1、考研数学三-154 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.当 x0 +时，与 等价的无穷小量是（分数：4.00）A.B.C.D.2.设函数 f(x)在 x=0 处连续，且 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设函数 f(t)连续，则二次积分（分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A 为 mn 矩阵，B 为 nm 矩阵，E 为 m 阶单位矩阵若 AB=E，则(A) 秩 r(A)=m，秩 r(B)=m (B) 秩 r(A)=m，秩 r(B)=n(C) 秩 r(A)=n，秩 r(B)=m (D
2、) 秩 r(A)=n，秩 r(B)=n（分数：4.00）A.B.C.D.6.设二阶矩阵 （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 f1(x)为标准正态分布的概率密度，f 2(x)为-1，3上均匀分布的概率密度，若（分数：4.00）A.B.C.D.8.设随机变量 X1，X 2，X n(n1)独立同分布，且其方差为 0，令随机变量 ，则（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设函数 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_10.曲线 tan(x+y+ （分数：4.00）填空项 1:_11.设位于曲线 （分数：4.00）填空项 1:_12.微分方程 xy+y=0
3、 满足条件 y(1)=1 的解是 y=_（分数：4.00）填空项 1:_13.二次型 xTAx=x21+4x22+4x23-4x1x2+4x1x3-8x2x3的规范形是_.（分数：4.00）填空项 1:_14.设总体 X 的概率密度为 f(x)= （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求不定积分 （分数：10.00）_16.求函数 u=xy+2yz 在约束条件 x2+y2+z2=10 下的最大值和最小值（分数：10.00）_17.求 （分数：10.00）_18.证明 （分数：10.00）_19.求幂级数 （分数：10.00）_20.设 （分数：11.0
4、0）_21.已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=(1-a)x21十(1-a)x 22+2x23+2(1+a)x1x2的秩为 2()求 a 的值；()求正交变换 x=Qy 把 f(x1，x 2，x 3)化为标准形；()求方程 f(x1，x 2，x 3)=0 的解（分数：11.00）_22.设随机变量 X 的概率密度为令 Y=X2，F(x，y)为二维随机变量(X，Y)的分布函数求()Y 的概率密度 fY(y)；()cov(X，Y)；() （分数：11.00）_23.设二维随机变量(X，Y)服从区域 G 上的均匀分布，其中 G 是由 x-y=0，x+y=2 与 y=0 所围成的三角形区域()求
5、X 的概率密度 fx(x)；()求条件概率密度 fx|Y(x|y)（分数：11.00）_考研数学三-154 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.当 x0 +时，与 等价的无穷小量是（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 本题为等价无穷小的判定，利用定义或等价无穷小代换即可当 x0 +时， ，故用排除法可得正确选项为(B)事实上或 所以应选(B)评注 本题为关于无穷小量比较的基本题型，利用等价无穷小代换可简化叶算2.设函数 f(x)在 x=0 处连续，且 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 从 入手计算 f(0)，
6、利用导数的左右导数定义判定 f-(0)，f +(0)的存在性由 知, 又因为 f(x)在 x=0 处连续，则令 t=h2，则3.设 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 ，极限不存在，所以偏导数 fx(0，0)不存在4.设函数 f(t)连续，则二次积分（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 令 x=rcos，y=rsin，则r2 所对应的直角坐标方程为 x2+y2=22，r=2cos 所对应的直角坐标方程为(x-1) 2+y2=1由 的积分区域2cosr2，0得在直角坐标下的表示为所以5.设 A 为 mn 矩阵，B 为 nm 矩阵，E 为 m 阶单位矩阵若 AB=E，则(A)
7、 秩 r(A)=m，秩 r(B)=m (B) 秩 r(A)=m，秩 r(B)=n(C) 秩 r(A)=n，秩 r(B)=m (D) 秩 r(A)=n，秩 r(B)=n（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由 ABE 有 r(AB)r(E)m，又r(AB)r(A)m，r(AB)r(B)m所以应选(A)6.设二阶矩阵 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由伴随矩阵 A*秩的公式可见 r(A*)1 r(A)2若 a=b 易见 r(A)1 故(A)(B)均不正确由于|A|=(a+2b)(a-b)2当 a6，a+2b=0 时，一方面 A 中有 2 阶子式7.设 f1(x)为标准正态
8、分布的概率密度，f 2(x)为-1，3上均匀分布的概率密度，若（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 根据概率密度函数的性质： 即f1(x)为标准正态分布的概率密度，其对称中心在 x=0 处，故f2(x)为 U-1，3分布的概率密度，即 ，故所以8.设随机变量 X1，X 2，X n(n1)独立同分布，且其方差为 0，令随机变量 ，则（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设函数 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 本题主要考查抽象函数的复合，必须分段分层讨论由， 得因此 应填10.曲线 tan(x+y
