1、考研数学三-144 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数：50，分数：100.00)1.设可微函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)取得极小值，则 A.f(x0，y)在 y=y0处的导数等于零 B.f(x0，y)在 y=y0处的导数大于零 C.f(x0，y)在 y=y0处的导数小于零 D.f(x0，y)在 y=y0处的导数不存在（分数：2.00）A.B.C.D.2.已知函数 F(x，y，z)具有一阶连续偏导数，且 F(1，1，1)=0，F x(1，1，1)=2，f y(1，1，1)=-1若方程 F(x，y，z)=0 确定隐函数 z=z(x，y)，
2、且 zx(1，1)=1，则 zy(1，1)=A1 B-1 C D （分数：2.00）A.B.C.D.3.设在全平面上有 （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 f(x，y)=x 3-4x2+2xy-y2，则, A.点(0，0)是 f(x，y)的极大值点 B.点(2，2)是 f(x，y)的极小值点 C.点(2，2)是 f(x，y)的极大值点 D.点(0，0)是 f(x，y)的驻点，但不是极值点（分数：2.00）A.B.C.D.5.设函数 f(x，y)在点(0，0)某邻域内连续，且 （分数：2.00）A.B.C.D.6.函数 z=x2+y2-6x+8y在圆域 x2+y2100 上的最大值与最小值
3、分别是 A.200，-25 B.180，0 C.205，-15 D.190，10（分数：2.00）A.B.C.D.7.某产品的产量 Q与原材料 A，B，C 的数量 x，y，z(单位均为吨)满足 Q=0.05xyz，已知 A，B，C 的价格分别是 3，2，4(百元)若用 5400元购买 A，B，C 三种原材料，则使产量最大的 A，B，C 的采购量分别为： A.6，9，45(吨) B.2，4，8(吨) C.2，3，6(吨) D.2，2，2(吨)（分数：2.00）A.B.C.D.8.若平顶的长方体库房(如图)的屋顶与四面墙壁面积之和 S=108平方米，则该库房的最大容积为（分数：2.00）A.B.C
4、.D.9.设商品的需求函数为 (0p8)其中 Q，P 分别表示需求量和价格，令 为商品需求弹性，即（分数：2.00）A.B.C.D.10.已知边际收益函数 ，其中常数 a0，b0，k0，则需求函数 Q=Q(p)的表达式为 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.11.设函数 f(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，h(x)具有连续的导函数，且 h(0)=0，h(0)=1，区域DR=(x，y)|x 2+y2R 2，则 =Af(0，0) B C （分数：2.00）A.B.C.D.12.交换积分次序，则累次积分 = A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.13.设 D是由直线
5、x=-1，y=1 与曲线 y=x3围成的平面区域，D 1是 D在第一象限的部分，则 等于ABC （分数：2.00）A.B.C.D.14.在极坐标系(r，)中，圆 r=1之外和圆 之内的公共部分 D的面积 S等于 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.15.设 m，n 为正整数，则 （分数：2.00）A.B.C.D.16.设 （分数：2.00）A.B.C.D.17.设积分区域 D=(x，y)|x 2+y21)；D 1=(x，y)|x 2+y21，x0，y0)在如下的四个等式 （分数：2.00）A.B.C.D.18.在平面直角坐标系 Oxy中，区域 D由 x轴，y 轴以及直线 ，x+y
6、=1 围成，若 （分数：2.00）A.B.C.D.19.若 （分数：2.00）A.B.C.D.20.设 x=rcos，y=rsin，则极坐标系(r，)中的累次积分 ，rsin)dr 可化为直角坐标系(x，y)中的累次积分 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.21.设平面区域 D=(x，y)|x 2+y21，y0)；D 1=(x，y)|x 2+y21，x0，y0，则ABCD （分数：2.00）A.B.C.D.22.的值为 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.23.设积分区域 D=(X，y)|x|+|y|1)，则二重积分 的值等于 A1 B C2 D（分数：2.00）A
