1、考研数学三-147 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知 f(x)是(-，+)上的奇函数，且 f(0)存在设 （分数：4.00）A.B.C.D.2.已知 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 y=y(x)是方程 x2y+e2y=1+sin(x+y)确定的隐函数，且 y(0)=0，则 y“(0)=(A) -2 (B) -4 (C) 2 (D) 4（分数：4.00）A.B.C.D.4.函数 （分数：4.00）A.B.C.D.5.已知 （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 n(3)维向量 1(a，1，1，1) T， 2=(1
2、，a，1，1) T， 3=(1，1，a，1)T， n(1，1，1，a) T若秩 r( 1， 2， 3， n)=n-1，则 a=(A) 1 (B) -1 (C) 1-n (D) n-1（分数：4.00）A.B.C.D.7.设随机变量 X 的概率分布为（分数：4.00）A.B.C.D.8.已知(X，Y)服从二维正态分布 N(0，0； 2， 2；0)，则随机变量 X+Y 与 X-Y 必(A) 相互独立且同分布 (B) 相互独立但不同分布(C) 不相互独立但同分布 (D) 不相互独立且不同分布（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1
3、:_10.已知曲线 y=ax2与曲线 Y=lnx 在点(x 0，y 0)处相切，则曲线 y=ax2在点(x 0，y 0)处的法线方程是_（分数：4.00）填空项 1:_11.设函数 f(x)在1，+)上连续，并使反常积分 收敛，若 f(x)还满足 （分数：4.00）填空项 1:_12.差分方程 yt+1-2yt= （分数：4.00）填空项 1:_13.已知 A 是 4 阶实对称矩阵，满足 A4-3A2=4E若秩 r(A-2E)=1则二次型 xTAx 的规范形是_（分数：4.00）填空项 1:_14.设总体 XN(a，2)，YN(b，2)，从总体 X 取得简单随机样本 X1，X 2，X m，从总
4、体 Y 独立地取得简单随机样本 Y1，Y 2，Y n记统计量 = （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 f(x)在点 x=0 处三阶可导，且满足 （分数：10.00）_16.设常数 a(-，+)，讨论反常积分 的敛散性又当上述反常积分收敛时，记 （分数：10.00）_17.设 （分数：10.00）_18.计算二重积分 （分数：10.00）_19.设函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)f(1)0求证：存在 (0，1)使得 f()+(4-) 2f()=0（分数：10.00）_20.设 1=(1，1，4，2) T， 2=(1
5、，-1，-2，b) T， 3=(-3，-1，a，-9) T，=(1，3，10，a+b) T问：()当 a，b 取何值时， 不能由 1， 2， 3线性表出；()当 a，b 取何值时， 能由 1， 2， 3线性表出，并写出此时的表达式（分数：11.00）_21.设 3 阶实对称矩阵 A 的秩为 2， 1= 2=6 是 A 的二重特征值若 1=(1，a，0) T， 2=(2，1，1)T， 3=(0，1，-1) T都是矩阵 A 属于特征值 6 的特征向量()求 a 的值；()求 A 的另一特征值和对应的特征向量；()若 =(-2，2，-1) T，求 An（分数：11.00）_22.设某地区一年内发生有
6、感地震的次数经 X 和无感地震次数 Y 分别服从泊松分布 P( 1)和 P( 2)，( 1， 20)，且 X 与 Y 相互独立。()求在一年内共发生 n(n0)次地震的概率；()已知一年内发生了 n 次地震的条件下求有感次数 X 的条件概率分布（分数：11.00）_23.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)=Ae -x2+xy-y2，-x+，-y+求：()常数 A；()f x(z)；()f Y|X(y|x)；()cov(X，Y)（分数：11.00）_考研数学三-147 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知 f(x)是
