1、考研数学三-152 及答案解析(总分：156.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设二元函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处的两个偏导数 fx(x0，y 0)与 fy(x0，y 0)都存在，则（分数：4.00）A.极限 与极限B.极限C.函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处连续D.函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微，且全微分2.设 f(x0)=0 且 f“(x0)0，则存在 0，使得（分数：4.00）A.曲线 y=f(x)在(x 0-，x 0+)是凹的B.曲线 y=f(x)在(x 0-，x 0+)是凸的C.函数 y=f(x)在(x
2、0-，x 0上单调减少，在x 0，x 0+)上单调增加D.函数 y=f(x)在(x 0-，x 0上单调增加，在x 0，x 0+)上单调减少3.设 y=y(x)是方程 x2y+e2y=1+sin(x+y)确定的隐函数，且 y(0)=0，则 y“(0)=（分数：4.00）A.-2B.-4C.2D.44.设 A、B、C 为事件，P(ABC)0，如果 P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)，则（分数：4.00）A.P(C|AB)=P(C|A)B.P(C|AB)=P(C|B)C.)D.) P(B|AC5.下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 （分数：4.00）A.
3、B.C.D.7.已知随机变量 X 与 Y 都服从正态分布 N(， 2)，如果 Pmax(X，Y)=a(0a1)，则 Pmin(X，Y) 等于（分数：4.00）_8.设 1， 2， 3， 4， 5是 4 维向量，下列命题中正确的是（分数：4.00）A.如果 1， 2， 3， 4线性相关，那么 k1，k 2，k 3，k 4不全为 0 时，有 k1 1+k2 2+k3 3+k4 4=0B.如果 1， 2， 3， 4线性相关，那么当 k1 1+k2 2+k3 3+k4 4=0 时，有 k1，k 2，k 3，k 4不全为0C.如果 5不能由 1， 2， 3， 4线性表出，那么 1， 2， 3， 4必线性
4、相关D.如果 1， 2， 3， 4线性相关，那么 5不能由 1， 2， 3， 4线性表出二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10.函数 （分数：4.00）填空项 1:_11.设 则 （分数：4.00）填空项 1:_12.微分方程 满足 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 A 是 3 阶矩阵，B 是 4 阶矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，且|A|=2，|B|= ，则 （分数：4.00）填空项 1:_14.已知 X1，X 2，X n是来自正态总体 N(0， 2)的简单随机样本，样本均值和样本方差分别为 和S2，记 （分数：4.00）填空项 1:_三
5、、解答题(总题数：9，分数：100.00)15.证明 （分数：10.00）_16.设常数 a(-，+)，讨论反常积分 的敛散性又当上述反常积分收敛时，记 （分数：10.00）_17.某市计划投资 150(百万元)对该地区现有电器厂和化工厂进行技术改造已知为完成一个电器厂的技术改造需要投资 5(百万元)，而完成一个化工厂的技术改造需要投资 6(百万元)一旦 x 个电器厂与 y 个化工厂完成技术改造，并在扣除这些厂的技术改造的投资后可使该市得到总利润的年增加值为（分数：10.00）_18.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1求证对任意的正数 a 和 b，在
