1、考研数学三-153 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 y=y(x)是由方程 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设某种商品的需求量为 Q，价格为 P，且已知该商品的边际收益函数为 ，则该商品的需求函数Q=Q(P)的表达式为（分数：4.00）A.B.C.D.4.设二元函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处的两个偏导数 fx(x0，y 0)与 fy(x0，y 0)都存在，则(A) 极限 与极限 都存在(B) 极限 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A 为 n 阶矩阵，且满足
2、 A2-A=6E，则矩阵 A-3E 和 2E+A 必定(A) 都为可逆矩阵 (B) 都是不可逆矩阵(C) 至少有一个为零矩阵 (D) 最多有一个为可逆矩阵（分数：4.00）A.B.C.D.6.三元二次型xTAx=(x1+3x2+ax3)(x1+5x2+bx3)的正惯性指数 P=(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 与 a、b 有关（分数：4.00）A.B.C.D.7.已知随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且 EX=0，DX=1，EY=0，DY=4，X 与 Y 的相关系数 ，已知在 Y=y 的条件下，随机变量 X 也服从正态分布，则该分布必为(A) N(0，1) (B) N(0，4) (
3、C) (D) （分数：4.00）A.B.C.D.8.假设总体 X 服从正态分布 N(， 2)，X 1，X n是来自总体 X 的简单随机样本，其样本均值为 ，如果 ，其中 a0，则有(A) a=nb (B) b=na (C) (D) （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.若 f(x)=arctanx-sinx 当 x0 时与 kxp是等价无穷小量，则 （分数：4.00）填空项 1:_10.若函数 F(x)=x3+9x2+24x+k 的极大值是负数，则参数 k 取值的区间是_（分数：4.00）11.若方程组 （分数：4.00）填空项 1:_12.差分方程
4、yt+1+5yt=18t2+6t+3 的通解是_（分数：4.00）填空项 1:_13.已知 A*是 A 的伴随矩阵，若 （分数：4.00）填空项 1:_14.袋中有 8 个球，其中有 3 个白球，5 个黑球，从中随意取出 4 个球，如果 4 个球中有 2 个白球 2 个黑球，试验停止，否则将 4 个球放回袋中重新抽取 4 个球，直至取到 2 个白球 2 个黑球为止用 X 表示抽取次数，则 EX=_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 f(x)在(0，+)上连续，f(1)=2，且对任何 x(0，+)满足（分数：10.00）_16.计算定积分 （分
5、数：10.00）_17.设函数 f(x)可导，函数 g(x)连续，且当 f(x)0 时 g(x)可导，求证：()当 f(x0)0 时 F(x)=|f(x)|g(x)在点 x=x0处必可导；()当 f(x0)=0 时 F(x)=|f(x)|g(x)在点 x=x0处可导的充分必要条件是 g(x0)f(x0)=0（分数：10.00）_18.设区域 D 由直线 y=2-x，曲线 x2+y2=2y 以及 z 轴在第一象限围成；求 （分数：10.00）_19.把函数 （分数：10.00）_20.已知齐次线性方程组（分数：11.00）_21.设 A 是 3 阶矩阵， 1， 2， 3是 3 维列向量，其中 3
6、0，若 A 1 2，A 2= 3，A 3=0()证明 1， 2， 3线性无关()求矩阵 A 的特征值和特征向量()求行列式A+2E的值（分数：11.00）_22.已知随机变量 X 的概率密度为 在 Xx(x0)的条件下，随机变量 Y 在区间(0，x)上服从均匀分布，求：()随机变量 X 与 Y 的联合概率密度 f(x，y)，X 与 Y 是否独立，为什么?()计算条件概率 （分数：11.00）_23.一批产品需要通过检验才能出厂，检验员从产品中任取一件进行检验，取出产品为正品或次品的可能性一样由于检验误差，一件正品被误判为次品的概率是 2%，一件次品被误判为正品的概率是 3%如果一产品经检验被判
