1、考研数学三-143 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)是(-，+)内的以 T 为周期的连续奇函数，则下列函数中不是周期函数的是_A BC D （分数：4.00）A.B.C.D.2.若直线 y=x 与对数曲线 y=logax 相切，则 a=_Ae B1/e Ce e De e-1（分数：4.00）A.B.C.D.3.设 f(x)g(x)在点 x=0 的某邻域内连续，且 f(x)具有一阶连续导数，满足 ， （分数：4.00）A.B.C.D.4.计算二重积分 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设四阶行列式 （分数：4.
2、00）A.B.C.D.6.设 A 是四阶方阵，A *是 A 的伴随矩阵，其特征值为 1，-1，2，4，则下列矩阵中为可逆矩阵的是_AA-E B2A-E CA+2E DA-4E（分数：4.00）A.B.C.D.7.已知随机变量(X，Y)的联合密度函数为（分数：4.00）A.B.C.D.8.设 X1，X 2，X n，是相互独立的随机变量序列，Xn 服从参数为 n(n=1，2，)的指数分布，则下列不服从切比雪夫大数定律的随机变量序列是_AX 1，X 2，X n， BX 1，2 2X2，n 2Xn，CX 1，X 2/2，X n/n， DX 1，2X 2，nX n，（分数：4.00）A.B.C.D.二、
3、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.f(x)= （分数：4.00）填空项 1:_10. （分数：4.00）填空项 1:_11. （分数：4.00）填空项 1:_12.微分方程 xdy=y(xy-1)dx 的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_13.设 A，B 均为四阶方阵，r(A)3，r(B)4，其伴随矩阵分别为 A*，B *，则 r(A*B*)=_（分数：4.00）填空项 1:_14.设随机变量 ， ，且协方差 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.证明方程 xe2x-2x-cosx+x2/2=0 有且仅有两个根（分数：10.00）_16.
4、已知 f(x)=arctan(x-1)2，且 f(0)=0，求 （分数：10.00）_17.求微分方程y“-3y-4y=(10x-7)e-x+34sinx 的通解（分数：10.00）_18.已知函数 z=u(x，y)e ax+by，且 =0，试确定常数 a，b，使函数 z=z(x，y)能满足方程（分数：10.00）_19.求级数 （分数：10.00）_20.设 （分数：11.00）_设二次型满足 =2，AB=O，其中 （分数：11.00）(1).用正交变换化二次型为标准形，并求所作的正交变换（分数：5.50）_21.设钢管内径 X 服从正态分布 N(， 2)，规定内径在 98 到 102 之间
5、的为合格品；超过 102 的为废品，不是 98 的为次品已知该批产品的次品率为 15.9%，内径超过 101 的产品在总产品中占 2.28%，求整批产品的合格率（分数：11.00）_22.已知总体 X 的概率密度函数为（分数：11.00）_考研数学三-143 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)是(-，+)内的以 T 为周期的连续奇函数，则下列函数中不是周期函数的是_A BC D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 因 f(x)是周期为 T 的连续周期奇函数，则其原函数也是周期函数据此，可知 A、B、C 中的
6、函数都是周期函数但 D 中变项积分不是 f(x)的原函数，因而不是周期函数解一 D 中函数不是周期函数事实上，令 (x)= ，则(因 tf(t)为偶函数)，而故 D 中函数不是周期函数解二 下证 A、B、C 中函数均是周期函数对于 A，令 g(x)= ，则对于 B，令 h(x)= ，则而故 h(x)=h(x+T)同法可证 与2.若直线 y=x 与对数曲线 y=logax 相切，则 a=_Ae B1/e Ce e De e-1（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 两曲线相切即两曲线相交且相切，而两曲线相切就是在切点导数值相等，相交就是在交点(切点)其函数值相等据此可建立两个方程求解未知