7、.B.C.D.24.设积分区域 D是由直线 y=z与曲线 y2=x围成，则 =A B- C D （分数：2.00）A.B.C.D.25.设积分区域 D=(x，y)|x|1，|y|1，x 2+y2x)，则 =A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.26.如图，设平面区域 D=(x，y)|y0，x 2+y24x，x 2+y22x)被直线 y=x分成面积较大与面积较小的两个部分区域 D1与 D2，则 D1与 D2的面积之比等于ABCD （分数：2.00）A.B.C.D.27.设积分区域 D是正方形(x，y)|0x1，0y1)，则二重积 = A B CD （分数：2.00）A.B.C.D.2
8、8.设积分区域 D由曲线 x2+y2=x+y围成，则 =A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.29.设积分区域 D=(x，y)|-1x1，-1y1)，则二重积分 = A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.30.设无界区域 D=(x，y)|1x+，xy+)，则 = A1 B C D（分数：2.00）A.B.C.D.31.设 D是无界区域(x，y)|x0，y0，则 （分数：2.00）A.B.C.D.32.设 f(x，y)为连续函数，且 D=(x，y)|x 2+y2t 2，则 （分数：2.00）A.B.C.D.33.设 f(u)为可微函数且 f(0)=0，则 等于 Af(0)
9、 B C （分数：2.00）A.B.C.D.34.设级数 条件收敛，则 A级数 与级数 都收敛 B级数 与级数 都发散 C级数 收敛而级数 发散 D级数 发散而级数 （分数：2.00）A.B.C.D.35.设 un0(n=1，2，3，)且交错级数 条件收敛，则A存在自数数 n0，使得当 nn 0时 un+1u n成立B 收敛C 发散D （分数：2.00）A.B.C.D.36.现有关于级数的如下四个结论：若 an0 且 1(n=1，2，3，)则 收敛若 ，则 发散若 收敛，则 收敛设 an0(n=1，2，3，)且极限 存在，又 收敛，则 （分数：2.00）A.B.C.D.37.在关于级数的如下四
10、个结论：若 和 都收敛，则 收敛若 收敛，则 与 都收敛若正项级数 发散，则 若级数 收敛，且 unv n(n=1，2，)，则级数 （分数：2.00）A.B.C.D.38.若级数 收敛，则 A级数 中一个收敛，一个发散 B级数 要么都收敛，要么都发散 C级数 均收敛 D级数 （分数：2.00）A.B.C.D.39.在条件级数 绝对收敛 级数 条件收敛级数 绝对收敛 级数 条件收敛中能保证级数 （分数：2.00）A.B.C.D.40.若级数 收敛，则 A 必收敛 B 未必收敛 C 必发散 D （分数：2.00）A.B.C.D.41.设对 n=1，2，3，总有不等式 anb nc n，则A若 与
11、都收敛，则必有 收敛B若 与 都发散，则必有 发散CD仅由级数 与 的敛散性未必能判定级数 （分数：2.00）A.B.C.D.42.在如下四个级数 ， ， ， （分数：2.00）A.B.C.D.43.设 a是常数，则级数 （分数：2.00）A.B.C.D.44.已知级数 与反常积分 （分数：2.00）A.B.C.D.45.设常数 0，0，则级数 （分数：2.00）A.B.C.D.46.下列四个级数中，发散的级数是 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.47.在级数 ， ， ， （分数：2.00）A.B.C.D.48.在下列命题中正确的是 A若 都收敛，则 收敛 B若 收敛， 发散，
12、则发散 C若 条件收敛， 绝对收敛，则 条件收敛 D若 收敛， 绝对收敛，则 （分数：2.00）A.B.C.D.49.在命题若 收敛，则 条件收敛若 收敛，则 收敛若 ，则 收敛若 un0，且级数 条件收敛，则级数 （分数：2.00）A.B.C.D.50.设级数(1)是 ，级数(2)是 （分数：2.00）A.B.C.D.考研数学三-144 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数：50，分数：100.00)1.设可微函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)取得极小值，则 A.f(x0，y)在 y=y0处的导数等于零 B.f(x0，y)在 y=y0处的导数
13、大于零 C.f(x0，y)在 y=y0处的导数小于零 D.f(x0，y)在 y=y0处的导数不存在（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 由函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微，知函数 f(x，y)在点(x 0，y 0)处的两个偏导数都存在，又由二元函数极值的必要条件即得 f(x，y)在点(x 0，y 0)处的两个偏导数都等于零从而有*故应选(A)2.已知函数 F(x，y，z)具有一阶连续偏导数，且 F(1，1，1)=0，F x(1，1，1)=2，f y(1，1，1)=-1若方程 F(x，y，z)=0 确定隐函数 z=z(x，y)，且 zx(1，1)=1，则 zy(1，1)=
