1、考研数学三-149 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.B.C.D.2.已知函数（分数：4.00）A.B.C.D.3. （分数：4.00）A.B.C.D.4.方程 y“-3y+2y=excos2x 的特解形式 y*=_AAe xcos2x B xe x(Acosx+Bsin2x)Ce x(Acos2x+Bsin2x) Dx 2ex(Acos2x+Bsin2x)（分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A 是 mn 矩阵，齐次线性方程组 AX=0，r(A)=n-5，1，2，3，4，5 是该方程组 5 个线性
2、无关的解向量，则方程组 AX=0 的一个基础解系是_A 1+ 2， 2+ 3， 3+ 4， 4+ 5， 5+ 1B 1- 2， 2+ 3， 3+ 4， 4+ 5， 5+ 1C 1- 2， 2- 3， 3- 4， 4+ 5， 5+ 1D 1- 2， 2- 3， 3- 4， 4- 5， 5- 1（分数：4.00）A.B.C.D.6.已知 A，B 为三阶矩阵，且有相同的特征值 1，2，2，则下列命题：A，B 等价；A，B 相似；若 A，B 为实对称矩阵，则 A，B 合同；行列式|A-2E|=|2E-A|中命题成立的有_A1 个 B2 个 C3 个 D4 个（分数：4.00）A.B.C.D.7.设随机
3、事件 A 和 B 满足关系式 ，则必有_AAB= BAB= CA-B= D （分数：4.00）A.B.C.D.8.设总体 XN(， 2)，其中 已知， 20 为未知参数，X 1，X 2，X n是来自总体 X 的样本，则 2的置信度为 1- 的置信区间为_A BC D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.积分 （分数：4.00）填空项 1:_10.设 z=x3f(xy， )，f 具有二阶连续偏导数，则 （分数：4.00）填空项 1:_11.微分方程 y“+4y=2x2在原点处与 y=x 相切的特解是_（分数：4.00）填空项 1:_12.设 （分数：4
4、.00）填空项 1:_13.已知三阶方阵 A 的三个特征值为 1，-1，2，相应特征向量分别为，令 P= （分数：4.00）填空项 1:_14.设 X1，X 2，X 7为来自总体 XN(0，1)的简单随机样本，随机变量Y=(X1+X2+X3)2+(X4+X5+X6)2，则当 C=_时， （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.某三轮车厂每生产一付车架要搭配三付轮胎，设轮胎的数量为 x，价格为 p1，车架的数量为 y，价格为p2，又设需求函数 x=63-0.25p1与 y=60- （分数：10.00）_16.计算积分 （分数：10.00）_17.设 ，求
5、（分数：10.00）_18.求积分 （分数：10.00）_19.已知某种商品的需求价格弹性为 = （分数：10.00）_已知二维非零向量 X 不是二阶方阵 A 的特征向量（分数：11.00）(1).证明 X，AX 线性无关（分数：5.50）_(2).若 A2X+AX-6X=0，求 A 的特征值，并讨论 A 可否对角化（分数：5.50）_设 1， 2， 3， 4为四维列向量组，且 1， 2， 3线性无关， 4= 1+ 2+2 3已知方程组 1- 2， 2+ 3，- 1+a 2+ 3X= 4有无穷多解（分数：11.00）(1).求 a 的值（分数：5.50）_(2).用基础解系表示该方程组的通解（
6、分数：5.50）_向平面区域 D：x0，0y4-x 2内等可能地随机地投掷一点求（分数：11.00）(1).该点到 y 轴距离的概率密度（分数：5.50）_(2).过该点所作 y 轴的平行线与 x 轴、y 轴及曲线 y=4-x2所围成的曲边梯形面积的数学期望与方差（分数：5.50）_已知产品某项指标 X 服从拉普拉斯分布，其密度为f(x)= （分数：11.00）(1).试用矩估计法求 的估计（分数：5.50）_(2).试用最大似然估计法求 的估计（分数：5.50）_考研数学三-149 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：
