1、考研数学三-151 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 f(x)在 x=0 处 3 阶可导，且 f(0)=0，f“(0)=0，f“(x)0，则_Ax=0 是 f(x)的极小值点Bx=0 是 f(x)的极大值点C在点(0，f(0)的左、右邻域曲线 y=f(x)分别为凹与凸D在点(0，f(0)的左、右邻域曲线 y=f(x)分别为凸与凹（分数：4.00）A.B.C.D.3.函数 f(x)=|x3+x2-2x|arctanx 的不可导点的个数是_A3 B2 C1 D0（分数：4.00）A.B.
2、C.D.4.设 I= xydxdy，其中 D 由曲线 y= ，y=-x 和 y= （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 为四维列向量， T为 的转置，若（分数：4.00）A.B.C.D.6.设向量组 1， 2， 3， 1线性相关，向量组 1， 2， 3， 2线性无关，则对于任意常数 k，必有_A 1， 2， 3，k 1+ 2线性无关 B 1， 2， 3，k 1+ 2线性相关C 1， 2， 3， 1+k 2线性无关 D 1， 2， 3， 1+k 2线性相关（分数：4.00）A.B.C.D.7.设随机变量 X1 和 X2相互独立同分布(方差大于零)，令X=X1+aX2，Y=X 1+bX2(a，
3、b 均不为零)如果 X 与 Y 不相关，则_Aa 与 b 可以是任意实数 Ba 和 b 一定相等Ca 和 b 互为负倒数 Da 和 b 互为倒数（分数：4.00）A.B.C.D.8.设随机变量 Xi （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10.函数 y= （分数：4.00）填空项 1:_11.设 f(x)= （分数：4.00）填空项 1:_12.已知 yt=c1+c2at是差分方程yt+2-3y+1+2yt=0 的通解，则 a=_（分数：4.00）填空项 1:_13.已知 1，2，3 是四元非齐次线性方程组 AX=b
4、的 3 个解，其中2 1- 2=0，2，2，2 T， 1+ 2+ 3=4，-1，2，3 T，2 2+ 3=5，-1，0，1 T，秩 r(A)=2，那么方程组 AX=b 的通解是_（分数：4.00）填空项 1:_14.设随机变量 X 在区间-1，3上服从均匀分布，则|X|的概率密度是_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.已知 an= x2(1-x)ndx，证明级数 （分数：10.00）_某工厂生产甲、乙两种产品，当这两种产品的产量分别为 x 和 y(单位：吨)时的总效益函数为R(x，y)=15x+34y-x 2-2xy-4y2-36 (单位：万元)已知
5、生产甲种产品每吨需支付排污费用 1 万元，生产乙种产品每吨需支付排污费 2 万元（分数：10.00）(1).在不限制排污费用支出的情况下，这两种产品的产量各为多少时总利润最大?最大总利润是多少?（分数：5.00）_(2).当限制排污费用总量为 6 万元时，这两种产品的产量各为多少时总利润最大?最大总利润又是多少?（分数：5.00）_16.求微分方程 y“+4y=sin2x 满足条件 y(0)=0，y(0)=1 的特解（分数：10.00）_函数 f(x)在0，+)上可导，且 f(0)=1，满足等式（分数：10.00）(1).求导数 f(x)（分数：5.00）_(2).证明：当 x0 时，成立不等
6、式 e-xf(x)1（分数：5.00）_17.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，且在(a，b)内可微，又对于(a，b)内的 x，有 g(x)0，则在(a，b)内存在一个 ，使（分数：10.00）_18.设有 Amn，B nm，已知 En-AB 可逆，证明 En-BA 可逆，且(E n-BA)-1=En+B(En-AB)-1A（分数：11.00）_设矩阵 A 与 B 相似，且（分数：11.00）(1).求 a，b 的值（分数：5.50）_(2).求可逆矩阵 P，使 P-1AP=B（分数：5.50）_19.设随机变量 XN(0，1)，求 Y=e3X+1的概率密度（分数：11.00）_20.保险
