1、考研数学三-146 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.函数 （分数：4.00）A.B.C.D.2.判别级数的敛散性： （分数：4.00）A.B.C.D.3.已知某商品的需求量 Q 对价格的弹性为 pln3，假设该商品的最大需求量为 1200，则需求量 Q 关于价格p 的函数关系是_AQ=12003 -p BQ=12003e -pCQ=1200e -3p DQ=12003 p（分数：4.00）A.B.C.D.4.设 I= （分数：4.00）A.B.C.D.5.已知 n 阶矩阵 A，B，C，其中 B，C 均可逆，且 2A=AB-1+
2、C，则 A=_AC(2-B) B （分数：4.00）A.B.C.D.6.A 是 mn 矩阵，线性方程组 AX=b 有唯一解的充分必要条件是_Am=n 且|A|0B导出组 AX=0 有且仅有零解CA 的列向量组 1， 2， n与 1， 2， n，b 等价Dr(A)=n，且 b 可由 A 的列向量组线性表出（分数：4.00）A.B.C.D.7.设随机变量 X 与 Y 都服从 0-1 分布，且 X，Y 相互独立，P(X=0，Y=0)=1/6，P(X=1，y=0)=1/12，P(X=0，Y=1)=a，P(X=1，Y=1)=6，则_Aa=1/15，b=25/36 Ba=25/36，b=1/18Ca=1/
3、2，b=1/4 Da=1/6，b=1/12（分数：4.00）A.B.C.D.8.设总体 XN(0， 2)，X 1，X 2，X n为来自总体 X 的简单随机样本，则 2的无偏估计量为_A BC D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_10.已知级数 与广义积分 （分数：4.00）填空项 1:_11.差分方程 （分数：4.00）填空项 1:_12.化下述积分为极坐标系下的累次积分，则（分数：4.00）填空项 1:_13.A，B，C 是二阶矩阵，其中（分数：4.00）填空项 1:_14.设 A，B 是两个随机事件
4、，已知P(A|B)=0.3，P(B|A)=0.4， （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.讨论函数 （分数：11.00）_16.如图由 y=0，x=8，y=x 2围成一曲边三角形 OAB，在曲边 上求一点，使得过此点所作 y=x2的切线与 OA、OB 所围成的三角形面积为最大（分数：10.00）_17.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，其中 0ab，试证至少存在一点 (a，b)，使得alnb-blna=(ab2-ba2) （分数：10.00）_18.试求心形线x=cos3，y=asin 3(0 （分数：10.00）_19.设 f(x，y)
5、连续，且，其中 D=(x，y)|0x1，0y1求 （分数：10.00）_设 A 是 n 阶方阵，且 E+A 可逆，证明：（分数：11.00）(1).E-A 和(E+A) -1相乘可交换（分数：5.50）_(2).若 A 为反对称矩阵，则(E-A)(E+A) -1是正交矩阵（分数：5.50）_20.已知 =1，1，1 T是二次型 +2x1x2+2bx1x3+2x2x3矩阵的特征向量判断二次型是否正定，并求下列齐次方程组的通解：（分数：11.00）_21.证明（分数：10.00）_22.假设总体 X 是连续型随机变量，其概率密度X1，X 2，X n是来自总体 X 的简单随机样本，统计量Yn=n1-
6、maxX1，X 2，X n的分布函数为 Fn(x)求证（分数：11.00）_考研数学三-146 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.函数 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 分段函数在分段点处的连续性和可导性通常用连续和可导的定义来讨论因显然上述极限不存在故 f(x)在 x=0 处不可导但，这是因为 1- 为无穷小量(x0)，而2.判别级数的敛散性： （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 将被积函数放大，使之积分后产生收敛的比较级数因为，而 收敛，由比较判别法知3.已知某商品的需求量 Q 对价格的弹性为 pln