7、4.00）A.B.C. D.解析：解析 应利用下列结论判别之设2.已知函数（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 下面介绍一个简化左、右导数计算的方法：(1)设 f(x)在x 0，x 0+(0)上连续，在(x 0，x 0+)内可导，且 存在，则 ；(2)设 f(x)在x 0-，x 0(0)上连续，在(x 0-，x 0)内可导，且 存在，则 可用上法求之，也可用左、右导数定义求出 a、b因 f(x)在 x=0 处可导，故 f-(0)=f+(0)，即 a=2又因 f(x)在 x=0 处连续，故 f(0+0)=f(0-0)，即3. （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 为去掉根号，
8、需分区间积分4.方程 y“-3y+2y=excos2x 的特解形式 y*=_AAe xcos2x B xe x(Acosx+Bsin2x)Ce x(Acos2x+Bsin2x) Dx 2ex(Acos2x+Bsin2x)（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 先求出其特征根，再考察 12i 是否是其特征根因 f(x)=excos2x，=1，=2，需考察 12i 是否是特征方程的根，因特征方程 r2-3r+2=0 的根为r1=2，r 2=1，故 12i 不是它的根其特解形式为y*=ex(Acos2x+Bsin2x)仅 C 入选5.设 A 是 mn 矩阵，齐次线性方程组 AX=0，r(A)
9、=n-5，1，2，3，4，5 是该方程组 5 个线性无关的解向量，则方程组 AX=0 的一个基础解系是_A 1+ 2， 2+ 3， 3+ 4， 4+ 5， 5+ 1B 1- 2， 2+ 3， 3+ 4， 4+ 5， 5+ 1C 1- 2， 2- 3， 3- 4， 4+ 5， 5+ 1D 1- 2， 2- 3， 3- 4， 4- 5， 5- 1（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 上述各选择项中的向量均为 AX=0 的解向量，这是显然的，关键要确定哪一组向量线性无关可利用下述结论观察求出：已知向量组 1， 2， s(s2)线性无关，设 1= 1 2， 2= 2 3， s-1= s-1
10、s， s= s 1，其中 s 为向量组中的向量个数又设上式中带负号的向量个数为 k，则(1)当 s 与 k 的奇偶性相同时，向量组 1， 2， r线性相关；(2)当 x 与 k 的奇偶性相反时，向量组 1， 2， r线性无关解一 本题中 s=5(奇数)，只有 A 中向量组带负号的个数 k=0(偶数)，由上述结论即知 A 中向量组线性无关，因而它们为 AX=0 的一个基础解系仅 A 入选，而 B、C、D 中向量组带负号的个数分别为 k=1，k=3，k=5，均为奇数，与 s 的奇偶性相同，故它们均分别线性相关解二 由线性相关的定义易知，选项 D 中向量组线性相关因( 1- 2)+( 2- 3)+(
11、 3- 4)+( 4- 5)+( 5- 1)=0,至于 B、C 中的向量组也可用矩阵表示法证明线性相关例如对于 B，有，而6.已知 A，B 为三阶矩阵，且有相同的特征值 1，2，2，则下列命题：A，B 等价；A，B 相似；若 A，B 为实对称矩阵，则 A，B 合同；行列式|A-2E|=|2E-A|中命题成立的有_A1 个 B2 个 C3 个 D4 个（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 要充分利用特征值的作用，它可以确定矩阵的秩，可以确定矩阵的行列式利用这些可检验上述诸命题由题设知 A，B 的秩相同，r(A)=r(B)=3，因此 A，B 等价；若 A，B 为实对称矩阵，则其正负惯性指
12、数相同，从而 A，B 合同；矩阵 A-2E 与 2E-A 均有一个特征值为零，故行列式|A-2E|=|2E-A|=0但由 A，B 有相同的特征值，推导不出 A，B 相似故仅 C 入选7.设随机事件 A 和 B 满足关系式 ，则必有_AAB= BAB= CA-B= D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 利用事件的运算性质(摩根律等)判别由 得到，即 ，故 ，即 (利用了摩根律)= ，亦即 A-B=8.设总体 XN(， 2)，其中 已知， 20 为未知参数，X 1，X 2，X n是来自总体 X 的样本，则 2的置信度为 1- 的置信区间为_A BC D （分数：4.00）A.B.C.