7、(-，+)上的奇函数，且 f(0)存在设 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 因 f(0)存在，从而 f(x)在点 x=0 处连续，又因 f(x)是(-，+)上的奇函数，故 f(0)=0于是进而得这表明函数 F(x)在点 x=0 处连续，为选出正确结论，还需研究 F(x)在点 x=0 处的可导性为此计算极限2.已知 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 令 ，由复合函数求导法则可得由于当 x=0 时3.设 y=y(x)是方程 x2y+e2y=1+sin(x+y)确定的隐函数，且 y(0)=0，则 y“(0)=(A) -2 (B) -4 (C) 2 (D) 4（分数：4.0
8、0）A.B. C.D.解析：解析 将 x2y+e2y=1+sin(x+y)看成关于 x 的恒等式，两端对 x 求导数得2xy+x2y+e2y2y=cos(x+y)(1+y) (*)把 x=0，y(0)=0 代入上式可得2y(0)=1+y(0) y(0)=1将(*)看成关于 x 的恒等式，两端再对 x 求导数又得+4xy+x2y“+e2y(2y)+e2y2y“=-sin(x+y)(1+y)2+cos(x+y)y“，把 x=0，y(0)=0，y(0)=1 代入上式可得4+2y“(0)=y“(0)4.函数 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 当 x=y0 时 ，这表明在点(0，0)的任意
9、小的邻域中总有使 的点，而 f(0，0)=0，故 f(x，y)在点(0，0)处不连续又因 可见 fx(0，0)=0，类似又有5.已知 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由 BC，A(B-C)=0，知齐次方程组 Ax=0 有非零解而 Ax=0 有非零解的充分必要条件是秩r(A)n因为6.设 n(3)维向量 1(a，1，1，1) T， 2=(1，a，1，1) T， 3=(1，1，a，1)T， n(1，1，1，a) T若秩 r( 1， 2， 3， n)=n-1，则 a=(A) 1 (B) -1 (C) 1-n (D) n-1（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 令对 A 作初
10、等行变换，把第 1 行的-1 倍依次加至第 2，3，n 各行，又因 r(A)=n-1，显然有 a1把2，3，n 行约去 1-a 后再加至第 1 行就有可见7.设随机变量 X 的概率分布为（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 已知泊松分布为8.已知(X，Y)服从二维正态分布 N(0，0； 2， 2；0)，则随机变量 X+Y 与 X-Y 必(A) 相互独立且同分布 (B) 相互独立但不同分布(C) 不相互独立但同分布 (D) 不相互独立且不同分布（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 (X，Y)二维正态，则(X+Y，X-Y)也是二维正态，故 X+Y 和 X-Y 也是正态E(X+Y
11、)=EX+EY=0+0=0，D(X+Y)=DX+DY= 2+ 2=2 2，即(X+Y)N(0，2 2)E(X-Y)=EX-EY=0-0=0，D(X-Y)=DX+DY= 2+ 2=2 2，即(X-Y)N(0，2 2)cov(X+Y，X-Y)=cov(X，X)-cov(X，Y)+cov(Y，X)-cov(Y，Y)= 2-cov(X，Y)+cov(X，Y)- 2=0故 X+Y 与 X-Y 的相关系数为 0，即 X+Y 与 X-Y 相互独立二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：e -1）解析：解析 引入函数 ，并设 ，则而且有 .利用数列极限与函
12、数极限的关系可得用洛必达法则计算可得从而10.已知曲线 y=ax2与曲线 Y=lnx 在点(x 0，y 0)处相切，则曲线 y=ax2在点(x 0，y 0)处的法线方程是_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 曲线 y=ax2与曲线 y=lnx 在点(x 0，y 0)处相切的充分必要条件是故所求的法线方程是即11.设函数 f(x)在1，+)上连续，并使反常积分 收敛，若 f(x)还满足 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 令 ，则有方程组将式代入式可由此可得 ，故12.差分方程 yt+1-2yt= （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：