7、公司为 50 个集体投保人提供医疗保险假设他们医疗花费相互独立，且花费(单位：百元)服从相同的分布律（分数：11.00）_考研数学三-151 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 先找出 f(x)的间断点，再用可去间断点的下述定义判别其个数若 f(x0+0)=f(x0-0)即 f(x)在x=x0处极限存在，但其极限值不等于在该点的函数值，则该点为可去间断点显然，x=0，1，-1 为 f(x)的间断点因2.设 f(x)在 x=0 处 3 阶可导，且 f(0)=0，f“(0)=0，f“(
8、x)0，则_Ax=0 是 f(x)的极小值点Bx=0 是 f(x)的极大值点C在点(0，f(0)的左、右邻域曲线 y=f(x)分别为凹与凸D在点(0，f(0)的左、右邻域曲线 y=f(x)分别为凸与凹（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 利用泰勒展开式及相关概念的定义判别之解一 由泰勒公式及题设得到故当|x|充分小且 x0 时，f(x)-f(0)0；当 x0 时，f(x)-f(0)0因而 f(0)不是极值，排除 A、B又将 f“(x)按皮亚诺余项展开，有f“(x)=f“(0)+f“(0)x+o(x)=f“(0)x+o(x)当|x|充分小且 x0 时，f“(x)0(因 f“(0)0)，
9、故曲线 y=f(x)在点(0，f(0)的左侧邻域为凸当 x0 时，因 f“(0)0，故 f“(x)0，则曲线 y=f(x)在点(0，f(0)的右侧邻域为凹仅 D 入选解二 利用3.函数 f(x)=|x3+x2-2x|arctanx 的不可导点的个数是_A3 B2 C1 D0（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 利用下述判别法判别设 f(x)=|x-a|(x)，其中 (x)在 x=a 处连续若 (a)=0，则 f(x)在 x=a 处可导且 f(a)=(a)=0；若 (a)0，则 f(x)在 x=a 处不可导为此，常将函数中含绝对值部分的子函数分解为一次因式|x-a|的乘积因 f(x)可
10、分解成f(x)=|x(x2+x-2)|arctanx=|x(x+2)(x-1)|arctanx=|x|x+2|x-1|arctanx显然 arctanx 在 x=0，-2，1 处连续因|x|x+2|x-1|arctanx=|x|(x)，其中 (x)| x=0=|x+2|x-1|arctanx|x=0=0，故 f(x)在 x=0 处可导|x|x+2|x-1|arctanx=|x-1|(|x|x+2|arctanx)=|x-1|(x)，而当 x=1 时，(x)| x=1=|x|x+2|arctanx|x=10，故 f(x)在 x=1 处不可导又|x|x+2|x-1|arctanx=|x+2|(|x
11、|x-1|arctanx)=|x+2|(x)，(x)| x=-2=|x|x-1|arctanx|x=-20，故 f(x)在 x=-2 处不可导仅 C 入选4.设 I= xydxdy，其中 D 由曲线 y= ，y=-x 和 y= （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 D 的示意图如图所示，需分段求出 ID 将区域 D 分为两部分，在第一象限的部分记为 D1，在第二象限的部分记为 D2(见下图)求出 y=-x 与 y=的交点为( )5.设 为四维列向量， T为 的转置，若（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由所给的矩阵等式观察出 的元素，从而易求出 T因6.设向量组 1， 2
12、， 3， 1线性相关，向量组 1， 2， 3， 2线性无关，则对于任意常数 k，必有_A 1， 2， 3，k 1+ 2线性无关 B 1， 2， 3，k 1+ 2线性相关C 1， 2， 3， 1+k 2线性无关 D 1， 2， 3， 1+k 2线性相关（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由于 k 为任意常数，令 k 取某些特殊值可以排除错误结论解一 当 k=0 时，显然 B、C 不成立当 k=1 时，D 不成立事实上，由题设 1， 2， 3， 2线性无关，如果 1， 2， 3， 1+ 2线性相关，而 1， 2， 3线性无关，则 1能由 1， 2， 3线性表示，而 2不能，于是 1+