7、参数由 y=1= 得到 x= ，则切点为(x，y)= 该点，也在曲线 y=logax 上，于是有，即 ，故 =e，即3.设 f(x)g(x)在点 x=0 的某邻域内连续，且 f(x)具有一阶连续导数，满足 ， （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由 f(x)的表示式易知 f(0)=0，为判定选项的正确性，只需考察 f“(0)的符号的有关情况，为此计算 ，看其是否等于非零常数由 f(x)= ，有 f“(x)=-4x+g(x)，则4.计算二重积分 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 由所给的二次积分易求出其积分区域如下图所示由于积分区域为圆域的一部分，且被积函数又为 f(x
8、2+y2)，应使用极坐标求此二重积分所给曲线为(y+1) 2+x2=1 的上半圆周，区域 D 如上图所示，其直角坐标方程为(y+1)2+x21，即 y2+x2-2y，将 x=rcos，y=rsin 代入得到极坐标系下的方程r2-2rsin，即 r-2sin于是 D=(r，)|-/40，0r-2sin，则5.设四阶行列式 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 利用代数余子式的性质求之将行列式 D 的第 3 列元素换为 1，1，1，1，则6.设 A 是四阶方阵，A *是 A 的伴随矩阵，其特征值为 1，-1，2，4，则下列矩阵中为可逆矩阵的是_AA-E B2A-E CA+2E DA-4E
9、（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 利用矩阵行列式与其矩阵特征值的关系：|A|= 1 2 n判别之，其中 i为 A 的特征值解一 设 A*的特征值为 ，则=1， =-1， =2， =4，于是|A *|=1(-1)24=-8因而|A| 4-1=|A*|，故|A| 3=-8，即|A|=-2，所以 A 的特征值为7.已知随机变量(X，Y)的联合密度函数为（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 先找出有实根的 X 与 Y 所满足的条件，再在此条件范围内求出其概率因二次方程 t2-2Xt+Y=0 有实根的充要条件为4X2-4Y0，即 X2Y，如下图所示，故所求概率为仅 B 入选8.设
10、 X1，X 2，X n，是相互独立的随机变量序列，Xn 服从参数为 n(n=1，2，)的指数分布，则下列不服从切比雪夫大数定律的随机变量序列是_AX 1，X 2，X n， BX 1，2 2X2，n 2Xn，CX 1，X 2/2，X n/n， DX 1，2X 2，nX n，（分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 根据切比雪夫大数定律所要求的条件判别切比雪夫大数定律要求三个条件：首先是要求 X1，X 2，X n相互独立；其次是要求 Xn(n=1，2，)的期望和方差都存在；最后还要求方差一致有界，即对任何正整数 n，D(X n)L，其中 L 是与 n 无关的一个常数题中四个随机变量序列显然全
11、满足前两个条件，由于对于 A，有 ；对于 B，有对于 C，有对于 D，有二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.f(x)= （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：6）解析：解析 可用下述结论观察求出，也可利用 n 阶无穷小定义求出当 f(x)连续且 xa 时，f(x)是 xa 的 n 阶无穷小量，g(x)是 x-a 的 m 阶无穷小量，则当 xa 时，必为 x-a 的 n+1 阶无穷小量， 必为 x-a 的(n+1)m 阶无穷小量解一 因 sinx2是 x-0=x 的 2 阶无穷小量，1-cosxx 2/2 为 x 的 2 阶无穷小量，则 x0 时， 为 x 的(2+1)2=6