6、(0，1)内存在 使得 （分数：10.00）_19.求幂级数 （分数：10.00）_设二次型矩阵 A 满足 AB=0，其中 （分数：12.00）(1).用正交变换化二次型 xTAx 为标准形，并写出所用正交变换（分数：6.00）_(2).判断矩阵 A 和 B 是否合同（分数：6.00）_设 A 是 4 阶非零矩阵， 1， 2， 3， 4是非齐次线性方程组 Ax=b 的不同的解（分数：10.00）(1).如果 1， 2， 3线性相关，证明 1- 2， 1- 3也线性相关；（分数：5.00）_(2).如果 1， 2， 3， 4线性无关，证明 1- 2， 1- 3， 1- 4是齐次方程组 Ax=0
7、的基础解系（分数：5.00）_20.已知随机变量 X1，X 2，X 3，X 4相互独立，X 1与 X2都在区间(0，1)上服从均匀分布，X 3与 X4都服从参数为 （分数：10.00）_已知 X 服从参数为 1 的指数分布，Y=|X|，试求：（分数：18.00）_(2).关于 X 和关于 Y 的边缘分布函数 FX(x)和 FY(y)；（分数：6.00）_(3).X，Y 的相关系数 XY（分数：6.00）_考研数学三-152 答案解析(总分：156.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设二元函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处的两个偏导数 fx(x0，
8、y 0)与 fy(x0，y 0)都存在，则（分数：4.00）A.极限 与极限 B.极限C.函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处连续D.函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微，且全微分解析：分析 按照偏导数的定义，二元函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处对 x 的偏导数是一元函数 f(x，y 0)在点 x=x0处的导数，即*再由一元函数在某点处可导是该函数在此点处连续的充分条件即知，若二元函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处对 x 的偏导数 fx(x0，y 0)存在，则一元函数 f(x，y 0)在点 x=x0处连续，从而极限*存在，且*与此类似，由二元函数 f(x，y)
9、在点(x 0，y 0)处对 y 的偏导数存在，可得一元函数 f(x0，y)在点 y=y0处连续，从而极限*存在，且*=f(x 0，y 0)2.设 f(x0)=0 且 f“(x0)0，则存在 0，使得（分数：4.00）A.曲线 y=f(x)在(x 0-，x 0+)是凹的B.曲线 y=f(x)在(x 0-，x 0+)是凸的C.函数 y=f(x)在(x 0-，x 0上单调减少，在x 0，x 0+)上单调增加 D.函数 y=f(x)在(x 0-，x 0上单调增加，在x 0，x 0+)上单调减少解析：分析 由题设可得*，从而按极限的性质即知，存在 0，使得当 0|x-x 0| 时*，这表明当 x(x 0
10、-，x 0)时 f(x)0，而当 x(x 0，x 0+)时 f(x)0又因 f(x)在 x=x0处连续，所以 f(x)在(x 0-，x 0单调减少而在x 0，x 0+)单调增加，即应选(C)3.设 y=y(x)是方程 x2y+e2y=1+sin(x+y)确定的隐函数，且 y(0)=0，则 y“(0)=（分数：4.00）A.-2B.-4 C.2D.4解析：分析 将 x2y+e2y=1+sin(x+y)看成关于 x 的恒等式，两端对 x 求导数得2xy+x2y+e2y2y=cos(x+y)(1+y) (*)把 x=0，y(0)=0 代入上式可得2y(0)=1+y(0)* y(0)=1将(*)看成关
11、于 x 的恒等式，两端再对 x 求导数又得2y+4xy+x2y“+e2y(2y)2+e2y2y“=-sin(x+y)(1+y)2+cos(x+y)y“，把 x=0，y(0)=0，y(0)=1 代入上式可得4+2y“(0)=y“(0)*y“(0)=-4故应选(B)4.设 A、B、C 为事件，P(ABC)0，如果 P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)，则（分数：4.00）A.P(C|AB)=P(C|A)B.P(C|AB)=P(C|B)C.)D.) P(B|AC 解析：分析 已知 P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)意指“在 C 发生的条件下，A 与 B 独立”所以“在 C 发生的条件下，A
