1、考研数学三-148 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)与 g(x)在 x=0 的某邻域内连续，且 ， （分数：4.00）A.B.C.D.2.已知 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设函数 F(u，v，w)具有一阶连续偏导数，且方程 F(x-y，y-z，z-x)=0 确定隐函数 z=z(x，y)，则（分数：4.00）A.B.C.D.4.累次积分 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 a1，a 2，a 3，a 4，a 5是 4 维向量，下列命题中正确的是(A) 如果 a1，a 2，a 3，a 4，线性相关，那
2、么 k1，k 2，k 3，k 4不全为 0 时，有 k1a1+k2a2+k3a3+k4a4=0(B) 如果 a1，a 2，a 3，a 4线性相关，那么当 k1a1+k2a2+k3a3+k4a4=0 时，有 k1，k 2，k 3，k 4不全为 0(C) 如果 a5不能由 a1,a2,a3,a4线性表出，那么 a1,a2,a3,a4必线性相关(D) 如果 a1,a2,a3,a4线性相关，那么 a5不能由 a1,a2,a3,a4线性表出（分数：4.00）A.B.C.D.6.下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是（分数：4.00）A.B.C.D.7.设 A、B、C 为事件，P(ABC)0，如果 P(AB|
3、C)=P(A|C)P(B|C)，则(A) P(C|AB)=P(C|A) (B) P(C|AB)=P(C|B)(C) P(B|AC)=P(B|A) (D) P(B|AC)=P(B|C)（分数：4.00）A.B.C.D.8.已知随机变量 X 与 Y 都服从正态分布 N(， 2)，如果 Pmax(X，Y)=a(0a1)，则 Pmin(X，Y)等于（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 （分数：4.00）填空项 1:_10.设 f(x)=ex，且 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_11.曲线 y=xsinx(032)与 x 轴所围成的图形绕 y 轴旋转一
4、周所成旋转体的体积 V=_（分数：4.00）填空项 1:_12.函数 （分数：4.00）填空项 1:_13.已知向量组 a1=(1，2，0，1) T，a 2=(2，-1，1，-1) T，a 3=(3，a，1，0) T，a 4=(1，2，3，a+3)T，a 5=(4，3，a，1) T的秩为 3则其极大线性无关组是_（分数：4.00）填空项 1:_14.已知 X1，X 2，X n是来自正态总体 N(0， 2。)的简单随机样本，样本均值和样本方差分别为和 S2，记 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.计算反常积贫 （分数：10.00）_16.设函数 F(u
5、，v)具有二阶连续偏导数，且 Fv(u，v)0，求由方程 F(xy，x+y+z)=0 确定的隐函数z=z(x，y)的偏导数 （分数：10.00）_17.计算二重积分 （分数：10.00）_18.确定正数 A 的最小值与负数 B 的最大值，使得不等式（分数：10.00）_19.已知函数 y=e-3x+(2+x)e-x是二阶常系数线性微分方程 y“+ay+by=ce-x的一个解确定常数 a，b，c 的值，并求此方程的通解（分数：10.00）_20.设二次型xTAx=ax21+2x22-x23+8x1x2+2bx1x3+2cx2x3矩阵 A 满足 AB=0，其中（分数：12.00）_21.设 A 是
6、 4 阶非零矩阵，a 1，a 2，a 3，a 4是非齐次线性方程组 Ax=b 的不同的解()如果 a1，a 2，a 3线性相关，证明 a1-a2，a 1-a3也线性相关；()如果 a1，a 2，a 3，a 4线性无关，证明 a1-a2，a 1-a3，a 1-a4是齐次方程组 Ax=0 的基础解系（分数：10.00）_22.已知随机变量 X1，X 2，X 3，X 4相互独立，X 1与 X2都在区间(0，1)上服从均匀分布，X 3与 X4都服从参数为 （分数：11.00）_23.已知 X 服从参数为 1 的指数分布，Y=|X|，试求：()(X，Y)的分布函数 F(x，y)；()关于 X 和关于 Y