14、A1 B-1 C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 将隐函数方程 F(x，y，z(x，y)=0 两边求一阶全微分可得0=Fxdx+Fydy+Fz(zxdx+zydy)=(Fx+zxFz)dx+(Fy+zyFz)dy利用 F(1，1，1)=0，F x(1，1，1)=2 以及 Fy(1，1，1)=-1，在点(x，y，z(x，y)=(1，1，1)处就有0=2+Fx(1，1，1)dx+-1+z y(1，1)F z(1，1，1)dy于是 Fz(1，1，1)=-2 且 zy(1，1)F z(1，1，1)=1，从而有*应选(D)3.设在全平面上有 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：
15、解析 由*可得到当 y固定时 f(x，y)对 x单调下降由*可得到 x固定时 f(x，y)对 y单调递增于是当 x 1x 2时 f(x1，y 1)f(x 2，y 1)又当 y 1y 2时 f(x2，y 1)f(x 2，y 2)因此当 x1x 2，且 y1y 2时 f(x1，y 1)f(x 2，y 1)f(x 2，y 2)故应选(C)4.设 f(x，y)=x 3-4x2+2xy-y2，则, A.点(0，0)是 f(x，y)的极大值点 B.点(2，2)是 f(x，y)的极小值点 C.点(2，2)是 f(x，y)的极大值点 D.点(0，0)是 f(x，y)的驻点，但不是极值点（分数：2.00）A.
16、B.C.D.解析：解析 由于*的解为(0，0)，(2，2)又因为 A=f“xx=6x-8，B=f“ xy=2，C=f“ yy=-2，在点(2，2)处 A=4，B 2-AC0，所以点(2，2)不是极值点；在点(0，0)处 A=-8，B 2-AC0，且 A0，所以点(0，0)是极大值点，应选(A)评注 本题考查一个二元函数在两个偏导数存在条件下取得极值的必要条件和充分条件5.设函数 f(x，y)在点(0，0)某邻域内连续，且 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 设函数 f(x，y)在点(0，0)的某空心邻域中满足*即f(x，y)=-4x 2+y2-x4-x2y2-y4不难求得fx(0，
17、0)=f y(0，0)=0，f“xx(0，0)=-8，f“xy(0，0)=0，f“ yy(0，0)=2于是点(0，0)是函数 f(x，y)的一个驻点，且 A=f“xx(0，0)=-8，B=f“ xy(0，0)=0，C=f“ yy(0，0)=2 满足B2-AC=160，故点(0，0)不是函数 f(x，y)的极值点评注 在求解选择题时可利用满足全部题设条件的特例来确定正确的选项本题所选的函数 f(x，y)正是满足本题全部假设条件的一个特例这类题目的一般解法是利用极限的充分必要条件来给出函数 f(x，y)的一般表达式，然后进行分析具体作法如下：首先由题设的极限等式与反证法可知 f(0，0)=0，其次
18、由极限存在的充分必要条件知存在满足，*的函数 g(x，y)使得*由*知存在 01 使得当*时*，从而这时必有*这表明 f(0，0)=0 不是 f(x，y)的极值点6.函数 z=x2+y2-6x+8y在圆域 x2+y2100 上的最大值与最小值分别是 A.200，-25 B.180，0 C.205，-15 D.190，10（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 *令 *得*点(3，-4)在圆域内，且 z(3，-4)=-25函数在圆域的边界线 x2+y2=100上的极值问题实际上是函数 z=x2+y2-6x+8y在满足条件 x2+y2=100下的极值问题可用拉格朗日乘数法求解作拉格朗日函数
19、F(x，y，)=x 2+y2-6x+8y+(x 2+y2-100)，并令*有 *解得 *于是得到函数在约束条件下可能的极值点分别是(6，-8)与(-6，8)计算 z(6，-8)=0，z(-6，8)=200由比较可知最大值 max0，200，-25=200；最小值 min0，200，-25=-25评注 (1)设函数 z=f(x，y)在有界闭区域 D上连续求其在 D上的最大值或最小值的步骤如下：求出函数 z=f(x，y)在 D内的所有驻点处或至少一个偏导数不存在的点处的函数值设 D是由边界曲线 Fi(x，y)=0(i=1，2，n)所围成，求出函数 z=f(x，y)分别在约束条件 Fi(x，y)=0