9、+ （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y=-2x）解析：解析 利用由方程确定的隐函数求导法则求出 y(0)，然后写出曲线在点(0，0)处的切线方程方程两边对 x 求导得11.设位于曲线 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 利用旋转体的体积公式即得12.微分方程 xy+y=0 满足条件 y(1)=1 的解是 y=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 分离变量，得 ，两边积分有1n|y|=-1n|x|+C11n|xy|=C 1 xy=ec1=C，利用条件 y(1)=1 知 C=1，故满足条件的解为13.二次型 xTAx=x21+4x2
10、2+4x23-4x1x2+4x1x3-8x2x3的规范形是_.（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y 21）解析：解析 二次型矩阵14.设总体 X 的概率密度为 f(x)= （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：解析 直接应用公式 ES2DX 求解由题设知三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求不定积分 （分数：10.00）_正确答案：(分析 直接分部积分或令 ，用基本积分方法，属基本题型解法一 解法二 令)解析：16.求函数 u=xy+2yz 在约束条件 x2+y2+z2=10 下的最大值和最小值（分数：10.00）_正确答案：(分析 本题为条件极值问题
11、，用拉格朗日乘数法。解 令 F(x，y，z，)=xy+2yz+(x 2+y2+z2-10)，解方程组得 x=1，y= ，z=2，或 x=-1，y= ，z=-2，或由得所求最大值为 ，最小值为 )解析：17.求 （分数：10.00）_正确答案：(分析 首先，将积分区域 D 分为大圆 D1=(x，y)|x 2+y24减去小圆 D2=(x，y)|(x+1)2+y21，再利用对称性与极坐标计算即可解 令 D1=(x，y)|x2+y 24，D 2=(x，y)|(x+1) 2+y21，由对称性，所以 )解析：18.证明 （分数：10.00）_正确答案：(证明令 ，则当-1x1 时，f“(x)20，所以 f
12、(x)单调增加于是，当-1x0 时，f(x)f(0)=0，于是 f(x)在-1x0 上单调减少，因此有 f(x)f(0)=0，即当 0x1 上时，f(x)f(0)=0，于是 f(x)单调增加，因此有 f(x)f(0)=0，即综上所述得，当-1x1 时， )解析：19.求幂级数 （分数：10.00）_正确答案：(分析 因为幂级数缺项，按函数项级数收敛域的求法计算；利用逐项求导或积分并结合已知函数的幂级数展开式计算和函数解 记 ，则所以当|x| 21 时，即|x|1 时，所给幂级数收敛；当|x|1 时，所给幂级数发散；当 x=1 时，所给幂级数为 ，均收敛，故所给幂级数的收敛域为-1，1在(一 1
13、，1)内，而所以 ，又 S1(0)=0于是 S1(x)=argtanx同理又 S1(0)=0，所以 S1(x)=xarctanx- )解析：20.设 （分数：11.00）_正确答案：(因为方程组 Ax=b 有 2 个不同的解，故 r(A)=r( )3由于是 1 或 A-1当 1 时，r(A)=1，r( )2方程组 Axb 无解，舍去当 -1 时，对 Axb 的增广矩阵作初等行变换可见 a-2 时，r(A)r( )3，方程组 Axb 有无穷多解故 1，a-2()当 -1，a-2 时所以方程组 Axb 的通解为)解析：21.已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=(1-a)x21十(1-a)x 2
14、2+2x23+2(1+a)x1x2的秩为 2()求 a 的值；()求正交变换 x=Qy 把 f(x1，x 2，x 3)化为标准形；()求方程 f(x1，x 2，x 3)=0 的解（分数：11.00）_正确答案：(由于二次型 f 的秩为 2，即二次型矩阵的秩为 2，所以 ，得 a=0()当 a=0 时，得到矩阵 A 的特征值是 1= 2=2， 3=0对于 2，由(2E-A)x0得特征向量 a1=(1，1，0) T，a 2=(0，0，1) T对 0 由(0E-A)x0得特征向量 a3(1，-1，0) T由于 a1，a 2，a 3已两两正交，单位化有令 Q=( 1， 3， 3)则 Q 是正交矩阵那么
15、经正交变换 x=Qy，有f(x1，x 2，x 3)=2y21+2y22()方程 f(x1，x 2，x 3)=x21+x22+2x23+2x1x2=(x1+x2)2+2x23=0即 )解析：22.设随机变量 X 的概率密度为令 Y=X2，F(x，y)为二维随机变量(X，Y)的分布函数求()Y 的概率密度 fY(y)；()cov(X，Y)；() （分数：11.00）_正确答案：(分析与解答 ()用定义先求 Y 的分布函数 FY(y)，进而求得 fY(y)已知 Y=X2，故 FY(y)=PX2y，当 y0 时，F Y(y)=0由题设知P(-1X2)=P-1X0)+P0X2=1所以当 y0 时，故当
16、，即 0y1 时(此时 )当 ，即 1y4 时(此时 )当 2，即 y4 时(此时- -2)FY(y)=P-1X2)=1综上得()由于 cov(X，Y)=E(XY)-EXEY，其中() )解析：23.设二维随机变量(X，Y)服从区域 G 上的均匀分布，其中 G 是由 x-y=0，x+y=2 与 y=0 所围成的三角形区域()求 X 的概率密度 fx(x)；()求条件概率密度 fx|Y(x|y)（分数：11.00）_正确答案：(根据题意(X，Y)的概率密度为其中 G 是由 x-y=0，x+y=2 与 y=0 所的三角形区域即 G：0yx2-y() ，当 fY(y)0，现当 f(y)0 即 Y=y(0y1)时 X 的条件概率密度为评注 本题我们把 G 理解成当然我们也可以把 G 理解成这时fX(x)，f Y(y)，f X|Y(x|y)都带有相应的等号概率密度的某点值有变化并不影响密度的性质例如我们并不认为)解析：