7、3，假设该商品的最大需求量为 1200，则需求量 Q 关于价格p 的函数关系是_AQ=12003 -p BQ=12003e -pCQ=1200e -3p DQ=12003 p（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 利用弹性定义可建立微分方程解之，也可逐个检验四个选项中的结果是否符合题目的要求，从而确定选项解一 根据需求弹性的定义与题设可知，由此即得4.设 I= （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 被积函数关于 x，y 都是偶函数，且积分区域关于坐标轴、坐标原点都对称，故所求积分等于第一象限积分区域上的 4 倍以此简化计算设 D1=(x，y)|x 2+y2a 2，x0，y0，
8、则5.已知 n 阶矩阵 A，B，C，其中 B，C 均可逆，且 2A=AB-1+C，则 A=_AC(2-B) B （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 解矩阵方程常先作恒等变形，其次要正确运用矩阵的运算法则做乘法时，要说清楚是左乘还是右乘，特别要注意(AB) -1A -1B-1仅 D 入选，由于 2A=AB-1+C，有2A-AB-1=C，且 A(2E-B-1)=C,又 C 可逆，则A(2E-B-1)C-1=E，故 A 可逆，且得A=(2E-B-1)C-1-1=C(2B-1B-B-1)-1=CB-1(2BE)-1=C(2B-E)-1B注意 化简(2E-B -1)-1时常见下述错误：(2E
9、-B-1)-1-(2E)-1-(B 一 1)-1=6.A 是 mn 矩阵，线性方程组 AX=b 有唯一解的充分必要条件是_Am=n 且|A|0B导出组 AX=0 有且仅有零解CA 的列向量组 1， 2， n与 1， 2， n，b 等价Dr(A)=n，且 b 可由 A 的列向量组线性表出（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 利用 AX=b 有唯一解的充分必要条件是 去判别当 m=n 时，必有，因而必有解。又|A|0，即 m=n=r(A)，则 AX=b 必有唯一解这也可由克拉默法则得知，但并不必要，当mn 时，方程组也可能有唯一解例如，AX=b 有唯一解C 是 AX-b 有唯一解的必要条
10、件，并非充分条件，即两个向量组 1， 2， n与 1， 2， n，b 等价是方程组 AX=b 有解的充要条件，是有唯一解的必要条件例如AX=b 有解，但解不唯一B 是 AX-b 有唯一解的必要条件，并非充分条件因这时不能保证 r(A)=r(A b)如 AX=0 有非零解，则 AX=b 必没有唯一解，它可能有无穷多解，亦可能无解，当 AX=0 只有零解时，AX=b 可能有唯一解，也可能无解，并不能保证必有唯一解例如AX=0 仅有零解，而 AX=b 并无解D 秩 r(A)=n 表明 A 的列向量组线性无关，因而如 AX=b 有解，则解必唯一仅 r(A)=n 还不能保证 r(A)=，因而不能保证 A
11、X=b 有解(参见 B 中反例)，b 可由 A 的列向量组线性表出是 AX=b 有解的充要条件，这两个条件结合才能保证因而它们才是 AX=b 有唯一解的充要条件，仅 D 入选注意 B、C 均是必要条件，前者不能保证 r(A)=7.设随机变量 X 与 Y 都服从 0-1 分布，且 X，Y 相互独立，P(X=0，Y=0)=1/6，P(X=1，y=0)=1/12，P(X=0，Y=1)=a，P(X=1，Y=1)=6，则_Aa=1/15，b=25/36 Ba=25/36，b=1/18Ca=1/2，b=1/4 Da=1/6，b=1/12（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由 X 与 Y 的独立
12、性及边缘分布的归一性建立 a 与 b 的两个方程求之，由题设得到(X，Y)的联合分布律如下表：8.设总体 XN(0， 2)，X 1，X 2，X n为来自总体 X 的简单随机样本，则 2的无偏估计量为_A BC D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 按照无偏估计量的定义，只需证明哪个统计量的期望等于 2二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：解析 所求数项级数的和可拆分为两个数项级数而求之：令 S(x)= (|x|1)， 因故 (|x|1)于是 ，又故 注意 常用到级数 S(x)= 的和函数(|x|1)最好能