20、(i=1，2，n)下的所有可能的驻点，并计算出其函数值比较，两组中已计算出的函数值，其中最大者就是函数 z=f(x，y)在 D上的最大值，最小者就是函数 z=f(x，y)在 D上的最小值(2)条件极值应用问题的求解方法条件极值应用问题的求解常用拉格朗日乘数法例如，求函数 z=f(x，y)在约束条件*(x，y)=0 之下的条件极值的程序为：引入拉格朗日函数 F(x，y，)=f(x，y)+*(x，y)求拉格朗日函数 F(x，y，)的驻点，即解方程组*在考研试题中通常是条件最大值或最小值的应用问题，常由问题的实际意义可知存在最大值或最小值若驻点唯一即为所求又如，求函数 u=f(x，y，z)在约束条件
21、*(x，y，z)=0 与*(x，y，2)=0 之下的条件极值的程序为：引入拉格朗日函数 F(x，y，z，)=f(x，y，z)+*(x，y，z)+*(x，y，z)求拉格朗日函数 F(x，y，z，)的驻点，即解方程组*判定各驻点是否为最大、小极值点7.某产品的产量 Q与原材料 A，B，C 的数量 x，y，z(单位均为吨)满足 Q=0.05xyz，已知 A，B，C 的价格分别是 3，2，4(百元)若用 5400元购买 A，B，C 三种原材料，则使产量最大的 A，B，C 的采购量分别为： A.6，9，45(吨) B.2，4，8(吨) C.2，3，6(吨) D.2，2，2(吨)（分数：2.00）A. B
22、.C.D.解析：解析 求 Q=0.05xyz在 3x+2y+4z=54条件下极值问题 令 F(x，y，z，)=0.05xyz+(3x+2y+4z-54) * 由，*，所以* 由，*，所以* 代入有 3x+3x+3x=54，即 9x=54*x=6，y=9，z=4.5应选(A)8.若平顶的长方体库房(如图)的屋顶与四面墙壁面积之和 S=108平方米，则该库房的最大容积为（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 当库房的高度为 z(米)，墙壁的长度分别为 x(米)与 y(米)时其容积为 V=xyz(立方米)，而其屋顶与墙壁的面积之和 xy+2xz+2yz=108(平方米)由题目要求知应求函数
23、V=xyz在约束条件xy+2xz+2yz-108=0之下的最大值 作拉格朗日函数 F(x，y，z，)=xyz+(zy+2xz+2yz-108)，为求F(x，y，z，)的驻点，令 * 从前面三个方程消去 (注意当 =0 时只有解 x=y=z=0，不符合要求)可得 * 代入第四个方程可得出唯一驻点 x=y=6(米)，z=3 米 因实际库房必有最大容积，且驻点唯一，故计算结果表明当 x=y=6(米)且 z=3(米)时库房容积 V最大，且最大容积为 108(立方米)，应选(D) *9.设商品的需求函数为 (0p8)其中 Q，P 分别表示需求量和价格，令 为商品需求弹性，即（分数：2.00）A.B.C.
24、D. 解析：解析 由题意：*，因为 0p8 时，有*，所以*，解之得 0p5故应选(D)10.已知边际收益函数 ，其中常数 a0，b0，k0，则需求函数 Q=Q(p)的表达式为 A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 设总收益函数为 R=R(Q)，则 R(0)=0，且边际收益函数 MR=*=*-k，于是 * 又因 R(Q)=pQ，从而*故应选(A)11.设函数 f(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，h(x)具有连续的导函数，且 h(0)=0，h(0)=1，区域DR=(x，y)|x 2+y2R 2，则 =Af(0，0) B C （分数：2.00）A.B.C.D. 解析
25、：解析 由二重积分的性质知，当 R0 且充分小时存在(，)D R使得*=*，故*记 R2=r，利用洛必达法则与 h(x)的性质可得*于是*，故应选(D)12.交换积分次序，则累次积分 = A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 设*，由累次积分限，可得二重积分的积分区域 D=(x，y)|0x2，0yx 2)=(x，y)|0y4，*x2)，然后再交换积分次序即得(A)13.设 D是由直线 x=-1，y=1 与曲线 y=x3围成的平面区域，D 1是 D在第一象限的部分，则 等于ABC （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 本题中的积分区域 D关于坐标轴不对称，但添
26、加辅助线可将区域 D分割成分别关于 x轴或y轴对称的四个区域作曲线 y=-x3，x0，则 D被分割成 D1，D 2，D 3，D 4四个小区域，其中 D1与 D2关于y轴对称，D 3与 D4关于 x轴对称，(如图)，从而*又利用函数 xy关于 x或 y都是奇函数就有*类似利用函数 ex2siny关于 x是偶函数，关于 y是奇函数又有*故应选(B)*14.在极坐标系(r，)中，圆 r=1之外和圆 之内的公共部分 D的面积 S等于 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 由圆 x2+y2=1与 x2+y2=*所围的平面图形是 D，如图中的阴影部分所示从而设x=rcos，y=r
