 与 Z 的协方差矩阵为*其逆矩阵为*)解析：考点 协方差与协方差矩阵的逆矩阵