13、2不能由 1， 2， 3线性表示，所以 D 不成立仅 A 入选解二 对于任意常数 k，证明 A 成立设l1 1+l2 2+l3 3+l4(k 1+ 2)=0下证 l4=0若 l40，则 k 1+ 2可由 1， 2， 3线性表示，由题设知 1能由 1， 2， 3线性表示，因而 2能由 1， 2， 3线性表示这与 1， 2， 3， 2线性无关相矛盾，所以l4=0，则上述等式可化为 l1 1+l2 2+l3 3=0。而 1， 2， 3线性无关，故 l1=0，l 2=0，l 3=0，所以 1， 2， 3，k 1+ 3线性无关故 A 正确7.设随机变量 X1 和 X2相互独立同分布(方差大于零)，令X=
14、X1+aX2，Y=X 1+bX2(a，b 均不为零)如果 X 与 Y 不相关，则_Aa 与 b 可以是任意实数 Ba 和 b 一定相等Ca 和 b 互为负倒数 Da 和 b 互为倒数（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 利用 X 和 Y 不相关的充要条件判别之X 与 Y 不相关的充分必要条件是 XY=0，即 cov(X，Y)=0cov(X，Y)=cov(X 1+aX2，X 1+bX2)=D(X1)+(a+b)cov(X1，X 2)+abD(X2)由于 X1与 X2独立同分布，有cov(X1，X 2)=0，且 D(X1)=D(X2)于是 cov(X，Y)=0 (1+ab)D(X1)=0
15、 1+ab=08.设随机变量 Xi （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 利用边缘分布与联合分布的关系及题设 P(X1X2=0)=1 求之由题设有P(X1X20)=1-P(X 1X2=0)=1-1=0设 X1的取值为 x1，x 2，x 3，X 2的取值为 y1，y 2，y 3，则田 X1的边缘分布得到p11+p12+p13=0+p12+0=P(X1=-1)= ，则 p12= ；p31+p32+p33=0+p32+0=P(X1=1)= ，则 p32= 又由 X2的边缘分布得到p11+p21+p31=0+p21+0=P(X2=-1)= ，则 p21= ；p13+p23+p33=0+p23
16、+0=P(X2=1)= ，则 p23= 由 X2的边缘分布得到p12+p22+p32=1/4+p22+1/4=P(X2=0)=1/2，则 p22=0故二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 被积函数为无理式，先作变量代换化为有理式后再计算用换元积分法，作变量代换，于是 x=(t2-1)2，dx=4(t 2-1)tdt当 x 从 0 变到 1 时，t 从 1 变到 ，从而10.函数 y= （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 要充分利用定积分 及 的几何意义计算有关的定积分前者表示圆(x-a) 2+y2
17、=a2在 x 轴上方部分的 1/2，其值为整个圆面积的 1/4，而后者为整个圆面积的 1/2，即所求的平均值为 由定积分的几何意义即得11.设 f(x)= （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 函数 f(x)在一点的高阶导数常用 f(x)的泰勒展开式求之则于是 ，|x|1又 比较式与式中 x102中的系数，它们应该相等，于是有故12.已知 yt=c1+c2at是差分方程yt+2-3y+1+2yt=0 的通解，则 a=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：解析 用特解代入法确定之将 yt=c1+c2at代入方程，有c1+c2at+2-3(c1+c2at
18、+1)+2(c1+c2at)=0，即 a2-3a+2=0，解得 a=1，2其中 a=1 时，yt=c1+c2实际上它只是一个任意常数，不构成该差分方程的通解，舍去，故 a=213.已知 1，2，3 是四元非齐次线性方程组 AX=b 的 3 个解，其中2 1- 2=0，2，2，2 T， 1+ 2+ 3=4，-1，2，3 T，2 2+ 3=5，-1，0，1 T，秩 r(A)=2，那么方程组 AX=b 的通解是_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0，2，2，2 T+k1-1，0，2，2 T+k2-5，7，6，5 T，）解析：解析 利用方程组解的结构及其性质求之因为 n-r(A)=4-2=