27、sin，在极坐标系(r，)中，D 的边界交点的极坐标满足*，即*区域 D被 x轴分为上、下对称的两个分区域，故 S=*应选(D)*15.设 m，n 为正整数，则 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 积分区域 D=(x，y)|x 2+y21关于 x轴与 y轴都对称，从而只要 xn或 ym中有一个是奇函数积分就一定是零，反之，若 m与 n都是偶数，则积分必不为零这表明 m与 n中至少有一个是奇数乃是积分为零的充分必要条件评注 注意 m与 n都是奇数是积分为零的充分条件，但并非必要条件故不应选(B)。16.设 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 在同一积分区域上比较积分大小，
28、只要比较被积函数取值的大小，由题目知被积函数为*的方幂，因此关键看*是否小于或大于 1，如图所示：*，从而有*，从而又有 I1I 2I 3故选(A)17.设积分区域 D=(x，y)|x 2+y21)；D 1=(x，y)|x 2+y21，x0，y0)在如下的四个等式 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 由积分区域 D分别关于 x轴，y 轴对称，而被积函数 xy分别关于 x，y 都是奇函数即知不成立故应选(C)18.在平面直角坐标系 Oxy中，区域 D由 x轴，y 轴以及直线 ，x+y=1 围成，若 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 在区域 D内*成立，所以在 D内有 l
29、n(x+y)0sin(x+y)x+y 从而* 即应选(C)19.若 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 直接由题设知积分区域 D的极坐标表示为：*，从而 r2=x2+y2arcos=ax，即 D=(x，y)|x 2+y2ax)故应选(B)20.设 x=rcos，y=rsin，则极坐标系(r，)中的累次积分 ，rsin)dr 可化为直角坐标系(x，y)中的累次积分 A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 设累次积分*在直角坐标系 xOy中对应于二重积分*，由于在极坐标系(r，)中d=rdrd 以及*，从而可得*，而积分区域 D在极坐标系(r，)中对应的不等式表
30、示是(r，)|0*，*，由于 =0 对应于 x轴的正半轴，*对应于 y轴的正半轴，*对应于直线 x+y=1即y=1-x，而 r=1对应于圆 x2+y2=1，由此可见积分区域 D如图，其不等式表示为 D=(x，y)|0x1，*，故题设的累次积分可化为直角坐标系 xOy中的累次积分为*，即应选(B)21.设平面区域 D=(x，y)|x 2+y21，y0)；D 1=(x，y)|x 2+y21，x0，y0，则ABCD （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 积分区域 D关于 y轴对称，被积函数|x|关于 x为偶函数，故 * 评注 (A)，(B)的左端* 右端*，从而不可选(A)或(B) (D)
31、也是错误的，这是因为* 而*22.的值为 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 直接计算内层积分比较麻烦，应先将累次积分表成*，并求出 D，然后交换积分顺序显然 D=(x，y)|yx1，0y1=(x，y)|0yx，0x1 所以* * 应选(D)23.设积分区域 D=(X，y)|x|+|y|1)，则二重积分 的值等于 A1 B C2 D（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 由于*而其中后三个二重积分中的被积函数分别是关于 x或关于 y的奇函数，且积分区域 D分别关于 y轴或 x轴对称，如图*故后三个二重积分的积分值都是零在第一个二重积分中被积函数 1-|x|-
32、|y|分别关于 x或 y是偶函数，利用积分区域 D分别关于 x轴与 y轴的对称性可得原二重积分*其中 D1是区域 D在第一象限部分，即 D1=(x，y)|x0，y0，x+y1)=(x，y)|0x1，0y1-x)，故*即应选(D)24.设积分区域 D是由直线 y=z与曲线 y2=x围成，则 =A B- C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 由题设知 D=(x，y)|0y1，y 2xy)，如图*从而*故应选(C)25.设积分区域 D=(x，y)|x|1，|y|1，x 2+y2x)，则 =A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 因 D=D1-D2，且D1=(