12、 发生与否不影响 B 发生的概率”，即 P(B|AC)=P(B|C)，选择(D)我们也可以通过计算来确定选项事实上P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)*P(A|C)P(B|AC)=P(A|C)P(B|C)*P(B|AC)=P(B|C)，选择(D)选项(A)、(C)表示在 A 发生条件下，B 与 C 独立；选项(B)表示在 B 发生条件下，A 与 C 独立5.下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是（分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 (A)是实对称矩阵，(D)有 3 个不同的特征值，都可相似对角化，(B)和(C)矩阵的特征值分别是 2，2，0 和 2，2，1，特征值有重根易见秩*所以齐
13、次方程组(2E-B)x=0 只有 1 个线性无关的解，亦即 =2 只有一个线性无关的特征向量故(B)不能相似对角化而*，对 =2，矩阵 C 有 2 个线性无关的特征向量，所以(C)和对角矩阵相似6.设 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 因*且*(其中*，故 f(x)在 x=0 处连续(A)不正确又因当 x0 时 f(x)=2x，且 f-(0)=0，当 x0 时*，还有*=0，故 f(x)在(-，+)上处处可导(B)不正确由上面的计算可知*不存在，因而 f(x)在点 x=0 处不连续，故(C)正确，(D)不正确从而应选结论(C)7.已知随机变量 X 与 Y 都服从正态分布 N(，
14、2)，如果 Pmax(X，Y)=a(0a1)，则 Pmin(X，Y) 等于（分数：4.00）_解析：分析 Pmax(X，Y)=P(X)(Y)=PX+PY-PX，Y*=1-Pmin(X，Y)=Pmin(X，Y)，选择(C)我们也可以这样考虑，由于Pmax(X，Y)=1-Pmax(X，Y)*其中 A=X，B=Y，已知 XN(， 2)，YN(， 2)，所以*，Pmin(X，Y)=1-Pmin(X，Y)=1-PX，Y8.设 1， 2， 3， 4， 5是 4 维向量，下列命题中正确的是（分数：4.00）A.如果 1， 2， 3， 4线性相关，那么 k1，k 2，k 3，k 4不全为 0 时，有 k1 1
15、+k2 2+k3 3+k4 4=0B.如果 1， 2， 3， 4线性相关，那么当 k1 1+k2 2+k3 3+k4 4=0 时，有 k1，k 2，k 3，k 4不全为0C.如果 5不能由 1， 2， 3， 4线性表出，那么 1， 2， 3， 4必线性相关 D.如果 1， 2， 3， 4线性相关，那么 5不能由 1， 2， 3， 4线性表出解析：分析 因为 1， 2， 3， 4， 5是 5 个 4 维向量它必线性相关而当 1， 2， 3， 4线性无关时， 5必可由 1， 2， 3， 4线性表出现在 5不能由 1， 2， 3， 4线性表出，所以 1， 2， 3， 4必线性相关即命题(C)正确按定
16、义当 1， 2， 3， 4线性相关时，存在不全为 0 的 k1，k 2，k 3，k 4，使k1 1+k2 2+k3 3+k4 4=0，但不是对任意不全为 0 的 k1，k 2，k 3，k 4均有 k1 1+k2 2+k3 3+k4 4=0，故命题(A)不正确因为 0 1+0 2+0 3+0 4=0 恒成立，所以命题(B)不正确当 1， 2， 3， 4线性无关时， 5一定能由 1， 2， 3， 4线性表出，当 1， 2， 3， 4线性相关时， 5也有可能由 1， 2， 3， 4线性表出(例如 5= 1)，故命题(D)不正确二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项
17、1:_ （正确答案：e -1）解析：分析 引入函数*，并设*，则*而且有*利用数列极限与函数极限的关系可得*用洛必达法则计算可得*从而*10.函数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：x=0）解析：分析 由题设知函数 f(x)的定义域是三个开区间*与(0，+)的并集，由初等函数的连续性即知 f(x)在其定义域内连续，即 f(x)只有 x=0 与*两个间断点当 0|8x|1 时 f(x)可改写成*，从而由洛必达法则可得*于是*，即 x=0 是 f(x)的第一类间断点又因*，故*是 f(x)的第二类间断点综合即知应填 x=011.设 则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）
