1、考研数学三-145 及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 A 是，mn 矩阵，B 是 ns 矩阵，则方程组 Bx=0 与 ABx=0 同解的充分条件是( )（分数：4.00）A.r()=nB.r()=mC.r()=nD.r()=s2.已知 f(x)在点 x=0 处连续，且 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 A 是 4 阶矩阵，若 1=(1，0，-1，1) T， 2=(0，1，-1，0) T， 3=(1，1，0，1) T是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个解，A *为 A 的伴随矩阵，则下列各命题中不正确的是( )（分数：
2、4.00）A.|A+A*|=0B.r(A*)=0C.A*x=0 与 Ax=0 的基础解系所含解向量的个数相等D.任一非零向量均为 A*的特征向量4.以下命题正确的是( )（分数：4.00）A.B.C.D.5.设随机变量 X 和 Y 相互独立且均服从下列分布： 0p1，则下列随机变量中服从二项分布的是( )（分数：4.00）A.B.C.D.6.函数 （分数：4.00）A.B.C.D.7.级数 （分数：4.00）A.B.C.D.8.将一枚均匀的硬币接连抛 2 次，以 A 表示事件“正面最多出现一次”，以 B 表示事件“正面和反面各至少出现一次”，则( )（分数：4.00）A.AB.A 与 B 互不
3、相容C.A 与 B 相互独立D.A 与 B 不独立二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设函数 f(x)-(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)(x+100)，则 f(1)=_。（分数：4.00）填空项 1:_10.已知 f(x)在点 x=0 的某个邻域内可展成泰勒级数，且 （分数：4.00）填空项 1:_11.设 f(x)，g(x)为连续函数， 则 （分数：4.00）填空项 1:_12.记 （分数：4.00）填空项 1:_13.已知 （分数：4.00）填空项 1:_14.设随机变量 X 服从二项分布 B(n，p)，则随机变量 Y=n-X 所服从的分布为 1。（分数：4.00）填空项
4、 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在 内连续，f(x)0，且（分数：10.00）_16.设 （分数：10.00）_17.计算 （分数：10.00）_18.计算 （分数：10.00）_19.已知 F(x)是 f(x)的一个原函数，而 F(x)是微分方程 xy+y-ex满足初始条件 的解，试将 f(x)展开成 x 的幂级数，并求 （分数：10.00）_20.已知 43 矩阵 A= 1， 2， 3，其中 1， 2， 3均为 4 维列向量，若非齐次线性方程组 Ax=的通解为(1，2，-1) T+k(1，-2，3) T，令 B= 1， 2， 3，+ 3，试求 By= 1
5、- 2的通解。（分数：11.00）_21.已知 =2 是矩阵 （分数：11.00）_设(U，V)在以点(-2，0)，(2，0)，(0，1)，(0，-1)为顶点的四边形上服从均匀分布，令（分数：11.01）(1).求 U 与 V 的边缘密度；（分数：3.67）_(2).求 X 与 Y 的联合分布律；（分数：3.67）_(3).求 X 与 Y 的协方差。（分数：3.67）_22.设总体 XN(， 2)，X 1，X 2，X n，X n+1是来自总体 X 的一个样本，且 ， ，试求统计量 （分数：11.00）_考研数学三-145 答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：
6、8，分数：32.00)1.设 A 是，mn 矩阵，B 是 ns 矩阵，则方程组 Bx=0 与 ABx=0 同解的充分条件是( )（分数：4.00）A.r()=n B.r()=mC.r()=nD.r()=s解析：详解 易知 Bx=0 的解是 ABx=0 的解，当 A 列满秩时，即 r(A)=n 时，齐次线性方程组 Ax=0 只有零解，于是，若 x0为 ABx=0 的任一解，即 ABx0=0，则一定有 Bx0=0，从而 x0也为 Bx=0 的解，因此 Bx=0 与ABx=0 同解，故选(A)。2.已知 f(x)在点 x=0 处连续，且 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 由已知极限及导
7、数定义，可求得 f(0)及 f“(0)。3.设 A 是 4 阶矩阵，若 1=(1，0，-1，1) T， 2=(0，1，-1，0) T， 3=(1，1，0，1) T是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个解，A *为 A 的伴随矩阵，则下列各命题中不正确的是( )（分数：4.00）A.|A+A*|=0B.r(A*)=0C.A*x=0 与 Ax=0 的基础解系所含解向量的个数相等 D.任一非零向量均为 A*的特征向量解析：详解 因为 1- 2， 2- 3均为 Ax=0 的非零解向量，且 1- 2与 2- 3线性无关，可见 4-r(A)2，即 r(A)2，从而 r(A*)=0，也就是 A*=0，这样(A
8、)、(B)、(D)均成立，应选(C)。4.以下命题正确的是( )（分数：4.00）A. B.C.D.解析：分析 函数关系式中包含绝对值，应作为分段函数处理，在分段点的极限要通过左右极限进行分析。详解 *于是有*，(B)、(C)、(D)均可检验极限是不存在的，故应选(A)。5.设随机变量 X 和 Y 相互独立且均服从下列分布： 0p1，则下列随机变量中服从二项分布的是( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：详解 X+Y 的可能取值为-2，0，2，于是*的可能取值为 0，1，2，且*6.函数 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 此类问题一般从讨论是否有偏导数以及是否可微入手，而