13、记住此外，级数 的和函数10.已知级数 与广义积分 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0p2）解析：解析 应分别求出交错 p 级数 收敛时，p 的取值范围及广义积分 收敛时 p 的取值范围，两者的交集即为所求由于 是交错 p 级数，只要 p0 就符合莱布尼兹判别法的要求，因而是收敛的而且 p0 时，该级数的通项不趋于 0，所以一定发散而对于11.差分方程 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 所给差分方程的类型为yx+1-ayx=cbx，b，c 为常数这种类型当 ab 时，其特解形式 将其代入原方程易求得 故 = ，其通解为(A 为任意常数)由上述分析易知，
14、所给方程的特解为，而对应齐次方程的通解为 ，其中 A 为任意常数，故所求通解为12.化下述积分为极坐标系下的累次积分，则（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 根据所给条件先将累次积分化成二重积分并求出积分区域 D：它是由 y=x，y=1-x 及 x 轴所围成(见下图)，再将其化为极坐标系下的累次积分极坐标系下一般先对 r 积分后对 积分，这时穿入的边界线 y+x=1 化为极坐标，可表示为x+y=rcos+rsin=1，即 r=1/(cos+sin)穿出的边界线为 r+由上述分析易知13.A，B，C 是二阶矩阵，其中（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：
15、解析 因|B-C|=0，用解方程组的方法求出所有的 ABA=CA，即(B-C)A=O，求满足条件 BA=CA 的所有 A 化为求解方程组(B-C)A=O 的所有解设 A= ，则由，得到 因 ，故方程组的基础解系为 1=-1，0，1，0 T， 2=0，-1，0，1 T于是方程组的通解为，故 A=14.设 A，B 是两个随机事件，已知P(A|B)=0.3，P(B|A)=0.4， （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：58）解析：解析 首先要根据条件概率的数值关系P(A|B)=0.3， =0.7，得到 P(A|B)+ =1判定 A 与 B 为独立事件由 得到于是 P(A|B)=三、解答题(总
16、题数：9，分数：94.00)15.讨论函数 （分数：11.00）_正确答案：(因 ，故直线 x=1 是函数的铅直渐近线又且 ，故直线 y=x+1 是斜渐近线(2)由 得其驻点为 x1=3，x 2=-1虽然在 x=1 处附近一阶、二阶导数存在，且二阶导数变号，但 f(x)在 x=1 处没有定义，因而不连续，故 y 没有拐点以 y 的不连续点 x=1，驻点 x=-1 及 x=3 将其定义区间分为部分区间，函数在这些部分区间的变化列成下表：x(-，-1)-1(-1，1)1(1，3)3(3，+)f + 0 - - 0 +f“ - - - + + +y单增下凹极大值-2单减下凹单减上凹极小值 6单增上凹
17、当 x=-1 时，y=x+1=0，而 y= =-2，且 x=0 时，y=x+1=1，y= =-3因此在(-，1)内函数图形在渐近线 y=x+1 的下面又当 x=3 时，y=x+1=4，而因而在(1，+)内渐近线在函数图形的下面因此描绘函数 y 的大致图形如下图所示)解析：解析 确定函数的定义域、曲线的渐近线，然后利用导数讨论函数的单调性和极值、凹向与拐点，由曲线的方程求出曲线与坐标轴交点的坐标，最后画出函数的图形16.如图由 y=0，x=8，y=x 2围成一曲边三角形 OAB，在曲边 上求一点，使得过此点所作 y=x2的切线与 OA、OB 所围成的三角形面积为最大（分数：10.00）_正确答案
18、：(设切点为(x，y)过曲线上点(x，y)的切线方程为Y-y=Y(X-x)将 y=x2代入得Y-x2=2x(X-x)此切线与 X=8 及 Y=0 的交点的纵坐标与横坐标分别为Y=2x(8-x)+x2，X= ，则切线与 OA，OB 所围成的三角形面积为，令 S(x)=0，得 x= 及 x=16(舍去)易验证，当 x= 时，S“( )0，因而 S(x)取最大值，则所求的点为( )解析：解析 设切点(x，y)，写出切线方程，求出切线方程 Y-x2=y(X-x)，求出切线与直线 X=8 及与Y=0(横轴)的交点写出用 x，y 表示的面积表达式，最后求出 x，y 为何值时此面积最大17.设 f(x)在a