18、解析：分析 因函数 f(x)在(-，+)上连续，取定 x0，作从 x0到 x 的变限定积分*就是函数 f(x)的一个原函数，从而函数 f(x)的不定积分为*，其中 C 是一个任意常数为计算方便起见，在本题中应取 x0为函数 f(x)的分段点，即应设 x0=0于是 f(x)的一个原函数是*而 f(x)的不定积分是*其中 C 是一个任意常数12.微分方程 满足 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 题设方程是霄次微分方程令*，则 y=xu，从而*，代入即得 u 满足的微分方程是*，即*分离变量即得*，把方程改写成*，两边积分可得方程当 x0 时的通解是*解出 y=xarcs
19、inCx利用初值*即知 C 满足等式*故所求特解是*13.设 A 是 3 阶矩阵，B 是 4 阶矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，且|A|=2，|B|= ，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 由*及|A -1|=*有*14.已知 X1，X 2，X n是来自正态总体 N(0， 2)的简单随机样本，样本均值和样本方差分别为 和S2，记 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： 2）解析：分析 由题设知 XN(0， 2)，故* ES 2=DX= 2所以*三、解答题(总题数：9，分数：100.00)15.证明 （分数：10.00）_正确答案：(因|sinx|是以 为周
20、期的周期函数，且*=2从而当 n=1，2，3，时*又因当 nx(n+1) 时*于是有*当 nx(n+1) 时成立，由不等式的性质即知此时成立*当 x+时满足(n+1)xn 的 n 满足*，于是相应的 n 也满足 n+所以在(*)中令 x+取极限，即得*=*由夹逼定理即知*)解析：16.设常数 a(-，+)，讨论反常积分 的敛散性又当上述反常积分收敛时，记 （分数：10.00）_正确答案：(当 a1 时*当 a=1 时*因此，当 a1 时广义积分发散，当 a1 时广义积分收敛，且*记 q=ln2，则常数 q 满足 0q1因为 I(a)0，故 lnI(a)=-ln(a-1)+(a-1)lnq，于是
21、*这表明函数 I(a)当*时取得最小值)解析：17.某市计划投资 150(百万元)对该地区现有电器厂和化工厂进行技术改造已知为完成一个电器厂的技术改造需要投资 5(百万元)，而完成一个化工厂的技术改造需要投资 6(百万元)一旦 x 个电器厂与 y 个化工厂完成技术改造，并在扣除这些厂的技术改造的投资后可使该市得到总利润的年增加值为（分数：10.00）_正确答案：(本题主要考查条件极值的求法，是经济中的最大值应用问题目标函数是总利润年增加值函数 f(x，y)，要在 5x+6y=150 的约束条件下求 f(x，y)的最大值，其中 x 和y 分别是完成技术改造的电器厂和化工厂的个数解法一 利用拉格朗
22、日乘数法求解令*驻点条件是*由，可得*，即 9y=5x结合可解出唯一驻点 x=18，y=10因驻点唯一，且实际问题必存在最大值，故上述结果表明该地区应改造 18 个电器厂和 10 个化工厂，可获得最大总利润年增加值，且此最大值为maxf=f(18，10)=60(百万元)解法二 从约束条件 5x+6y=150 可得*，代入目标函数有*其中*，由驻点条件*可解得唯一驻点 x=18又因*于是 f 当 x=18 时(且 y=10 时)取得极大值，注意 f 在定义域内部仅有唯一驻点且取极大值，因此在 x=18技术改造可获得最大利润年增加值，其最大值为 f(18，10)=60(百万元)解析：18.设 f(
23、x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1求证对任意的正数 a 和 b，在(0，1)内存在 使得 （分数：10.00）_正确答案：(结论可改写为而*由于*，又 f(x)连续地从 f(0)=0 变到 f(1)=1，从而存在 c(0，1)使得*，结论又可改写为*，再把 f(0)=0 与 f(1)=1 用上，上式就可改写成*这提示我们在使*的 c 处分割区间0，1，然后分别在0，c与c，1上应用拉格朗日中值定理因 f(0)=0，f(1)=1，又*，从而*是 f(x)的值域0，1内的一点由连续函数的性质知*c(0，1)使*分别在区间0，c与c，1上对 f(x)应用拉格朗日中