7、为次品，那么它无需再进行二次检验；如果检验被判定为正品，那么需要对它再进行二次检验，二次检验均判定为正品的产品才判为正品假设各次检验是相互独立的，检验员的检验水平不变()试求对一产品进行检验，其检验次数的概率分布；()试求经二次检验均判定为正品的产品，它确实为正品的概率 ；()如果独立地对 100 个产品进行检验，试应用中心极限定理计算检验总次数不超过 150 次的概率为(0.1)=0.54)（分数：11.00）_考研数学三-153 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 因 且 (其
8、中 ，故 f(x)在 x=0 处连续(A)不正确又因当 x0 时 f(x)=2x，且 f-(0)=O，当 x0 时 还有 =0，故 f(x)在(-，+)上处处可导(B)不正确由上面的计算可知 不存在，因而 f(x)在点 x=0 处不连续，故(C)正确，(D)不正确从而应选结论(C)2.设 y=y(x)是由方程 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 在方程 中令 x=0 可得由于 ，从而 2y(0)=0 即 y(0)=0将方程两边对 x 求导数即得在式中令 x=0 并利用 y(O0)=0 即得 y(0)=e将式看成关于 x 的恒等式，两边再对 x 求导数就有3.设某种商品的需求量为 Q
9、，价格为 P，且已知该商品的边际收益函数为 ，则该商品的需求函数Q=Q(P)的表达式为（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 设总收益函数为 R(Q)，则 R(0)=0，且边际收益函数 于是又因4.设二元函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处的两个偏导数 fx(x0，y 0)与 fy(x0，y 0)都存在，则(A) 极限 与极限 都存在(B) 极限 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 按照偏导数的定义，二元函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处对 x 的偏导数是一元函数 f(x，y 0)在点 x=x0处的导数，即再由一元函数在某点处可导是该函数在此点处连续的充分条件
10、即知，若二元函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处对 x 的偏导数 fx(x0，y 0)存在，则一元函数 f(x，y 0)在点 x=x0处连续，从而极限 存在，且 与此类似，由二元函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处对 y 的偏导数存在，可得一元函数 f(x0，y)在点 y=y0处连续，从而极限 存在，且 =f(x0，y 0)评注 读者可用函数5.设 A 为 n 阶矩阵，且满足 A2-A=6E，则矩阵 A-3E 和 2E+A 必定(A) 都为可逆矩阵 (B) 都是不可逆矩阵(C) 至少有一个为零矩阵 (D) 最多有一个为可逆矩阵（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为(A
11、+2E)(A-3E)=A 2-A-6E=0从而|A+2E|A-3E|=0那么|A+2E|与|A-3E|至少有一个为零或着|A+2E|与|A-3E|最多一个不为 0，所以 A-3E 与 2E+A 最多有一个为可逆矩阵6.三元二次型xTAx=(x1+3x2+ax3)(x1+5x2+bx3)的正惯性指数 P=(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 与 a、b 有关（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 令有 xTAx=y1y2再令得 xTAx=z21-z22，所以必有 p=1评注 因为7.已知随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且 EX=0，DX=1，EY=0，DY=4，X 与 Y 的相
12、关系数 ，已知在 Y=y 的条件下，随机变量 X 也服从正态分布，则该分布必为(A) N(0，1) (B) N(0，4) (C) (D) （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 依题意要计算其中 f(x，y)系数为 fY(y)系数为由此可知 fX|Y(x|y)系数为8.假设总体 X 服从正态分布 N(， 2)，X 1，X n是来自总体 X 的简单随机样本，其样本均值为 ，如果 ，其中 a0，则有(A) a=nb (B) b=na (C) (D) （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 依题设 ，故 ， ，由此可知：如果 ，即有所以二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.若