7、 的边缘分布函数 Fx(x)和 FY(y)；()X，Y 的相关系数 pXY（分数：11.00）_考研数学三-148 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设函数 f(x)与 g(x)在 x=0 的某邻域内连续，且 ， （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由题设知 4.从而在点 x=0 的某邻域内2.已知 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 令 作换元，于是 et=u2+1，进而得 t=ln(u2+1)，dt= 又当 t=2ln2 时 ，代入即得于是 ，由此可得 ，故3.设函数 F(u，v，w)具有一阶连续偏导数
8、，且方程 F(x-y，y-z，z-x)=0 确定隐函数 z=z(x，y)，则（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 利用一阶全微分形式不变性，将方程两边求一阶全微分可得0=F1(dx-dy)+F2(dy-dz)+F3(dz-dx)=(F1-F3)dx+(F2-F1)dy+(F3-F2)dz，于是 故4.累次积分 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 直接计算可得分析二 交换积分次序其中 D=(x，y)|0x1，arcsinxy-arcsinx=(x，y)|0y，0xsiny，故5.设 a1，a 2，a 3，a 4，a 5是 4 维向量，下列命题中正确的是(A) 如果 a1，a
9、 2，a 3，a 4，线性相关，那么 k1，k 2，k 3，k 4不全为 0 时，有 k1a1+k2a2+k3a3+k4a4=0(B) 如果 a1，a 2，a 3，a 4线性相关，那么当 k1a1+k2a2+k3a3+k4a4=0 时，有 k1，k 2，k 3，k 4不全为 0(C) 如果 a5不能由 a1,a2,a3,a4线性表出，那么 a1,a2,a3,a4必线性相关(D) 如果 a1,a2,a3,a4线性相关，那么 a5不能由 a1,a2,a3,a4线性表出（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 因为 a1，a 2，a 3，a 4，a 5是 5 个 4 维向量它必线性相关而当 a
10、1，a 2，a 3，a 4线性无关时，a 5必可由 a1，a 2，a 3，a 4线性表出现在 a5不能由 a1，a 2，a 3，a 4线性表出，所以 a1，a 2，a 3，a 4必线性相关即命题(C)正确按定义当 a1，a 2，a 3，a 4线性相关时，存在不全为 0 的 k1，k 2，k 3，k 4，使 k1a1+k2a2+k3a3+k4a4=0，但不是对任意不全为 0 的 k1，k 2，k 3，k 4均有 k1a1+k2a2+k3a3+k4a4=0，故命题(A)不正确因为 0a1+0a2+0a3+0a4=0 恒成立，所以命题(B)不正确当 a1，a 2，a 3，a 4线性无关时，a 5一定
11、能由 a1，a 2，a 3，a 4线性表出，当 a1，a 2，a 3，a 4线性相关时，a 5也有可能由 a1，a 2，a 3，a 4，线性表出(例如 a5=a1)，故命题(D)不正确6.下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 (A)是实对称矩阵，(D)有 3 个不同的特征值，都可相似对角化，(B)和(C)矩阵的特征值分别是 2，2，0 和 22，1，特征值有重根易见秩 所以齐次方程组(2E-B)x=0 只有 1 个线性无关的解，亦即 2 只有一个线性无关的特征向量故(B)不能相似对角化而7.设 A、B、C 为事件，P(ABC)0，如果 P(AB|C)
12、=P(A|C)P(B|C)，则(A) P(C|AB)=P(C|A) (B) P(C|AB)=P(C|B)(C) P(B|AC)=P(B|A) (D) P(B|AC)=P(B|C)（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 已知 P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)意指“在 C 发生的条件下，A 与 B 独立”所以“在 C 发生的条件下，A 发生与否不影响 B 发生的概率”，即 P(B|AC)=P(B|C)，选择(D)我们也可以通过计算来确定选项事实上P(AB|C)=P(A|C)P(B|C)P(A|C)P(B|AC)=P(A|C)P(B|C)8.已知随机变量 X 与 Y 都服从正态分布