13、D. 解析：解析 已知，找出服从 2分布的统计量，再利用置信度的定义，列出关系式，解出 2所满足的不等式即为所求由于 已知，取统计量于是由置信度的含义得到即二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.积分 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 先将被积函数写成分段函数的形式，然后再分段积分10.设 z=x3f(xy， )，f 具有二阶连续偏导数，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：4x 3f1+2xf2+x4yf“11-yf“22）解析：解析 先求 ，再将 对 y 求偏导数，求时要反复多次运用复合函数求导法则在求复合函数的高阶偏导数时，要特别注意函数求偏
14、导后仍为复合函数，即，11.微分方程 y“+4y=2x2在原点处与 y=x 相切的特解是_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 先求出特征根，再设出特解形式，代入原方程求之原方程所对应齐次方程的特征方程为r2+4=0，解得 r1,2=+2i故齐次方程通解为Y1=c1cos2x+c2sin2x设 y*=ax2+bx+c 是原方程的一个特解，代入原方程，比较两边系数可得a= ，b=0，c=- ，y *= 故原方程的通解为y=Y+y*=c1cos2x+c2sin2x+ 由初始条件 y|x=0=0，y| x=0=1，可得 c1= ，c 2= y=12.设 （分数：4.00）填空
15、项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 先将所给的矩阵方程化为以 B 为因子矩阵的方程为此，先在方B=13.已知三阶方阵 A 的三个特征值为 1，-1，2，相应特征向量分别为，令 P= （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 同一个特征值的特征向量的线性组合仍为该特征值的特征向量，P 中向量的次序应与对角阵中对应的特征值的次序一致据此确定选项注意 仍分别为特征值 1，-1，2 的特征向量，故14.设 X1，X 2，X 7为来自总体 XN(0，1)的简单随机样本，随机变量Y=(X1+X2+X3)2+(X4+X5+X6)2，则当 C=_时， （分数：4.00）填空项 1:_
16、（正确答案：n=2 ）解析：解析 利用 t 分布的典型模式求之由 XiN(0，1)和 2分布的典型模式CY=C(X1+X2+X3)2+(X4+X5+X6)2应服从参数为 2 的 2分布：这是因为X1+X2+X3N(0，3)，同法，可得又 X1+X2+X3与 X4+X5+X6相互独立，故又 X7N(0，1)，所以，即 ，其中 C=三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.某三轮车厂每生产一付车架要搭配三付轮胎，设轮胎的数量为 x，价格为 p1，车架的数量为 y，价格为p2，又设需求函数 x=63-0.25p1与 y=60- （分数：10.00）_正确答案：(由需求函数，可得p1=252-4
17、x，p 2=180-3y则利润函数为=xp 1+yp2-C(x，y)=x(252-4x)+y(180-3y)-x 2-xy-y2-90=252x-5x2+180y-4y2-xy-90约束条件是 x=3y，所以拉格朗日函数是L=252x-5x2+180y-4y2-xy-90-(x-3y)为求极大值，先求偏导数：)解析：解析 使用拉格朗日乘数法求之16.计算积分 （分数：10.00）_正确答案：(令 x= ，dx=- dt原式 )解析：解析 先作倒代换 x=1/t利用此法可降低被积函数分母的变量因子 xn的次数，甚至可消去这个变量因子当被积函数为分式，其分母关于 x 的最高次数比分子的最高次数至少