24、值定理即知：*使得f(c)-f(0)=f()(c-0)=cf()， (*)又*使得f(1)-f(c)=f()(1-c)=(1-c)f()， (*)把 f(0)=0 与 f(1)=1 以及*代入(*)与(*)，分别得到*从而*)解析：19.求幂级数 （分数：10.00）_正确答案：(当 x=0 时幂级数*是收敛的，当 x0 时由于*可见当 0|x|1 时幂级数绝对收敛，当|x|1 时幂级数发散，故幂级数的收敛半径 R=1当 x=1 时幂级数成为交错级数*，由于数列*单调减少且趋于零，故幂级数当 x=1 时也收敛，即幂级数的收敛域为闭区间-1，1令幂级数的和函数为 S(x)，即*由于*，记*当|x
25、|1 时逐项求导得*将上式逐项求积分，并利甩 S1(0)=0 即得当|x|1 时*代入即得*由于幂级数*在 x=1 收敛，从而 S(x)在-1，1上连续注意 xarctanx 在 x=1 也连续，故 S(x)=xarctanx 不仅当|x|1 时成立，而且在 x=1 也成立即有*)解析：设二次型矩阵 A 满足 AB=0，其中 （分数：12.00）(1).用正交变换化二次型 xTAx 为标准形，并写出所用正交变换（分数：6.00）_正确答案：(AB=0 知 =0 是矩阵 A 的特征值且矩阵 B 的列向量(1，0，1) T是矩阵 A 属于特征值 =0 的特征向量故有*于是*a=-1，b=1，c=-
26、4由矩阵 A 的特征多项式*得矩阵 A 的特征值为：6，0，-6由(6E-A)x=0 得矩阵 A 属于特征值 6 的特征向量为(1，2，-1) T由(-6E-A)x=0 得矩阵 A 属于特征值-6 的特征向量为(-1，1，1) T实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，单位化有*那么令*则有*)解析：(2).判断矩阵 A 和 B 是否合同（分数：6.00）_正确答案：(不合同，因为*，它们的正负惯性指数不一样，所以不合同)解析：设 A 是 4 阶非零矩阵， 1， 2， 3， 4是非齐次线性方程组 Ax=b 的不同的解（分数：10.00）(1).如果 1， 2， 3线性相关，证明 1- 2， 1-
27、 3也线性相关；（分数：5.00）_正确答案：(因为 1， 2， 3线性相关，故有不全为 0 的 k1，k 2，k 3使得 k1 1+k2 2+k3 3=0，那么(k1+k2+k3) 1=k2( 1- 2)+k3( 1- 3)因为 1- 2， 1- 3是齐次方程组 Ax=0 的解，而 1是非齐次方程组 Ax=b 的解，所以 1不能由 1- 2， 1- 3线性表出，故必有 k1+k2+k3=0从而 k2( 1- 2)+k3( 1- 3)=0此时必有 k2，k 3不全为 0(否则 k1，k 2，k 3全为 0)，即 1- 2， 1- 3线性相关)解析：(2).如果 1， 2， 3， 4线性无关，证
28、明 1- 2， 1- 3， 1- 4是齐次方程组 Ax=0 的基础解系（分数：5.00）_正确答案：(由方程组的性质知 1- 2， 1- 3， 1- 4是 Ax=0 的解当 k1( 1- 2)+k2( 1- 3)+k3( 1- 4)=0 时即(k 1+k2+k3) 1-k1 2-k2 3-k3 4=0因为 1， 2， 3， 4线性无关，故*即必有 k1=k2=k3=0从而 1- 2， 1- 3， 1- 4是 Ax=0 的 3 个线性无关的解那么 n-r(A)3 即 r(A)1，又 A0 有 r(A)1，从而 r(A)=1因此 1- 2， 1- 3， 1- 4是 Ax=0 的基础解系)解析：20.已知随机变量 X1，X 2，X 3，X 4相互独立，X 1与 X2都在区间(0，1)上服从均匀分布，X 3与 X4都服从参数为 （分数：10.00）_解析：已知 X 服从参数为 1 的指数分布，Y=|X|，试求：（分数：18.00）_解析：(2).关于 X 和关于 Y 的边缘分布函数 FX(x)和 FY(y)；（分数：6.00）_正确答案：(*)解析：(3).X，Y 的相关系数 XY（分数：6.00）_正确答案：(*DY=EY2-(EY)2=EX2-(EX)2=DX*故 XY=1)解析：