13、N(， 2)，如果 Pmax(X，Y)=a(0a1)，则 Pmin(X，Y)等于（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 选择(C)我们也可以这样考虑，由于Pmax(X，Y)=1-Pmax(X，Y)其中 A=X)，B=Y)，已知 XN(， 2)，YN(， 2)，所以 ，P(A)+P(B)-P(AB)1-P(AB)a，选择(C)说明 本题可以有如下的变式：已知随机变量 X 与 Y 都服从正态分布 N(， 2)，且 PX0，Y2)a，则 PX0，Y2=_记 A=X0，B=X2，由题设知故评注 选择题可以不要求推导过程，本题 X，Y 不一定独立，但如果 X，Y 独立结论一定也对，故为简化不妨假
14、定 X，Y 独立这时，而二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 故 令 x=0 即得10.设 f(x)=ex，且 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 用 f(x)=ex代入可得 从而 ex-1=xeux，解出有 于是11.曲线 y=xsinx(032)与 x 轴所围成的图形绕 y 轴旋转一周所成旋转体的体积 V=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 注意代入即得12.函数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：分析一 利用待定系数法计算展开式的系数由于 时是
15、偶函数，且 故 的带皮亚诺余项的五阶麦克劳林公式为 ，平方可得cosx=1+2ax2+(a2+2b)x4+o(x5)，又因 cosx 的带皮亚诺余项的五阶麦克劳林展开式为比较系数即得 从而 ，故所求的展开式为分析二 利用待定系数法与求极限方法相结合来计算展开式的系数，同样设 ，于是故所求的展开式为 ）解析：13.已知向量组 a1=(1，2，0，1) T，a 2=(2，-1，1，-1) T，a 3=(3，a，1，0) T，a 4=(1，2，3，a+3)T，a 5=(4，3，a，1) T的秩为 3则其极大线性无关组是_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： 1， 2， 4）解析：解析 向量
16、组 1, 2, 3, 4, 5的秩也就是矩阵 A=( 1, 2, 3, 4, 5)的秩，对矩阵作初等行变换，有14.已知 X1，X 2，X n是来自正态总体 N(0， 2。)的简单随机样本，样本均值和样本方差分别为和 S2，记 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： 2）解析：解析 由题设知 XN(0， 2)，故所以三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.计算反常积贫 （分数：10.00）_正确答案：(分析与求解 第一种方法：作换元，令 tanx=t，于是由 x 的取值为 0 可得 t 的取值为 0+，且 dx=d(arctant)= ，代入即得再令 于是由 t 的取值为 0+
17、可得 u 的取值为 0+，且 dt=d(u2)=2udu，代入即得第二种方法：令由 ，即函数 f(x)关于直线 对称利用 f(x)的这个特点，作平移变换 ，可得)解析：16.设函数 F(u，v)具有二阶连续偏导数，且 Fv(u，v)0，求由方程 F(xy，x+y+z)=0 确定的隐函数z=z(x，y)的偏导数 （分数：10.00）_正确答案：(分析与求解 利用一阶全微分形式不变性将方程 F(xy，x+y+z)=0 两端求全微分得0=F1(xy，x+y+z)d(xy)+F 2(xy，x+y+z)d(x+y+z)=F1(xy，x+y+z)(ydx+xdy)+F 2(xy，x+y+z)(dx+dy+
18、dz)=(yF1+F2)dx+(xF1+F2)dy+F2dz，于是从而其中 F1与 F2的第一个变元是 xy，第二个变元是 x+y+z，继续求二阶混合偏导数 有把 代入即得)解析：17.计算二重积分 （分数：10.00）_正确答案：(分析与求解 由于积分区域 D 关于 y 轴对称，被积函数 f(x，y)=|x 2+y2-4|是变量 x 的偶函数，从而其中 D1=Dx0=(x，y)|0x2，xy2又因被积函数关于变量 x，y 对称，即满足 f(x，y)=f(y，x)，故其中 D2是正方形区域(x，y)|0x2，0y2为了去掉被积函数中的绝对值符号，将积分区域 D2用圆弧 x2+y2=4 分成两个
19、部分区域，可得D21=(x，y)|0x2，0y2，x 2+y24，D22=(x，y)|0x2，0y2，x 2+y24于是设 x=rcos，y=rsin，在极坐标系(r，)中 从而有关的积分区域如图：)解析：18.确定正数 A 的最小值与负数 B 的最大值，使得不等式（分数：10.00）_正确答案：(分析与求解 在区域 D=(x，y)|x0，y0内因而 A 的最小值就是函数 在区域 D 内的最大值，令 rx 2+y2，则 A 的最小值就是函数 在区间(0，+)内的最大值计算可得故 F(r)在区间(0，+)内的最大值是 即 A 的最小值是由于在区域 D=(x，y)|x0，y0内因而 B 的最大值就