9、验证偏导数都存在的二元函数是否可微，只需检验*是否等于零。详解 由于*所以 fx(0，0)=0，同理 f y(0，0)=0由于*，令*当(x，y)沿 y=x 趋于(0，0)点时，*因此 f(x，y)在点(0，0)处不可微，故应选(B)。7.级数 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 取 的某些特殊值代入验算即可。详解 当 =-1 时，*显然绝对收敛，排除(A)、(B)，又 =1 时，*发散，排除(C)，故应选(D)。8.将一枚均匀的硬币接连抛 2 次，以 A 表示事件“正面最多出现一次”，以 B 表示事件“正面和反面各至少出现一次”，则( )（分数：4.00）A.AB.A 与 B 互
10、不相容C.A 与 B 相互独立D.A 与 B 不独立 解析：详解 易知*故 P(AB)P(A)P(B)，即 A 与 B 不独立，故选(D)。二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设函数 f(x)-(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)(x+100)，则 f(1)=_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解 因为f(x)=(x+2)(x-3)(x+4)(x+100)+(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)(x+100)于是 f(1)=(-2)3(-4)(-98)99101=(-)49349899101=*10.已知 f(x)在点 x=0 的某个邻域内可展成泰勒级
11、数，且 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：f“(0)=2）解析：详解 由题设，在 x=0 的某邻域内有*故 n 充分大时，*从而有*即 f“(0)=211.设 f(x)，g(x)为连续函数， 则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 直接利用变限的积分求导公式即可详解 因为*于是*从而有*12.记 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：I 2I 1I 3）解析：详解 I 1，I 2，I 3被积函数相同且非负，故只需比较它们积分域范围的大小即可，有 I2I 1 313.已知 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解 把矩阵 A 的第
12、 1 列、第 2 列加到第 3 列得到矩阵 B，于是 B=AP1P2其中 P1=*于是*14.设随机变量 X 服从二项分布 B(n，p)，则随机变量 Y=n-X 所服从的分布为 1。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：B(n，1-p)）解析：详解 因 X 可以看成 n 重 Bernoulli 试验中事件“成功”的次数，故 Y 即表示“失败”的次数，从而 Y 服从二项分布 B(n，1-p)。三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在 内连续，f(x)0，且（分数：10.00）_正确答案：(由题设，设 f(x)在(0，*)内可导，且*所以*由条件知*从而有*)解析：1
13、6.设 （分数：10.00）_正确答案：(在 x=0 处 f(x)连续，并有*所以 f(0)=1，于是有*又因*故 f(x)在(-，+)上连续，考虑到g(x)=x+x2，g(x)=1+2x，故有 (x)=f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)=(1+2x)f(x)+(x+x2)f(x)由 f(0)=1 知 (0)=f(0)=1，于是*)解析：17.计算 （分数：10.00）_正确答案：(*)解析：18.计算 （分数：10.00）_解析：19.已知 F(x)是 f(x)的一个原函数，而 F(x)是微分方程 xy+y-ex满足初始条件 的解，试将 f(x)展开成 x 的幂级数，并求
14、（分数：10.00）_正确答案：(由 xy+y=ex知(xy)=e x，积分得 xy=ex+c，当 x0 时，*根据*有 c=-1故*于是*而*故*于是*)解析：分析 求函数的幂级数展开式一般考虑用间接展开法即可，即通过恒等变形、逐项求导、逐项积分等达到求函数幂级数展开式的目的，本题先解一简单微分方程，找出满足条件*的 F(x)，再利用*求幂级数展开式即可。20.已知 43 矩阵 A= 1， 2， 3，其中 1， 2， 3均为 4 维列向量，若非齐次线性方程组 Ax=的通解为(1，2，-1) T+k(1，-2，3) T，令 B= 1， 2， 3，+ 3，试求 By= 1- 2的通解。（分数：1
15、1.00）_正确答案：(由题设，有r(A)=r 1， 2， 3=3-1=2*从而 r(B)=r 1， 2， 3，+ 3=r 1， 2， 3， 1+2 2=r 1， 2， 3=2又因 1， 2， 3， 3+*是 By= 1- 2的解进一步，由*知*是 By=0 的两个线性无关的解，可作为所求方程的基础解系，故所求方程通解为：*，k 1，k 2为任意常数。)解析：21.已知 =2 是矩阵 （分数：11.00）_正确答案：(A 是实对称矩阵，=2 是二重根，故 =2 必有两个线性无关的特征向量，于是秩 r(2E-A)=1，可得 a=2。此时*，于是 2+2+ 3=4+4+4，知 3=8解(2E-A)
16、x=0，得特征向量*解(8E-A)x=0，得特征向量*先将 1， 2正交化：*再将 1， 2， 3单位化，得正交矩阵：*且有*)解析：设(U，V)在以点(-2，0)，(2，0)，(0，1)，(0，-1)为顶点的四边形上服从均匀分布，令（分数：11.01）(1).求 U 与 V 的边缘密度；（分数：3.67）_正确答案：(U 和 V 的联合密度为*其中 D 为四边形所围成的区域，如图 2 所示。*)解析：(2).求 X 与 Y 的联合分布律；（分数：3.67）_正确答案：(*同理可得 P(X=-1，Y=1)=0，P(X=1，Y=-1)=*，P(X=1，Y=1)=*。故联合分布律为*)解析：(3).求 X 与 Y 的协方差。（分数：3.67）_正确答案：(易得 X 与 Y 的边缘分布律：*于是*故*)解析：22.设总体 XN(， 2)，X 1，X 2，X n，X n+1是来自总体 X 的一个样本，且 ， ，试求统计量 （分数：11.00）_正确答案：(因为*X n+1N(， 2)，且*与 Xn+1相互独立，故*即*又*相互独立，由 t 分布的定义得*)解析：