13、 f(x)=arctanx-sinx 当 x0 时与 kxp是等价无穷小量，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-18）解析：解析 用洛必达法则计算可得即 ，故10.若函数 F(x)=x3+9x2+24x+k 的极大值是负数，则参数 k 取值的区间是_（分数：4.00）解析：解析 因为 F(x)=3x2+18x+24=3(x2+6x+8)=3(x+2)(x+4)，从而可列表如下：11.若方程组 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 将方程组求导可得 y与 z满足如下方程组利用 y(1)=1 与 z(1)=0 即得 y(1)与 z(1)满足方程组不难得出故1
14、2.差分方程 yt+1+5yt=18t2+6t+3 的通解是_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：C(-5) t+3t2，C 是任意常数）解析：解析 按照差分方程用待定系数法求解的规则可设方程的解为yt=C(-5)t+t 2+t+，其中 C 是任意常数， 为待定常数，代入方程有C(-5)t+1+(t+1) 2+(t+1)+5C(-5) t+t 2+t+=18t2+6t+3，即 6(t 2+t+)+2t+18t 2+6t+3，从而 =3，=0这表明所求通解为 Yt； =C(-5)t+3t213.已知 A*是 A 的伴随矩阵，若 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解
15、析 由 ，又|A *|=|A|n-1知|A|=-3因 AA*=|A|E 知 A=|A|(A*)-1由 易见故14.袋中有 8 个球，其中有 3 个白球，5 个黑球，从中随意取出 4 个球，如果 4 个球中有 2 个白球 2 个黑球，试验停止，否则将 4 个球放回袋中重新抽取 4 个球，直至取到 2 个白球 2 个黑球为止用 X 表示抽取次数，则 EX=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 记 Ai=“第 i 次取出 4 个球是 2 个白球 2 个黑球”，由于是有放回取球，因而 A 是相互独立的根据超几何分布知 ，又由几何分布得：我们知道：当|x|1 时 将 代入得三、
16、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 f(x)在(0，+)上连续，f(1)=2，且对任何 x(0，+)满足（分数：10.00）_正确答案：(解 因为 所以原方程可改写为将上式两边对 x 求导就有4f(x)=2f(x)+2f(x)+4x3由此可见 y=f(x)是微分方程 xf(x)-f(x)=-2x3的解，而且 f(0)=0当 x0 时方程可改写为从而 )解析：16.计算定积分 （分数：10.00）_正确答案：(解 首先利用分解式可把要求的积分写成四个积分之和的形式分别计算可得故 )解析：17.设函数 f(x)可导，函数 g(x)连续，且当 f(x)0 时 g(x)可导，求证：()
17、当 f(x0)0 时 F(x)=|f(x)|g(x)在点 x=x0处必可导；()当 f(x0)=0 时 F(x)=|f(x)|g(x)在点 x=x0处可导的充分必要条件是 g(x0)f(x0)=0（分数：10.00）_正确答案：(若 f(x0)0，则存在 0，使得当|x-x 0| 时 f(x)0，于是在该区间内必有|f(x)|g(x)=f(x)g(x)或|f(x)|g(x)=-f(x)g(x)之一成立，故函数|f(x)|g(x)在点 x=x0处必可导()若 f(x0)=0，于是 F(x0)=|f(x0)|g(x0)=0，从而函数 F(x)=|f(x)|g(x)在点 x=x0的左导数与右导数分别
18、为故当 f(x0)=0 时，|F(x)|在点 x=x0可导注 在上面的证明中用到与 ，其实更一般地必有 .这是因为任何两个数 a，b 之差与这两个数的绝对值之差成立不等式，由此即知若 必有 ，当然对单侧极限也有同样结果 )解析：18.设区域 D 由直线 y=2-x，曲线 x2+y2=2y 以及 z 轴在第一象限围成；求 （分数：10.00）_正确答案：(分析与求解 积分区域 D 可表示为，从而其中在上述定积分中作换元 t=sin，可分别得到故)解析：19.把函数 （分数：10.00）_正确答案：(分析与求解 将 f(x)求导即得利用(1+x) a的幂级数展开式令 ，并把 x 换为 x2即得 f