13、 ）解析：解析 由于一阶常系数线性差分方程 yt+1+ayt=f(t)的通解具有形式 yt=C(-a)t+y*t，其中 C 是任意常数，而 y*t是该方程的一个特解，它的形式由系数 a 的取值与方程右端项 f(t)的形式所决定，在题设的方程中系数 a=-2，方程右端项 ，从而可设方程的通解为代入方程知待定常数 A、B 应满足关于 t 的恒等式 ，即 故方程的通解是注意 当 f(t)是多项式，指数函数，正弦函数，余弦函数以及它们的和差或乘积时，常用待定系数法求非齐次线性差分方程 yt+1+ayt=f(t)的一个特解，与二阶常系数线性微分方程类似，可分为两大类来讨论若 f(t)=Pm(t)dt，其
14、中 Pm(t)是 t 的 m 次多项式，常数 d0当非齐次项 f(t)=Pm(t)时可看成 d=1 的特例特解的取法如下表：(其中 Qm(t)是待定系数的 m 次多项式)若 f(t)=Mcost+Nsint，其中 M，N， 是常数，且 02，这时总可以取函数y*t=Acost+Bsint 为非齐次方程的一个特解，其中 A，B 是待定常数13.已知 A 是 4 阶实对称矩阵，满足 A4-3A2=4E若秩 r(A-2E)=1则二次型 xTAx 的规范形是_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y 21+y22+y23-y24）解析：解析 设 A=，0，由 A4-3A2=4E 有( 4-3
15、2-4)=0，0从而 4-3 2-4=0亦即( 2+1)( 2-4)=0因为实对称矩阵特征值必是实数故 A 的特征值是 2 或-2由 r(A-2E)=1那么 n-r(A-2E)=4-1=3说明齐次方程组(2E-A)x=0 有 3 个线性无关的解亦即 =2 有 3个线性无关的特征向量故矩阵 A 的特征值是 2，2，2，-214.设总体 XN(a，2)，YN(b，2)，从总体 X 取得简单随机样本 X1，X 2，X m，从总体 Y 独立地取得简单随机样本 Y1，Y 2，Y n记统计量 = （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：X 2(m+n-2)）解析：解析 为样本方差同理 ，且 S2X与
16、 S2Y独立根据 S2X的性质 分布同理 相互独立故三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 f(x)在点 x=0 处三阶可导，且满足 （分数：10.00）_正确答案：(解 利用当 g(x)0 时 ln1+g(x)g(x)可得把 f(x)的带皮亚诺余项的三阶麦克劳林公式 f(x)=f(0)+f(0)x2+ 代入即得(*)式可改写成为)解析：16.设常数 a(-，+)，讨论反常积分 的敛散性又当上述反常积分收敛时，记 （分数：10.00）_正确答案：(解 当 a1 时当 a=1 时因此，当 a1 时广义积分发散，当 a1 时广义积分收敛，且记 q=ln2，则常数 q 满足 0q1因
17、为 I(a)0，故lnI(a)=-ln(a-1)+(a-1)lnq，于是这表明函数 )解析：17.设 （分数：10.00）_正确答案：(解 由一阶全微分形式不变性可得由此即知计算 z“xy可从 zx出发，有因为 f1，f 2，f 3也分别是以 为中间变量的复合函数，所以它们对 y 的偏导数与 zy有完全相同的结构，即把它们代入 z“xy的表达式，经整理可得)解析：18.计算二重积分 （分数：10.00）_正确答案：(解 积分区域 D 可用直线 y=x 分为对称的两个部分区域：D 1=(x，y)|0x2，0yx与D2=(x，y)|0y2，0xy(如图)，且被积函数 ，关于变量 x 与 y 对称，
18、即 f(x，y)=f(y，x)，故设 x=rcos，y=rsin，在极坐标系(r，)中，从而评注 若积分区域 D 关于直线 y=x 对称，则)解析：19.设函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)f(1)0求证：存在 (0，1)使得 f()+(4-) 2f()=0（分数：10.00）_正确答案：(分析 若 p(x)在0，1上连续在(0，1)内可导且在(0，1)内不等于零，于是若xp(x)=p(x)(4-x) 2，则式可改写成令 F(x)=xp(x)f(x)，可见 F(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导且 F(0)=0，又由 f(0)f(1)0 及 f(x)在0，1上连
