1、考研数学三-150 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.给出以下三个二次型， （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 ，则 ( )（分数：4.00）A.B.C.D.3.若 1， 2， 3， 1， 2都是四维列向量，且四阶行列式| 1， 2， 3， 1|=m，| 1， 2， 2， 3|=n其中 m0，n0，mn，则四阶行列式| 3， 2， 1，( 1+ 2)|等于( )（分数：4.00）A.m+nB.-(m+n)C.n-mD.m-n4.设随机变量 X 和 Y 独立同分布，记 U=X-Y，V=X+Y，则 U 和 V( )（分数：4.
2、00）A.不独立B.独立C.相关系数不为零D.相关系数为零5.下列关于反常积分 的四个命题：设 f(x)是(-，+)上连续的奇函数，则 必收敛，且设 f(x)是(-，+)上连续，且 存在，则 必收敛，且若 都发散，则 未必发散若 都发散，则 （分数：4.00）A.B.C.D.6.设曲线由 （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 X 为连续型随机变量，方差存在，则对任意常数 C 和 0，必有( )（分数：4.00）A.P(|X-C|)DX/ 2B.P(|X-C|)=E|X-C|/C.P(|X-C|)E|X-C|/D.P(|X-C|)E|X-C|/8.若 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填
3、空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10.落在平静水面的石头，产生同心波纹，若最外一圈波半径的增大率总是 6 米/秒，问在 2 秒末扰动水面面积的增大率为_米 2/秒（分数：4.00）填空项 1:_11.设 A0，AC-B 20，则在条件 x2+y2=1 下，函数 z=Ax2+2Bxy+Cy2的最大值与最小值之和为_（分数：4.00）填空项 1:_12.某商品市场价格 p=p(t)随时间变化，且 p(0)=p0而需求函数 QA=b-ap(a，b0)供给函数 QB=-d+cp(c，d0)且 p 随时间变化率与超额需求(Q A-QB)成正比则价格函数 p(t)
4、=_（分数：4.00）填空项 1:_13.若 a1=(1，3，4，-2) T，a 2=(2，1，3，t) T，a 3=(3，-1，2，0) T线性相关，则 t=_（分数：4.00）填空项 1:_14.设 X 服从参数 的泊松分布，且 P(X=2)=P(X=4)，则 =_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在 x=a 的某邻域内可导，且 f(a)0，求极限（分数：10.00）_设 f(x)在(-a，a)内连续，在 x=0 处可导，且 （分数：10.00）(1).求证：对任意 0xa，存在 01，使（分数：5.00）_(2).求极限 （分数：
5、5.00）_16.设 （分数：10.00）_（分数：10.00）(1).若 f(x)，g(x)在a，b上可积且平方可积，证明（分数：5.00）_(2).证明 （分数：5.00）_17.计算 （分数：10.00）_已知 3 维列向量组 S1： 1， 2线性无关；S 2： 1， 2线性无关（分数：11.00）(1).证明存在非零向量 既可以由 1， 2线性表示，也可由 1， 2线性表示；（分数：5.50）_(2).设 1=(-1，2，3) T， 2=(1，-2，-4) T， 1=(-2，a7) T， 2=(-1，2，5) T，求()中的 （分数：5.50）_18.设 n 阶实对称阵 A，B 的特征
6、值全大于 0，A 的特征向量都是 B 的特征向量，证明 AB 正定（分数：11.00）_19.设 G=(x，y)|x 2+y2r 2是以原点为圆心，半径为 r 一的圆域，随机变量 X 和 Y 的联合分布是在圆 G 上的均匀分布，证明量 X 和 Y 不独立，也不相关（分数：11.00）_设某机器生产的零件长度(单位：cm)XN(， 2)，今抽取容量为 16 的样本，测得样本均值 （分数：11.00）(1).求 的置信度为 0.95 的置信区间；（分数：5.50）_(2).检验假设 H0： 20.1(显著性水平为 0.05)(附注)t 0.05(16)=1.746，t 0.05(15)=1.753