19、2，所以方程组 AX=b 的通解形式为+k 1 1+k2 2，其中 为 AX=b 的特解， 1， 2为 AX=0 的基础解系因此，下面应求出 AX=b 的一个解及 AX=0 的两个线性无关的解根据解的性质知，2 1- 2= 1+( 1- 2)=0，2，2，2 T是 AX=b 的解而( 1+ 2+ 3)-(2 2+ 3)= 1- 2=-1，0，2，2 T是 AX=0 的解3(2 1- 2)-(2 2+ 3)=5( 1- 2)+( 1- 3)=-5，7，6，5 T是 AX=0 的解显然-1，0，2，2 T与-5，7，6，5 T线性无关(对应分量不成比例)因此，方程组 AX=b 的通解为0，2，2，
20、2 T+k1-1，0，2，2 T+k2-5，7，6，5 T，其中 k1，k 2为任意常数14.设随机变量 X 在区间-1，3上服从均匀分布，则|X|的概率密度是_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 先求|X|的分布函数 F|X|(x)=P(|X|x)，再求 f|X|(x)当 x0 时，F(x)=P(|X|x)=P( )=0，当 0x1 时，当 1x3 时，当 x3 时，F(x)=1综上得到故三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.已知 an= x2(1-x)ndx，证明级数 （分数：10.00）_正确答案：(由式得 因 收敛，故正项函数 收敛又由式与式得到故
21、所以该级数收敛，其和为 )解析：解析 先求出 an的分式表示式，再证明其部分和有极限求出此极限也就求出了该级数的和其中，可利用公式某工厂生产甲、乙两种产品，当这两种产品的产量分别为 x 和 y(单位：吨)时的总效益函数为R(x，y)=15x+34y-x 2-2xy-4y2-36 (单位：万元)已知生产甲种产品每吨需支付排污费用 1 万元，生产乙种产品每吨需支付排污费 2 万元（分数：10.00）(1).在不限制排污费用支出的情况下，这两种产品的产量各为多少时总利润最大?最大总利润是多少?（分数：5.00）_正确答案：(扣除排污费用后即得总利润函数：L(x，y)=R(x，y)-x-2y=14x+
22、32y-x 2-2xy-4y2-36令 )解析：(2).当限制排污费用总量为 6 万元时，这两种产品的产量各为多少时总利润最大?最大总利润又是多少?（分数：5.00）_正确答案：(由题设知，应在条件 x+2y=6 下求 L(x，y)的最大值构造拉格朗日函数：F(x，y，)=L(x，y)+(x+2y-6)令 )解析：解析 列出总利润函数的表示式，然后分别按无条件极值和有条件极值求之16.求微分方程 y“+4y=sin2x 满足条件 y(0)=0，y(0)=1 的特解（分数：10.00）_正确答案：(可求得特征方程 r2+4=0，得 r=2i于是方程对应齐次方程通解为Y=C1cos2x+C2sin
23、2x又设非齐次方程的特解为y*=x(Acos2x+Bsin2x)，代入方程，有 A=- ，B=0故原方程的通解为y=Y+y*=C1cos2x+C2sin2x- xcos2x将条件 y(0)=0，y(0)=1 代入，得C1=0，C 2=故满足条件的特解为 )解析：解析 先求特征方程的根，再确定特解的形式求出通解后，使用初始条件求出所要求的特解函数 f(x)在0，+)上可导，且 f(0)=1，满足等式（分数：10.00）(1).求导数 f(x)（分数：5.00）_正确答案：(整理后有等式(x+1)f(x)+(x+1)f(x)- f(t)dt=0，求导得到(x+1)f“(x)+(x+2)f(x)=0