19、(x)的幂级数展开式其中(2n-1)!=135(2n-1)，(2n)!=246(2n)利用 f(0)=O，在(-1，1)上逐项积分即得 f(x)的幂级数展开式以上幂级数在点 x=1 处成为交错级数由于数列 单调减少且趋于零，故幂级数在点 x=1 处收敛，类似可知幂级数在点 x=-1 处也收敛，又因函数 在 x=-1 与 x-1 处都连续，故 f(x)的幂级数展开式不仅在(-1，1)内成立，而且在点 x=-1 与x=1 也成立，即)解析：20.已知齐次线性方程组（分数：11.00）_正确答案：(解 对方程组()的系数矩阵 A 作初等行变换，有可求出()的基础解系为 1=(-1，1，-4，0) T
20、， 2=(-a，0，-3a，1) T对方程组()的系数矩阵 B 作初等行变换，有由于()与()同解，r(A)=r(B)知由于()与()同解， 1， 2也是()的基础解系，它应是的解从而 )解析：21.设 A 是 3 阶矩阵， 1， 2， 3是 3 维列向量，其中 30，若 A 1 2，A 2= 3，A 3=0()证明 1， 2， 3线性无关()求矩阵 A 的特征值和特征向量()求行列式A+2E的值（分数：11.00）_正确答案：(设 k1 1+k1 2+k3 3=0 (1)因为 A 1= 2，A 2= 3，A 3=0，用 A 左乘(1)式两端，有k1 2+k2 3=0 (2)再用 A 左乘(2
21、)式两端，有 k1 3=0由于 30，故必有 k1=0把 k1=0 代入(2)得 k2=0把 k1=0，k 2=0 代入(1)得 k3=0所以 1， 2， 3线性无关()由于据()知 1，2， 3线性无关，即矩阵 P=( 1， 2， 3)可逆从而 )解析：22.已知随机变量 X 的概率密度为 在 Xx(x0)的条件下，随机变量 Y 在区间(0，x)上服从均匀分布，求：()随机变量 X 与 Y 的联合概率密度 f(x，y)，X 与 Y 是否独立，为什么?()计算条件概率 （分数：11.00）_正确答案：(解答 ()由题设知：在 X=x(x0)的条件下，Y 的条件密度为根据乘法公式得由于，故 X
22、与 Y 不独立所以(HI)通过计算 Z=X-Y 的分布给出证明其方法有：方法一(分布函数法)Z=X-Y 分布函数当 z0 时，F z(z)=0，当 z0 时，综上得由此可知 Z=X-Y 服从参数 =1 的指数分布方法二(公式法)已知(X，Y)f(x，y)，则 Z=X-Y 的概率密度其中由此可知：当 z0 时，f z(z)=0；当 z0 时， 综上得所以 Z=X-Y 服从参数 =1 的指数分布注 仿照上述方法可以求得 Z=X+Y 的概率密度 fz(z)方法一(分布函数法)Z=X+Y 的分布函数由 f(x，y)非零定义域知：当 z0 时，F z(z)=0；当 z0 时，方法二(公式法)已知(X，Y
23、)f(x，y)，则 Z=X+Y 的概率密度 fz(z)=其中由此可知：当 z0 时，f z(z)=0；当 z0 时，综上得 )解析：23.一批产品需要通过检验才能出厂，检验员从产品中任取一件进行检验，取出产品为正品或次品的可能性一样由于检验误差，一件正品被误判为次品的概率是 2%，一件次品被误判为正品的概率是 3%如果一产品经检验被判为次品，那么它无需再进行二次检验；如果检验被判定为正品，那么需要对它再进行二次检验，二次检验均判定为正品的产品才判为正品假设各次检验是相互独立的，检验员的检验水平不变()试求对一产品进行检验，其检验次数的概率分布；()试求经二次检验均判定为正品的产品，它确实为正品
24、的概率 ；()如果独立地对 100 个产品进行检验，试应用中心极限定理计算检验总次数不超过 150 次的概率为(0.1)=0.54)（分数：11.00）_正确答案：(解答 ()由题设知对一产品进行检验最多检验二次，所以检验次数 X 可能取值为 1，2，且若记 A=“取出产品为正品”，B i=“第 i 次检验判定为正品”(i=1，2)依题设由全概公式得所以检验次数 X 的概率分布为注 事件X=2=B 1=B1B2+ ，我们也可以应用全概公式计算 PX=2从上述计算知，第一次检验被判为次品，它确定为次品的概率为() ，由于各次检验是相互独立的，因此有又 应用全概公式得所以()若用 Xi表示第 i 个产品检验所需的检验次数，则 Xi与 X 同分布即 Xi ，且 Xi相互独立(i=1，2，100)，EX i=0.495+20.505=1.505，EX 2i=10.495+40.505=2.515，DX i=2.515-1.5052=0.25，100 个产品检验总次数 ，根据独立同分布中心极限定理，Y 近似服从正态分布N(EY，DY)=N(150.5，25)，所以)解析：