7、，t 0.025(15)=2.132，（分数：5.50）_考研数学三-150 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.给出以下三个二次型， （分数：4.00）A.B. C.D.解析：本题考查二次型的正定的判别，是一道基础题，不过计算量不小二次型 f1的矩阵为*，A 的各阶顺序全子式*所以二次型 f1是负定二次型二次型 f2的矩阵为*，A 的各阶顺序主子式*所以二次型 f2是正定二次型二次型 f3的矩阵为*，A 的各阶顺序主子式*所以二次型 f3是不定二次型2.设 ，则 ( )（分数：4.00）A. B.C.D.解析：本题考查多元微分法，
8、是一道基础计算题*故*3.若 1， 2， 3， 1， 2都是四维列向量，且四阶行列式| 1， 2， 3， 1|=m，| 1， 2， 2， 3|=n其中 m0，n0，mn，则四阶行列式| 3， 2， 1，( 1+ 2)|等于( )（分数：4.00）A.m+nB.-(m+n)C.n-m D.m-n解析：本题考查线性代数的基本工具：行列式与矩阵的基本运算，是一道基础题由于| 3， 2， 1，( 1+ 2)=| 3， 2， 1， 1|+| 3， 2， 1， 2|，且| 3， 2， 1，( 1+ 2)|=-| 1， 2， 3， 1|-| 1， 2， 3， 2|=-m+| 1， 2， 1， 3|=n-m因
9、而选择(C)4.设随机变量 X 和 Y 独立同分布，记 U=X-Y，V=X+Y，则 U 和 V( )（分数：4.00）A.不独立B.独立C.相关系数不为零D.相关系数为零 解析：本题是考查数字特征的计算与性质的基础题因 X 和 Y 同分布，所以 E(U)=E(X)-E(Y)=0，E(U)E(V)=0E(UV)=E(X2)-E(Y2)=0故 cov(X，Y)=E(UV)-E(U)E(V)=0选择(D)5.下列关于反常积分 的四个命题：设 f(x)是(-，+)上连续的奇函数，则 必收敛，且设 f(x)是(-，+)上连续，且 存在，则 必收敛，且若 都发散，则 未必发散若 都发散，则 （分数：4.0
10、0）A. B.C.D.解析：讨论一个反常积分时，要求其区间上的奇点(瑕点和无穷大)个数有且仅有一个，这是一个基本问题，于是，对于反常积分*，其收敛的充分必要条件是存在常数 a，使两个反常积分*都收敛，定义*设 f(x)=x，则 f(x)是(-，+)上连续的奇函数，且*但是*=*，故*发散，这表叫命题，都不正确设 f(x)=xg(x)=-x，由上面讨论可知*都发散，但*+g(x)dx 收敛，这表明命题是正确的故答案选择(A)6.设曲线由 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：本题考查参数方程的求导，以及拐点的求法属于慨念与计算结合的综合题*由 t(0，)，sint0，令*，所以*，且*经过时
11、改变符号，故有两个拐点(1，0)答案选择(C)7.设 X 为连续型随机变量，方差存在，则对任意常数 C 和 0，必有( )（分数：4.00）A.P(|X-C|)DX/ 2B.P(|X-C|)=E|X-C|/C.P(|X-C|)E|X-C|/D.P(|X-C|)E|X-C|/ 解析：本题考查连续型随机变量的概率计算，是一道中等难度的基础题*故答案选择(C)8.若 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：本题考查多元微分学的基本应用，是一道基本计算题由于*，故 z=x4+2x2y2+f(y)=(x2+y2)2+g(y)，其中，记 g(y)=f(y)-y4；又由于*，得 g(y)=C，答案选择(B
12、)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：本题考查极限的基本计算，涉及变限积分的换元法和求导等知识点，是一道具有一定综合性的基础题*10.落在平静水面的石头，产生同心波纹，若最外一圈波半径的增大率总是 6 米/秒，问在 2 秒末扰动水面面积的增大率为_米 2/秒（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：144）解析：本题考查导数的基本应用，是一道基础题设在 t 时刻最外圈波的半径为 r(t)，扰动水面面积为 s(t)，则 s(t)=r 2(t)，故 s(t)=2r(t)r(t)，由题知 r(t)=6，r(t)=6t，所以 s(