19、续可知，存在 (0，1)使得 f()=0，从而 F(x)在0，上满足罗尔定理的全部条件由罗尔定理知： (0，) (0，1)使得 F()=0，即题目的结论成立从而证明由 f(x)在0，1上连续且 f(0)f(1)0 知 使得 f()=0设 ，由题设知 F(x)在0，上连续，在(0，)内可导，且 F(0)=F()按罗尔定理知：存在(0，)即 (0，1)使得 F()=0由于且 在(0，)内不等于零，故由 F()=0 即知)解析：20.设 1=(1，1，4，2) T， 2=(1，-1，-2，b) T， 3=(-3，-1，a，-9) T，=(1，3，10，a+b) T问：()当 a，b 取何值时， 不能
20、由 1， 2， 3线性表出；()当 a，b 取何值时， 能由 1， 2， 3线性表出，并写出此时的表达式（分数：11.00）_正确答案：(解 设 x1 1+x2 2+x3 3=，对增广矩阵 作初等行变换得()当 a-6 且 a+2b4 时方程组无解， 不能由 1， 2， 3线性表出()当 a=-6 时)解析：21.设 3 阶实对称矩阵 A 的秩为 2， 1= 2=6 是 A 的二重特征值若 1=(1，a，0) T， 2=(2，1，1)T， 3=(0，1，-1) T都是矩阵 A 属于特征值 6 的特征向量()求 a 的值；()求 A 的另一特征值和对应的特征向量；()若 =(-2，2，-1) T
21、，求 An（分数：11.00）_正确答案：(对于实对称矩阵 A，若 是矩阵 A 的 k 重特征值，则矩阵 A 属于特征值 的特征向量有且只有 k 个是线性无关的因此 1， 2， 3必线性相关，那么故 a=1()由秩 r(A)=2，知|A|=0，又 ，所以 A 的另一个特征值是 3=0由题设 1=(1，1，0)T， 2=(2，1，1) T为 A 的属于特征值 6 的线性无关的特征向量设 A 属于特征值 0 的特征向量为=(x 1，x 2，x 3)T，于是 T1=0， T2=0 即 解得此方程组的基础解系为 =(-1，1，1) T那么矩阵 A 属于特征值 3=0 的全部特征向量为 k=k(-1，1
22、，1) T(k 为任意非零常数)()设 x1 1+x2 2+x3=，对( 1， 2，|)作初等行变换，有解出 x1=3，x 2=-2，x 3=1故=3 1-2 2+因为A 1=6 1，A 2=6 2，A=0所以An=3A n 1-2An 2+An=36 n 1-26n 2=(-6n，6 n，-26 n)T评注 本题考查实对称矩阵特征值、特征向量的性质如果 是矩阵 A 的 k 重特征值，那么 至多有k 个线性无关的特征向量，而作为实对称矩阵，则 k 重特征值必有 k 个线性无关的特征向量，从而保证本题中 1， 2， 3一定线性相关，可求出 a；要掌握实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交这一性质本
23、题亦可由 A( 1， 2， 3)=(6 1，6 2，0)，先求出矩阵 A然后利用 AA= )解析：22.设某地区一年内发生有感地震的次数经 X 和无感地震次数 Y 分别服从泊松分布 P( 1)和 P( 2)，( 1， 20)，且 X 与 Y 相互独立。()求在一年内共发生 n(n0)次地震的概率；()已知一年内发生了 n 次地震的条件下求有感次数 X 的条件概率分布（分数：11.00）_正确答案：(题给 XP( 1)，YP( 2)，且 X，Y 相互独立现要求 PX+Y=n的值 n=0，1，2，实际上 XP( 1)，YP( 2)，且 X，Y 相互独立则 X+YP( 1+ 2)()当 0kn 时，
24、如果记 )解析：23.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)=Ae -x2+xy-y2，-x+，-y+求：()常数 A；()f x(z)；()f Y|X(y|x)；()cov(X，Y)（分数：11.00）_正确答案：(分析 我们可以从公式 f(x，y)dy 和 ，f x(x)0 来求出 A，f x(x)和fY|X(y|x)而其中 A 可以从 来求出而不必先球 求 cov(X，Y)可用公式 cov(X，Y)=EXY-EXEY也可以用 = 1 2，其中(X，Y)N( 1， 2； 21， 22；)从这点看，还不如将(X，Y)直接理解成一个二维正态随机变量先求出它的参数， 1， 2， 21， 22和 P再 A，fx(x)从而 fY|X(y|x)，cov(X，Y)都容易得到解 二维正态概率密度一般形式为而题给条件为 f(x，y)=Ae -x2+xy-y2，由此可得因此)解析：