12、阶无穷小量，即 n=6解二 10. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 分段积分，且作变量代换求之原式= (第二式中令 x=-t)11. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 积分区域为圆域的一部分，被积函数又为 f(x2+y2)的形式，应用极坐标系计算所给二次积分的积分区域为D=(x，y)|yx ，0y )它为圆域 x2+y2a 2在第一象限的 1/2，即D=(r，)|0ra，0x/4应改换为极坐标系计算：12.微分方程 xdy=y(xy-1)dx 的通解为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 所给方程化为全微分方程
13、而解之此方程可化为xdy+ydx=xy2dx，两边乘以 得到，即 ，故得 =0，所以 =C，从而 y=13.设 A，B 均为四阶方阵，r(A)3，r(B)4，其伴随矩阵分别为 A*，B *，则 r(A*B*)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析 分别求出 r(A*)，r(B *)如果 r(B*)为满秩矩阵，则 r(A*B*)=r(A*)因 r(A)=3，故 r(A*)=1(因当 r(A)=n-1 时，r(A *)=1)又 r(B)=4，故 r(B*)=4(因 r(B)=n，则 r(B*)=72)，即 B*为满秩矩阵，于是r(A*B*)=r(A*)=114.设随机变量
14、 ， ，且协方差 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：解析 由 X，Y 所服从的分布即知E(X)=3/4，E(Y)=1/2，且 E(XY)=P(X=1，Y=1)今又已知 cov(X，Y)=1/8，从而可由cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=1/8求出 E(XY)=P(X=1，Y=1)=1/2有了这个数据，就可利用联合分布与边缘分布的关系求出其联合分布由题设易知，E(X)= ，E(Y)= ，又cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=E(XY)- ，故 E(XY)= ，由于 XY 仅取 0 与 1 两个值，F(XY)=1P(XY=1)=P(X=1，Y=1)=
15、 ，再根据联合分布与边缘分布的关系，即可求出 X 与 Y 的联合分布事实上由 p12+p22-p12+1/2=1/2，得到 p12=0由p11+p12=p11+0=1/4，即得 p11=1/4.又由 p11+p21=1/4+p21=1/2，得到 p21=1/4.于是得到其联合分布为三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.证明方程 xe2x-2x-cosx+x2/2=0 有且仅有两个根（分数：10.00）_正确答案：(证明 令 f(x)=xe2x-2x-cosx+x2/2，则 f(x)为连续函数，且f(-1)=-e-2+2-cos1+1/2=1-e-2+1-cos1+1/20，f(0)=
16、-10，f(1)=e2-2-cos1+1/20根据零点定理知，f(x)=0 在(-1，1)内有两个实根下证 f(x)=0 在(-1，1)内不可能有三个根事实上，如果 f(x)在(-1，1)内有三个实根，不妨设为x1，x 2，x 3，则f(x1)=f(x2)=f(x3)由于 f(x)二阶可导，故存在 (x 1，x 2)使 f“()=0，但这是不可能的这是因为f(x)=e2x(1+2x)-2+sinx+x，f“(x)=4e2x(1+x)+cosx+10，x(-1，1)此外当 x-1 时，f(x)0，当 x1 时，f(x)0，而 f(-1)0，f(1)0，故函数 f(x)在区间(-，-1)内单调减少
17、且 f(x)0；在(1，+)内 f(x)单调增加，且 f(x)0，故在(-，-1)内及在(1，+)内f(x)不可能有根，因而 f(x)=0 仅有两根)解析：解析 为证题设方程有两个根，需在两个区间利用零点定理，为此要找出三点，函数 f(x)=xe2x-2x-cosx+=x2x/2 在此三点相继反号为证 f(x)=0 仅有两根，还要利用 f(x)的单调性16.已知 f(x)=arctan(x-1)2，且 f(0)=0，求 （分数：10.00）_正确答案：(分部积分两次得)解析：解析 已知被积函数的导数，常用分部积分法求其积分的值17.求微分方程y“-3y-4y=(10x-7)e-x+34sinx