20、是函数 g(x，y)=xyln(x 2+y2)在区域 D 内的最小值令即 是函数 g(x，y)在 D 中的唯一的驻点注意在区域 D 的两条边界 1=(x，y)|x=0，y0)与 2=(x，y)|x0，y=0)上函数 g(x，y)=0又当 x2+y21 时，函数 g(x，y)0，而故这是 g(x，y)在区域 D 内的最小值，因而 B 的最大值是 )解析：19.已知函数 y=e-3x+(2+x)e-x是二阶常系数线性微分方程 y“+ay+by=ce-x的一个解确定常数 a，b，c 的值，并求此方程的通解（分数：10.00）_正确答案：(分析与求解 将函数 y=e-3x+(2+x)e-x代入方程可得
21、(9-3a+b)e-3x+(1-a+b)xe-x+(2b-a)e-x=ce-x，从而知 a 与 b 满足方程组)解析：20.设二次型xTAx=ax21+2x22-x23+8x1x2+2bx1x3+2cx2x3矩阵 A 满足 AB=0，其中（分数：12.00）_正确答案：(AB=0 知 0 是矩阵 A 的特征值且矩阵 B 的列向量(1，0，1) T是矩阵 A 属于特征值 =0 的特征向量故有于是由矩阵 A 的特征多项式得矩阵 A 的特征值为：6，0，-6由(6E-A)x=0 得矩阵 A 属于特征值 6 的特征向量为(1，2，-1) T由(-6E-A)x=0 得矩阵 A 属于特征值一 6 的特征向
22、量为(-1，1，1) T实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，单位化有那么令 )解析：21.设 A 是 4 阶非零矩阵，a 1，a 2，a 3，a 4是非齐次线性方程组 Ax=b 的不同的解()如果 a1，a 2，a 3线性相关，证明 a1-a2，a 1-a3也线性相关；()如果 a1，a 2，a 3，a 4线性无关，证明 a1-a2，a 1-a3，a 1-a4是齐次方程组 Ax=0 的基础解系（分数：10.00）_正确答案：(因为 1, 2, 3线性相关，故有不全为 0 的 k1,k2,k3使得 k1 1+k2 2+k3 3=0，那么(k1+k2+k3) 1=k2( 1- 2)+k3( 1-
23、 3)因为 1- 2， 1- 3是齐次方程组 Ax=0 的解，而 1是非齐次方程组 Ax=b 的解，所以 1不能由 1- 2， 1- 3线性表出，故必有 k1+k2+k3=0从而 k2( 1- 3)+k3( 1- 3)=0此时必有 k2，k 3不全为 0(否则 k1，k 2，k 3全为 0)，即 1- 2， 1- 3线性相关()由方程组的性质知 1- 2， 1- 3， 1- 4是 Ax=0 的解当 k1( 1- 2)+k2( 1- 3)+k3( 1- 4)=0 时即(k 1+k2+k3) 1-k1 2-k2 3-k3 4=0因为 1， 2， 3， 4线性无关，故 )解析：22.已知随机变量 X
24、1，X 2，X 3，X 4相互独立，X 1与 X2都在区间(0，1)上服从均匀分布，X 3与 X4都服从参数为 （分数：11.00）_正确答案：(解答 由题设知 X1与 X2的概率密度为与 X4概率分布 ，记 Y1=X1+X2，Y 2=X3X4，因为 Xi相互独立，所以 Y1与 Y2独立，且 Y2的概率分布为由于 X1与 X2的联合密度为因此 Y1=X1+X2的分布函数当 y0 时，F 1(y)=0；当 0y1 时， ；当 1y2 时， ，当 2y 时，F 1(y)=1综上得，因此 Y1=X1+X2的概率密度由于 Y=Y1+Y2，Y 1与 Y2独立，Y 2为离散型随机变量，因而应用全概公式可求
25、得 y 的分布函数 FY(y)，进而求得概率密度是 fY(y)说明 我们可以用卷积公式求得 Y1=X1+X2的概率密度 f1(y)事实上故当 y0 或 y2 时 f1(y)=0；当 0y1 时， ；当 1y2 时， ；如果将题目中的 X1与 X2改为：都服从标准正态分布 N(0，1)，那么 YX 1+X2+X3X4的分布函数 FY(y)与概率密度 FY(y)各为多少?由题设知 Y1=X1+X2N(0，2)，Y1与 Y2相互独立，故 Y=Y1+Y2的分布函数FY(y)=PY1+Y2y=PY 1+Y2y，Y 2=0)+PY1+Y2y，Y 1=1概率密度 )解析：23.已知 X 服从参数为 1 的指数分布，Y=|X|，试求：()(X，Y)的分布函数 F(x，y)；()关于 X 和关于 Y 的边缘分布函数 Fx(x)和 FY(y)；()X，Y 的相关系数 pXY（分数：11.00）_正确答案：(分析与解答 ()F(x，y)=PXx，Yy)=PXx，|X|y=PXx，Xy()() 故 XY=1评注 本题的关键在于 xE(1)，而 X 的密度函数为 )解析：