13、2)=2r(2)6=144(米 2/秒)11.设 A0，AC-B 20，则在条件 x2+y2=1 下，函数 z=Ax2+2Bxy+Cy2的最大值与最小值之和为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：A+C）解析：本题考查多元函数的条件最值问题，是一道计算量较大的综合题如果考生基础雄厚，还可以用线性代数中二次型的相关理论解决本题，见题后点评设辅助函数 F(x，y，)=Ax 2+2Bxy+Cy2+(x 2+y2-1)，则*令*则*对于该方程组，(1)x+(2)y，得到 Ax2+2Bxy+Cy2+=0，即，z+=0，只要求出 ，即可得到 z 的最值又(1)、(2)式可化为*是关于 x，y 的
14、线性齐次方程组，由于 x2+y2=1,该齐次方程组有非零解，则*,两根之和 1+ 2=-(A+C)，即最大值与最小值之和为 A+C12.某商品市场价格 p=p(t)随时间变化，且 p(0)=p0而需求函数 QA=b-ap(a，b0)供给函数 QB=-d+cp(c，d0)且 p 随时间变化率与超额需求(Q A-QB)成正比则价格函数 p(t)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：本题考查微积分的经济应用，涉及导数和微分方程的求解，是一道有一定计算量的中等难度题由题设*，即*，*13.若 a1=(1，3，4，-2) T，a 2=(2，1，3，t) T，a 3=(3，-1，2，
15、0) T线性相关，则 t=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-1）解析：本题考查向量组的线性相关的判别，是一道基础题*故 6-2(t+4)=0，即 t=-114.设 X 服从参数 的泊松分布，且 P(X=2)=P(X=4)，则 =_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：本题考查泊松分布，需要考生记住泊松分布的公式并清楚知道参数 的含义泊松分布是考研常考点*，则*舍去负值三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在 x=a 的某邻域内可导，且 f(a)0，求极限（分数：10.00）_正确答案：(本题考查极限计算和导数定义，是一道概念和计算结合的综
16、合题*又*所以，*)解析：设 f(x)在(-a，a)内连续，在 x=0 处可导，且 （分数：10.00）(1).求证：对任意 0xa，存在 01，使（分数：5.00）_正确答案：(本题考查拉格朗日中值定理的变体形式，并涉及一元微积分的多个知识点，是一道具有一定难度的综合题令*，则 F(0)=0，F(x)在0，x上可导，对 F(x)在0，x上使用拉格朗日中值定理，得*)解析：(2).求极限 （分数：5.00）_正确答案：(将上式两边同除以 2x2，得*又 f(0)存在，且 f(0)0所以*故*)解析：16.设 （分数：10.00）_正确答案：(本题以积分定义的函数为研究对象，用导数工具研究函数性
17、态，进而讨论零点个数的问题，是一道综合了微分学和积分学知识的有较大计算量的题目历来考研试卷上，对于这类问题回答得都不好，是一种区分度较高的题目，请考生多加训练和总结记*，则*故 (x)为偶函数，所以 F(x)为偶函数，于是我们只需讨论 0x+上的性态即可当 0x1 时，*当 1x+时，*且*F(x)在 x=1 处连续，所以在 0x+上 F(x)严格单调增加又*所以 F(x)在(0，+)内有且仅有 1 个零点，在(-，+)内有且仅有 2 个零点)解析：（分数：10.00）(1).若 f(x)，g(x)在a，b上可积且平方可积，证明（分数：5.00）_正确答案：(本题是一元积分学的综合题，计算量大
18、，逻辑推理性强，是一道难题若 g(x)=0，自然成立设 g(x)0，则对于一切实数 ，均有*，即*又由于*，则关于 的这个二次三项式的判别式必须有*结论成立)解析：(2).证明 （分数：5.00）_正确答案：(证明 由(1)得*)解析：17.计算 （分数：10.00）_正确答案：(本题考查二重积分的精确定义法和计算，需要考生对于二重积分的基本概念和取整的方法掌握得比较扎实，是一道有新意的综合题由二重积分的定义，且*，故*用*将 D 划分为 D1，D 2，D 3，D 4在 D1内，2(x+y)=0，在 D2内，2(x+y)=1，在 D3内，2(x+y)=2，在 D4内，2(x+y)=3则*，故