19、，b上连续，在(a，b)内可导，其中 0ab，试证至少存在一点 (a，b)，使得alnb-blna=(ab2-ba2) （分数：10.00）_正确答案：(证明 等式可改写成作辅助函数 f(x)= ，则 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，由拉格朗日中值定理知，存在(a，b)，使得，即 ，亦即 alnb-blna=(ab2-ba2) )解析：解析 待证的中值等式中含有 af(b)-bf(a)这样的项，为找出辅助函数，常先用 ab 去除等式两端，从而找出两函数值的差该函数就是要找的辅助函数本例用 ab 去除等式两端即得于是辅助函数 F(x)=18.试求心形线x=cos3，y=asin 3(
20、0 （分数：10.00）_正确答案：(解一 解二 选 x 为积分变量dV=y2xdx=2yxdx，)解析：解析 求坐标轴上的曲边梯形绕坐标轴旋转生成的旋转体体积，一般有两种计算方法，计算公式为，或19.设 f(x，y)连续，且，其中 D=(x，y)|0x1，0y1求 （分数：10.00）_正确答案：(设 =A(常数)在等式两端乘以 xy，然后在区域 D 上二重积分得到，即 于是 A= ，从而f(x，y)= ，因此 ，)解析：解析 因 D 为一固定区域，故设 A 是 n 阶方阵，且 E+A 可逆，证明：（分数：11.00）(1).E-A 和(E+A) -1相乘可交换（分数：5.50）_正确答案：
21、(证明 因(E-A)(E+A)=E-A2=(E+A)(E-A)，两边分别左乘、右乘(E+A) -1得到(E+A)-1(E-A)(E+A)(E+A)-1=(E+A)-1(E+A)(E-A)(E+A)-1,故(E+A) -1(E-A)=(E-A)(E+A)-1，即 E-A 与(E+A) -1相乘可交换)解析：解析 利用(E-A)(E+A)=(E+A)(E-A)及矩阵乘法运算证之(2).若 A 为反对称矩阵，则(E-A)(E+A) -1是正交矩阵（分数：5.50）_正确答案：(为证(E-A)(E+A) -1为正交矩阵，只需证(E-A)(E+A)-1T=(E-A)(E+A)-1-1.事实上(E-A)(
22、E+A)-1T=(E+A)-1(E-A)T=(E-A)T(E+A)-1T=(E-AT)(E+A)T-1=(E-AT)(E+AT)-1=(E+A)(E-A)-1(A 为反对称矩阵，A T=-A)，而(E-A)(E+A) -1-1=(E+A)-1-1(E-A)-1=(E+A)(E-A)-1，故(E-A)(E+A) -1T=(E-A)(E+A)-1-1，所以(E-A)(E+A) -1为正交矩阵)解析：解析 利用正交矩阵的守义(AA T=E，即 A-1=AT)证之20.已知 =1，1，1 T是二次型 +2x1x2+2bx1x3+2x2x3矩阵的特征向量判断二次型是否正定，并求下列齐次方程组的通解：（分
23、数：11.00）_正确答案：(二次型矩阵是设 是属于特征值 0的特征向量，即 A1= 0，或由此可得易解出 0=3，b=0，a=2对于 A1= ，由于|A 1|=0，所以 f 不是正定二次型将 a=2，b=0 代入方程组，对系数矩阵作初等行变换化为行阶梯形矩阵：A2=当 c=6 时，对 B 进一步用初等行变换化为含最高阶单位矩阵的矩阵，得到A2B则 A2X=0 的一个基础解系含 2 个解向量： 1=-9，19，-7，1，0 T， 2=2，-7，2，0，1 T，其通解为 X=k1 1+k2 2，k 1，k 2为任意常数当 c6 即 c-60 时，矩阵 B 用初等行变换进一步可化为含最高阶单位矩阵
24、的矩阵：)解析：解析 写出二次型矩阵 A，由题设条件列出方程易求得 a、b 和 的特征值 0然后再将所给齐次方程组的系数矩阵用初等行变换化为含最高阶单位矩阵的矩阵，用基础解系的简便求法即可写出其基础解系及通解，21.证明（分数：10.00）_正确答案：(证明 由下边的维尼图易看出，下面事件的关系成立：又因 AB BAB，由减法公式得到P(AB-AB)=P(AB)-P(AB)，故 )解析：解析 利用事件和、差、积的运算法则证之22.假设总体 X 是连续型随机变量，其概率密度X1，X 2，X n是来自总体 X 的简单随机样本，统计量Yn=n1-maxX1，X 2，X n的分布函数为 Fn(x)求证（分数：11.00）_正确答案：(由题设知，总体 X 的分布函数为所以 Yn的分布函数Fn(x)=P(Ynx)=P(n1-maxX 1，X 2，X nx)=P(maxX1，X 2，X n1- )=1-P=1-=故 )解析：解析 首先要明确简单随机样本是一组相互独立且与总体同分布的随机变量，其次要会求maxX1，X 2，X n的分布函数，最后还要熟悉极限公式：