33、x，y)|x|1，|y|1，D2=(x，y)|x 2+y2x，于是*由于|xy|对于 x或 y都是偶函数，D 1关于 x轴或 y轴都对称，从而|xy|在 D1上的积分可化简为区域 D1在第一象限部分(x，y)|0x1，0y1)上的积分的四倍，即*由于|xy|对于 y是偶函数，D 2关于 x轴对称，从而|xy|在 D2上的积分可化简为区域 D2在第一象限部分(x，y)|x 2+y2x，y0)上的积分的两倍，令 x=rcos，y=rsin 引入极坐标，则有*故 *应选(B)*26.如图，设平面区域 D=(x，y)|y0，x 2+y24x，x 2+y22x)被直线 y=x分成面积较大与面积较小的两个
34、部分区域 D1与 D2，则 D1与 D2的面积之比等于ABCD （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 设 D1与 D2的面积分别为 S1与 S2，则 S1+S2=*设 x=rcos，y=rsin，在极坐标系(r，)中 D=(r，)|0*，2cosr4cos，故*又因直线 y=x在第一象限部分的极坐标方程是*，从而*故*即应选(A)27.设积分区域 D是正方形(x，y)|0x1，0y1)，则二重积 = A B CD （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 如图，用直线 y=x把积分区域 D分成两个部分区域 D1与 D2令 x=rcos，y=rsin 引入极坐标系(r，)，在极坐
35、标系中直线 y=x对应*，直线 x=1对应*，直线 y=1对应 r=*，从而 D1与D2的极坐标表示分别是*故*令*，可得*，从而*代入即得*28.设积分区域 D由曲线 x2+y2=x+y围成，则 =A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 由于*=*，因而积分区域*，如图，令*作坐标系的平移，则积分区域 D可表示为D1=(u，v)|u 2+v2*)于是*注意 D1分别关于直线 u=0，直线 v=0对称，而*v 与 u分别是关于 v或 u的奇函数，故 *于是*倍积分区域 D1的面积=*即应选(B)*29.设积分区域 D=(x，y)|-1x1，-1y1)，则二重积分 = A
36、 B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 用直线 x+y=0把区域 D分割成关于直线 x+y=0对称的两个部分区域 D+=(x，y)|(x，y)D且 x+y0=(x，y)|-1x1，-xy1)与 D-=(x，y)|(x，y)D 且 x+y0=(x，y)|-1x1，-1y-x，如图*由于被积函数*从而用分块积分法可得*分别计算 I+与 I-可得*代入即知 *应选(C)评注 由于积分区域 D关于直线 x+y=0对称，而被积函数 f(x，y)=|x+y|是关于 x+y的偶函数，所以直接可得*30.设无界区域 D=(x，y)|1x+，xy+)，则 = A1 B C D（分数：2.0
37、0）A.B. C.D.解析：解析 设 t1 且有界区域 D(t)=D(yt)，即 D(t)=(x，y)|1xt，xyt)，从而当t+时 D(t)D计算可得 * 从而* 即应选(B) *31.设 D是无界区域(x，y)|x0，y0，则 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 设 t0，D(t)是有界区域(x，y)|x0，y0，x+yt)，易见当 t+时有界区域 D(t)趋向无界区域 D=(x，y)|x0，y0又因作换元 x+y=u可得 * 即应选(C) *32.设 f(x，y)为连续函数，且 D=(x，y)|x 2+y2t 2，则 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 因被积函
38、数 f(x，y)在闭区域 D=(x，y)|x 2+y2t 2)上是抽象函数，故无法用先求出二重积分的方法去求极限，因此考虑用中值定理先去掉积分号再求极限因为 f(x，y)在 D上连续，由积分中值定理可知，在 D上至少存在一点(，)使*因为(，)D，所以当 t0 +时(，)(0，0)于是*应选(A)33.设 f(u)为可微函数且 f(0)=0，则 等于 Af(0) B C （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 由于 t0，故*，而利用洛必达法则可得 * 故应选(B)34.设级数 条件收敛，则 A级数 与级数 都收敛 B级数 与级数 都发散 C级数 收敛而级数 发散 D级数 发散而级数