18、高一次时，就可试用倒代换求其积分17.设 ，求 （分数：10.00）_正确答案：(设 ，则)解析：解析 题设中有隐函数的等式应设出等于 0 的确定隐函数的方程F(x，y)= 再应用公式18.求积分 （分数：10.00）_正确答案：(因D1：-1x1,0yx 2，D2：-1x1，x 2y2，则原式在上式前一积分中令 x= sint(0t/4)，则，故 )解析：解析 被积函数含绝对值为去掉绝对值符号用|y-x 2|=0，即用曲线 y=x2将 D 分为上、下两部分，分别记为 D1与 D2这时所求积分也分区域计算19.已知某种商品的需求价格弹性为 = （分数：10.00）_正确答案：(设需求函数关系式
19、为 Q=Q(p)，则由题设和 的表示式有，即则此微分方程的通解为将 Q(1)=1 代入，得 C=1故所求需求函数为)解析：解析 利用需求价格弹性公式 =已知二维非零向量 X 不是二阶方阵 A 的特征向量（分数：11.00）(1).证明 X，AX 线性无关（分数：5.50）_正确答案：(证明 用反证法证之若 X 与 AX 线性相关，则存在不全为零的常数 k1，k 2使k1X+k2AX=0为方便计，设 k20，则 AX=- )解析：(2).若 A2X+AX-6X=0，求 A 的特征值，并讨论 A 可否对角化（分数：5.50）_正确答案：(由题设有A2X+AX-6X=(A+3E)(A-2E)X=0下
20、证 A-2E，A+3E 必不可逆，即|A-2E|=|A+3E|=0 事实上，如 A+3E 可逆，则由方程得到(A-2E)X=AX-2X=0，即 AX=2X.这说明 X 为 A 的特征向量，故|A+3E|=0. 同法可证 A-2E 也不可逆，即|A-2E|=0. 由式、式即知，2 与-3 为 A 的特征值，所以 A 能与对角阵相似)解析：解析 A 为抽象矩阵，则 AX，X 均为抽象的向量组讨论其特征值、特征向量的有关问题常用有关定义及其性质证明也常用反证法证之设 1， 2， 3， 4为四维列向量组，且 1， 2， 3线性无关， 4= 1+ 2+2 3已知方程组 1- 2， 2+ 3，- 1+a
21、2+ 3X= 4有无穷多解（分数：11.00）(1).求 a 的值（分数：5.50）_正确答案：(由题设，得矩阵的秩小于 3，又 1， 2， 3线性无关，故矩阵 不可逆，由)解析：(2).用基础解系表示该方程组的通解（分数：5.50）_正确答案：(方程组 1- 2， 2+ 3，- 1-a 2+ 3X= 4化为，因为 1， 2， 3线性无关，所以原方程组与方程组 同解，下面求方程组 的通解为此先对出其导出组的基础解系及原方程组的一特解将增广矩阵 用初等行变换化为系数矩阵含最高阶单位矩阵的矩阵：)解析：解析 所给方程组由于有无穷多解，则r(A)=r( 1- 2， 2+ 3，- 1+a 2+ 3)3
22、由知，必有向平面区域 D：x0，0y4-x 2内等可能地随机地投掷一点求（分数：11.00）(1).该点到 y 轴距离的概率密度（分数：5.50）_正确答案：(平面曲域 D 如下图所示，其面积为于是二维随机变量(X，Y)的联合密度为随机点(X，Y)到 y 轴的距离即为随机变量 X，其概率密度即为关于 X 的边缘概率密度 fX(x)：)解析：(2).过该点所作 y 轴的平行线与 x 轴、y 轴及曲线 y=4-x2所围成的曲边梯形面积的数学期望与方差（分数：5.50）_正确答案：(曲边梯形面积为图中阴影区域的面积，它为下求面积即 (X)的期望与方差：)解析：解析 在平面区域内投掷一点其坐标视为二维
23、随机变量(X，Y)又已知等可能地随机投掷，这就告诉我们(X，Y)在此区域内服从均匀分布因曲边梯形面积可用 X 表示，应视为随机变量 X 的函数(X)需求 E(X)与 D(X)已知产品某项指标 X 服从拉普拉斯分布，其密度为f(x)= （分数：11.00）(1).试用矩估计法求 的估计（分数：5.50）_正确答案：(因 E(X)=，故 ，即 的矩估计量为 ，其估计值为 ，即)解析：(2).试用最大似然估计法求 的估计（分数：5.50）_正确答案：(似然函数为 ，要使 lnL 最大，只需 最小记l= |xi-|-|1028-|+|1968-|+|1007-|当 968 时，l=(1028-)+(968-)+(1007-)=3(1001-)3(1001-968)=99；当 1028 时，l=(-1028)+(-968)+(-1007)=3(-1001)3(1028-1001)=81；当 9681028 时，l=(1028-)+(-968)+|1007-|=60+|1007-|故当 =1007 时，l 最小，取值 60最大似然估计值 )解析：解析 待估参数只有一个，可用一阶矩进行估计