19、I=3)解析：已知 3 维列向量组 S1： 1， 2线性无关；S 2： 1， 2线性无关（分数：11.00）(1).证明存在非零向量 既可以由 1， 2线性表示，也可由 1， 2线性表示；（分数：5.50）_正确答案：(本题是考查向量组与方程组的综合题，计算量大，逻辑性强，是一道难度较高的题目，具有很好的区分度因 4 个三维向量必线性相关，使用定义，即存在不全为零的数 k1，k 2，k 3，k 4，使k1 1+k2 2+k3 1+k4 2=0，k1，k 2不能均为零，否则会有 k3 1+k4 2=0，由 1， 2线性无关，则 k3=k4=0，这与题设k1，k 2，k 3，k 4不全为零矛盾，从
20、而，*由 k1，k 2不全为零， 1， 2线性无关，有0k 1 1+k2 2=-k3 1-k4 2，得证)解析：(2).设 1=(-1，2，3) T， 2=(1，-2，-4) T， 1=(-2，a7) T， 2=(-1，2，5) T，求()中的 （分数：5.50）_正确答案：(事实上问题转化为求解方程组构造 k1 1+k2 2+k3 1+k4 2=0，即* 其中，* (*)当 a4 时，根据(*)，r( 1 2 1 2)=3 知，方程组有无穷多解，基础解系由 4-3=1 个非零解向量组成，故的通解为(k 1，k 2，k 3，k 4)T=t(1，2，0，1) T，则所求=-k 3 1-k4 2=
21、0 1-t 2=t(1，-2-5) T，其中 t 为任意非零常数当 a=4 时，根据(*)，r( 1 2 1 2)=2 知，方程组有无穷多解，基础解系由 4-2=2 个线性无关的解向量组成，故的通解为(k 1，k 2，k 3，k 4)T=(-t1+t2，t 1+2t2，t 1，t 2)T，则所求=-k 3 1-k4 2=t1(2，-4，-7) T+t2(1，-2，-5) T，其中 t1，t 2不同时为零)解析：18.设 n 阶实对称阵 A，B 的特征值全大于 0，A 的特征向量都是 B 的特征向量，证明 AB 正定（分数：11.00）_正确答案：(本题考查抽象型矩阵的特征值与特征向量、正定等知
22、识，是一道具有一定难度的逻辑推理题设 A，B 的特征值分别为 i， i(i=1，n)由已知条件， i0， i0， i=1，n由于 A 为实对称矩阵，故一定存在正交矩阵 P=(P1，P i，P n)，使得PTAP=diag( 1， i， n)，即 AP i=AiPi，P i为 A 的特征向量，i=1，n又由题设，P i也是 B 的特征向量，故BPi= iPi， i=1，n，因此 ABPi=A iPi=( i i)Pi，即 i i是 AB 的特征值，且 i i0，i=1，n又 ABP=Pdiag( 1 1， i i， n n)，P T=P-1故 AB=Pdiag( 1 1， i i， n n)PT
23、，则 AB 为实对称阵，因此 AB 为正定矩阵)解析：19.设 G=(x，y)|x 2+y2r 2是以原点为圆心，半径为 r 一的圆域，随机变量 X 和 Y 的联合分布是在圆 G 上的均匀分布，证明量 X 和 Y 不独立，也不相关（分数：11.00）_正确答案：(本题考查二维随机变量的独立性和相关性，是一道基础题(a)X 和 Y 的联合密度为*且 X 的密度 f1(x)和 Y 的密度 f2(y)分别为*由于 f(x，y)f 1(x)f2(y)，故 X 和 Y 不独立(b)由于*同理，EY=0因此，*于是，X 和 Y 的相关系数 =0故 X 和 Y 也不相关)解析：设某机器生产的零件长度(单位：
24、cm)XN(， 2)，今抽取容量为 16 的样本，测得样本均值 （分数：11.00）(1).求 的置信度为 0.95 的置信区间；（分数：5.50）_正确答案：(本题考查假设检验的基础知识，是比较冷门的知识点如果考生准备不充分，本题极容易造成得零分的情况 的置信度为 1- 下的置信区间为*所以 的置信度为 0.95 的置信区间为(9.7868，10.2132)解析：(2).检验假设 H0： 20.1(显著性水平为 0.05)(附注)t 0.05(16)=1.746，t 0.05(15)=1.753，t 0.025(15)=2.132，（分数：5.50）_正确答案：(H 0： 20.1 的拒绝域为*因为*，所以接受 H0)解析：