24、设 u(x)=f(x)，则两边积分得到，即 )解析：(2).证明：当 x0 时，成立不等式 e-xf(x)1（分数：5.00）_正确答案：(由 且 x0，则有不等式 )解析：解析 先在所给等式两边求导得到 f(x)的二阶微分方程为求 f(x)，视 f(x)为因变量，化为一阶微分方程而求之求出 f(x)的表示式后再放缩化为不等式，最后积分即可得到 f(x)的不等式17.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，且在(a，b)内可微，又对于(a，b)内的 x，有 g(x)0，则在(a，b)内存在一个 ，使（分数：10.00）_正确答案：(证明 令 F(x)=f(x)-f(a)g(b)-g(x)下面对
25、F(x)验证其满足罗尔定理的全部条件，显然有F(a)=0，F(b)=0又 F(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，由罗尔定理知，存在 (a，b)，使F()=0，即 f()g(b)-g()-f()f(a)g()=0由 g()0 得到 )解析：解析 先找出辅助函数 F(x)下面用凑导数法求之将待证等式中的 改为 x，式化为f(x)g(b)-g(x)-g(x)f(x)-f(a)=0，即f(x)-f(a)g(b)-g(x)+f(x)-f(a)g(b)-g(x)=0亦即f(x)-f(a)g(b)-g(x)=0因而应作 F(x)=f(x)-f(a)g(b)-g(x)18.设有 Amn，B nm，已知
26、En-AB 可逆，证明 En-BA 可逆，且(E n-BA)-1=En+B(En-AB)-1A（分数：11.00）_正确答案：(证明 (E n-BA)En+B(En-AB)-1A=En-BA+B(En-AB)-1A-BAB(En-AB)-1A=En-BA+(B-BAB)(En-AB)-1A=En-BA+B(En-AB)(En-AB)-1A=En-BA+BA=En故 En-BA 可逆，且(E n-BA)-1=En+B(En-AB)-1A)解析：解析 只需证E nBAEn+B(En-BA)-1A=E设矩阵 A 与 B 相似，且（分数：11.00）(1).求 a，b 的值（分数：5.50）_正确答案
27、：(首先将 A 的特征多项式分解成 的因式的乘积为此将|E-A|中不含 的某元素消成零，使其所在的列(或行)产生 的一次因式)解析：(2).求可逆矩阵 P，使 P-1AP=B（分数：5.50）_正确答案：(解线性方程组(2E-A)X=0，(6E-A)X=0 分别得到对应于 1= 2=2， 3=6 的特征向量 1=1，-1，0 T， 2=1，0，1 T， 3=1，-2，3 T令 P= 1， 2， 3，有 P-1AP=B，于是 P= 1， 2， 3即为所求)解析：解析 先求出 A 的 3 个特征值 1， 2， 3，再分别求出 A 的对应于 i的特征向量 i(i=1，2，3)，则可求出可逆矩阵 P=
28、 1， 2， 319.设随机变量 XN(0，1)，求 Y=e3X+1的概率密度（分数：11.00）_正确答案：(因 XN(0，1)，故 X 的概率密度为，-x+因 Y=e3X+1，故 y=e3x+1为单调增加函数而，x= ，故 Y 的概率密度函数为)解析：解析 若 X 的概率密度为 fX(x)，随机变量 Y=(X)的概率密度 fY(y)的求法如下(1)若 (x)0 即 y=(x)为单调增加函数，则fY(y)=fX -1(y) -1(y)，其中 x= -1(y)是 y=(x)的反函数(2)若 (x)0 即 y=(x)为单调减少函数，则fY(Y)=-fX -1(y) -1(y),其中 x= -1(
29、y)为 y=(x)的反函数上述两种情况可合并为fY(y)=fX -1(y)| -1(y)|20.保险公司为 50 个集体投保人提供医疗保险假设他们医疗花费相互独立，且花费(单位：百元)服从相同的分布律（分数：11.00）_正确答案：(假设第 i 个设保人员医疗花费为，那么保险公司支付第 i 个人的费用为Xi独立同分布，且E(Xi)=00.5+0.50.4+20.1=0.4，E( )=00.5+(0.5)20.4+220.1=0.5D(Xi)=E( )-E(Xi)2=0.5-(0.4)2=0.34总支付费用为，E(X)=500.4=20，D(X)=500.34=17由独立同分布中心极限定理知，X 近似服从正态分布 N(20，17)依题意知，附加保险费 应使P(1+)E(X)-X0)0.95，即已知 (1.62)=0.95，(x)为 x 的单调函数，所以 应满足)解析：解析 首先要弄清题意，分析题中变量之间的关系及各变量所服从的分布，当分布未知时，注意中心极限定理的应用