39、（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 由级数*条件收敛知级数*发散，即级数*收敛但*发散再按级数的运算即知级数*都发散即应选(B)35.设 un0(n=1，2，3，)且交错级数 条件收敛，则A存在自数数 n0，使得当 nn 0时 un+1u n成立B 收敛C 发散D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 分别考虑交错级数*的正项组成的级数*与其余各项组成的级数*，注意*也是正项级数这两个级数的敛散性共有四种可能性：*与*均收敛，*均发散，*收敛而*发散，*发散而*收敛肯定是错误的，因为在之下可知正项级数*收敛，这与交错级数*条件收敛矛盾与也是错误的，以为例来说明，读者自己讨
40、论由*收敛即知其部分和Tn=u1+u3+u5+u2n-1T(n)由*发散及 u2n0 即知Wn=u2+u4+u6+u2n+(n)于是交错级数*的前 2n项的部分和S2n=u1-u2+u3-u4+u2n-1-u2n=Tn-Wn-(n)所得结果与*条件收敛矛盾36.现有关于级数的如下四个结论：若 an0 且 1(n=1，2，3，)则 收敛若 ，则 发散若 收敛，则 收敛设 an0(n=1，2，3，)且极限 存在，又 收敛，则 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 正确因为*，从而存在自然数 N，使得当 nN 时有*，由此可见当 nN 时 an同号，不妨设 an0(nN)这样就有 an+1
41、a n(nN)于是*，故*发散正确因为 an0 且*，于是 只有两种可能性，其一是 0，即*由正项级数比较判别法的极限形式与调和级数发散可知*发散，这与*收敛矛盾从而只能是第二种可能性 =0，即得*不正确例如：*(n=1，2，)满足*但*发散不正确例如：设 an=(-1)n-1(n=1，2，)，于是*+(-1) 2n-1=*收敛，但*显然发散37.在关于级数的如下四个结论：若 和 都收敛，则 收敛若 收敛，则 与 都收敛若正项级数 发散，则 若级数 收敛，且 unv n(n=1，2，)，则级数 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 1 由于级数*都收敛，可见级数*收敛由不等式 2|u
42、nvn|*及比较判别法知级数*收敛，从而*收敛又因*，即级数*收敛，故应选(A)解析 2 设*，v n=1(n=1，2，)，则可知(B)不正确设*(n=1，2，)，则可知(C)不正确设*(n=1，2，)，则可知(D)不正确评注 在本题中命题(D)“若级数*收敛，且 unv n(n=1，2，)，则级数*也收敛”不正确，这表明：比较判别法(将一个级数与另一级数作比较)虽然适用于正项级数收敛(或级数绝对收敛)的判别，但对任意项级数一般是不适用的这是任意项级数与正项级数收敛性判别中的一个根本区别但对一般项级数有如下判别法：若 Unu nW n(n=1，2，)，又级数*均收敛，则级数*必收敛38.若级数
43、 收敛，则 A级数 中一个收敛，一个发散 B级数 要么都收敛，要么都发散 C级数 均收敛 D级数 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 若级数*中有一个收敛一个发散，则级数*一定发散所以应选(B) 评注 *收敛只是*收敛的充分条件但不是必要的所以(D)是错误的。当*都发散时也有可能级数*收敛，例如*发散，*发散，但级数*是收敛的39.在条件级数 绝对收敛 级数 条件收敛级数 绝对收敛 级数 条件收敛中能保证级数 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 由级数收敛的比较判别法知当级数*绝对收敛时级数*必收敛原医在于当*绝对收敛时必有*，从而由*当 n充分大时成立与比较判别法即知
44、*收敛 令*，则级数*条件收敛，但*发散 令*，则级数*条件收敛，但*发散 令*，则级数*级对收敛，但*发散 根据上述讨论即知应选(A)40.若级数 收敛，则 A 必收敛 B 未必收敛 C 必发散 D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 设 an=(-1)n，显然*收敛，但*发散，且*又设 an=*，显然也有*收敛，且*收敛所以*既可以是发散的也可以是收敛的，故选(B)评注 此题若改为*收敛且 an0 或*收敛且*=0 则应选(A)41.设对 n=1，2，3，总有不等式 anb nc n，则A若 与 都收敛，则必有 收敛B若 与 都发散，则必有 发散CD仅由级数 与 的敛散性未必能判定级数 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 由于不明确 an，b n，c n的符号，不能用比较法来判断，需要化为正项级数形式作比较