18、 的通解（分数：10.00）_正确答案：(齐次方程 y“-3y-4y=0 的特征方程为 2-3-4=0，由此求得特征根 1=4， 2=-1对应齐次方程的通解为Y=C1e4x+C2e-x则 f1(x)=(10x-7)e-x的特解形式为=x(A+Bx)e-x=(Ax+Bx2)e-x，f2(x)=34sinx 的特解形式为=Csinx+Dcosx于是由叠加原理知，非齐次方程的特解为)解析：解析 利用二阶非齐次线性方程解的叠加原理求之设 与 分别是方程y“+p(x)y+q(x)y=f1(x)与 y“+p(x)y+q(x)y=f2(x)的特解，则y*(x)=18.已知函数 z=u(x，y)e ax+by
19、，且 =0，试确定常数 a，b，使函数 z=z(x，y)能满足方程（分数：10.00）_正确答案：( ，代入方程的左边得到为使方程即 )解析：解析 按二元复合函数的求导法则，先求出 及19.求级数 （分数：10.00）_正确答案：( ，即原给级数的收敛域为(-，+)，令，-x+在其两端积分得到再两边求导，得)解析：解析 对幂级数求其函数，尽量通过逐项求导或积分将其转化为知其和函数的幂级数20.设 （分数：11.00）_正确答案：( 当|A|=(1+k)(4-k)0 即 k-1，4 时，r( )=r(A)=3，方程组有唯一解，且由克拉默法则易求得唯一解为当 k=-1 时，方程组为此时， 因 r(
20、A)=2r( )=3，故方程组无解当 k=4 时，方程组为因 r( )解析：解析 使用初等行变换将其增广矩阵化为行阶梯形矩阵，分别讨论 k 取何值时，r( )r(A)，r( )=r(A)=3，r(设二次型满足 =2，AB=O，其中 （分数：11.00）(1).用正交变换化二次型为标准形，并求所作的正交变换（分数：5.50）_正确答案：(由 AB=O 即知 B 中三个列向量均为 A 的属于零特征值的特征向量事实上，设 B= 1， 2， 3，则 A i=0(i=1，2，3)显然 1， 2线性无关，且 3- 1+ 2，故 1=0 至少是二重特征值又因故 1= 2=0， 3=2设对应于 3=2 的特征
21、向量为 3=x1，x 2，x 3T，则 1与 3， 2与 3正交，于是有由 知，该方程组的基础解系为-1/2，-1/2，1 T为方便计，取 3=1，1，-2 T注意到 1， 2， 3两两正交，只需单位化，则 Q= 1， 2， 3为正交矩阵，作正交变换 X=QY，则f=XTAX=(QY)TA(QT)=YT(QTAQ)y= )解析：_正确答案：(由 QTAQ=Q-1AQ= ，得到)解析：解析 为解决问题(1)与(2)需先求出 A 的特征值、特征向量因 A 为抽象矩阵，故只能由定义及其性质求之21.设钢管内径 X 服从正态分布 N(， 2)，规定内径在 98 到 102 之间的为合格品；超过 102
22、 的为废品，不是 98 的为次品已知该批产品的次品率为 15.9%，内径超过 101 的产品在总产品中占 2.28%，求整批产品的合格率（分数：11.00）_正确答案：(要求产品合格率，即要计算 P(98X102)，而计算正态分布随机变量取值的概率，需要已知分布参数 与 2为此，应先根据条件确定 与 2的值依题意知P(X98)=0.159，P(X101)=0.0228，0.159=P(X98)=P(X98)= ，0.0228=P(X101)=1-P(X101)= ，根据式与式，查正态分布表可得关于 与 的二元方程组：解得 )解析：解析 求正态分布随机变量满足一定条件的概率，一般都应先标准化利用标准正态分布求概率或建立未知参数的函数关系，这是常用的方法与技巧要计算 P(98X102)，必标准化，要标准化必须知道参数 和 2为此，先利用题设条件求出 与 2的值22.已知总体 X 的概率密度函数为（分数：11.00）_正确答案：( ，令 E(X)= ，即 ，解得 而，故 的矩估计值为(2)极大似然函数为L= ，lnL=nln(+1)+ln(x 1x2xn)， ，令 =0，解出 ，则所求的极大似然估计值为)解析：解析 先求出 E(X)及样本均值 ，再用 代替 E(X)，解出参数 即可求出 的矩估计值按极大似然估计的一般求法求出
