1、考研数学三-142 及答案解析(总分：149.99，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设矩阵 则下列矩阵中与 A 相似的为( )（分数：4.00）A.B.C.D.2.设 f(x，y)为连续函数，则使 （分数：4.00）_3.设 A，B，C 为 3 个随机事件，且 A，B 相互独立，则下列命题中不正确的是( )（分数：4.00）A.若 P()=1，则 AC 与 BC 独立B.若 P()=1，则 AC 与 B 独立C.若 P()=1，则 A-C 与 A 独立D.若 C4.设二维随机变量(X，Y)服从 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A，B 均为 n 阶矩
2、阵，且(AB) 2=E，则下列命题中不正确的是( )（分数：4.00）A.(BA)2=EB.A-1=BC.r()=r()D.A-1=BAB6.设在全平面上有 （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 f(x)为微分方程 y=xy=g(x)满足 y(0)=1 的解，而 （分数：4.00）A.B.C.D.8.下列命题正确的是( )（分数：4.00）A.设 f(x)为有界函数，且 lim(x)f(x)=0，则 lim(x)=0B.设 (x)为无穷小量，且C.设 (x)为无穷大量，且 lim(x)(x)=a，则 lim(x)=0D.设 (x)为无界函数，且 limf(x)(x)=0，则 limf(x)
3、=0二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.由拉格朗日中值定理有 ex-1=xex(x) ，其中 0(x)1，则 （分数：4.00）填空项 1:_10.设 z=xf(u)+g(u)， 且 f(u)及 g(u)二阶可导，则 （分数：4.00）填空项 1:_11.设 y=f(x)二阶可导，且 （分数：4.00）填空项 1:_12.设函数 f(x)和 g(x)在 x=0 处连续，若 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 （分数：4.00）填空项 1:_14.设随机变量 X 服从参数为 1 的 Poisson 分布，随机变量 Y 服从参数为 2 的 Poisson 分布，且 X 与 Y 相互
4、独立，则 P(minX，Y=1)=_。（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.已知 f(x)，g(x)连续可导，且 f(x)=g(x)，g(x)=f(x)+(x)，其中 (x)为某已知连续函数，g(x)满足微分方程 g(x)-xg(x)=cosx+(x)，求不定积分 （分数：10.00）_16.设 (x0)，求 （分数：10.00）_设函数 f(x)在(-L，L)内连续，在 x=0 可导，且 f(0)0。（分数：10.00）(1).求证：对任意给定的 0xL，存在 01，使（分数：5.00）_(2).求极限 （分数：5.00）_设 （分数：9.99）(1
5、).求极限 （分数：3.33）_(2).证明 （分数：3.33）_(3).求和 （分数：3.33）_17.设 a1，b 1是任意取定的实数，令（分数：10.00）_18.已知列向量组 1， 2， s线性无关，列向量组 1， 2， t可由 1， 2， s线性表示，且（分数：11.00）_19.设 （分数：11.00）_设随机变量 X 的概率密度为（分数：11.00）(1).求 Y 的密度函数；（分数：5.50）_(2).计算 Cov(X，Y)。（分数：5.50）_设总体 X 服从均匀分布 U(，2)，其中 未知(0)，X 1，X 2，X n为取自 X 的简单随机样本。（分数：11.00）(1).
6、求 的最大似然估计 （分数：5.50）_(2).计算 E( )与 （分数：5.50）_考研数学三-142 答案解析(总分：149.99，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设矩阵 则下列矩阵中与 A 相似的为( )（分数：4.00）A. B.C.D.解析：详解 A 的特征值为 1= 2=1， 3=2，又 r(E-A)=1，故 A 可对角化，即相似于对角阵*类似讨论可知只有(A)中矩阵可对角化为 A，即与 A 相似，因此选(A)、2.设 f(x，y)为连续函数，则使 （分数：4.00）_解析：分析 如令区域 D=(x，y)|x 2+y21)，D 1=(x，y)|x
7、 2+y21，x，Y0，则等式*可化为*由对称性即可得到结论。详解 设 D=(x，y)|x 2+y21)，D 1=(x，y)|x 2+y21，x，y03.设 A，B，C 为 3 个随机事件，且 A，B 相互独立，则下列命题中不正确的是( )（分数：4.00）A.若 P()=1，则 AC 与 BC 独立B.若 P()=1，则 AC 与 B 独立C.若 P()=1，则 A-C 与 A 独立D.若 C 解析：详解 因为概率为 1 的事件与任一事件独立，故P(ACBC)=P(ABC)=P(AB)P(C)=P(A)P(B)P(C)=P(A)P(B)，P(C)=1P(AC)P(BC)=P(A)P(C)P(
8、B)P(C)=P(A)P(B)，P(C)=1于是 P(ACBC)=P(AC)P(BC)，即 AC 与 BC 独立，即(A)正确，类似可得(B)，(C)正确，所以选(D)。评注 若 A 与 B 独立，则其分别的子事件不一定独立。4.设二维随机变量(X，Y)服从 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：详解 (X，Y)的联合密度为*由重积分的对称性易得 E(X)=0，E(Y)=0，E(XY)=0，从而 Cov(X，Y)=0，故 X 与 y 不相关。5.设 A，B 均为 n 阶矩阵，且(AB) 2=E，则下列命题中不正确的是( )（分数：4.00）A.(BA)2=EB.A-1=B C.r()=r(
9、)D.A-1=BAB解析：详解 由于(AB) 2=E，知 ABAB=E，又因 A，B 均为 n 阶矩阵，故 A，B 均可逆，那么 r(A)=r(B)=n，即(C)正确，且 A-1=BAB，即(D)正确，右乘 A 得知(A)正确：由于(AB) 2=E 不能推出 AB=E，故 A-1=B 不一定正确，例如：*6.设在全平面上有 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 由*可知函数 f(x，y)关于 x 单调减少，关于 y 单调增加。详解 由已知，当 x1x 2时，f(x 1，y 1)f(x 2，x 1)；当 y1y 2时，f(x 2，y 1)f(x 2，y 2)，所以当x1x 2，y 1y
10、 2时，有 f(x1，y 1)f(x 2，y 2)，故应选(C)。评注 本题主要考查偏导函数的意义，多元函数对某自变量的偏导函数大于零，只能得到函数关于该自变量单调增加(其余自变量保持不变)。7.设 f(x)为微分方程 y=xy=g(x)满足 y(0)=1 的解，而 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 利用微分方程可求 f(0)，f“(0)及 f“(0)等，从而确定 x=0 是否为极值点或(0，f(0)是否为拐点。详解 由 y-xy=g(x)，*知 g(0)=0，从而 y(0)=0。又 y“=y+xy+g(x)=y+xy+sinx 2，于是 y“(0)=y(0)=1可见 y=f(x
11、)在点 x=0 处取极小值故应选(B)评注 不一定将微分方程的解求出来，直接利用微分方程的关系式进行分析即可。8.下列命题正确的是( )（分数：4.00）A.设 f(x)为有界函数，且 lim(x)f(x)=0，则 lim(x)=0B.设 (x)为无穷小量，且C.设 (x)为无穷大量，且 lim(x)(x)=a，则 lim(x)=0 D.设 (x)为无界函数，且 limf(x)(x)=0，则 limf(x)=0解析：分析 举反例排除不正确答案即可。详解 对于(A)与(D)可以举反例；(B)显然也不对。例如*则*但 (x)不是无穷小量(x)。*当 x时，(x)为无界函数，f(x)的极限不存在，但
12、*故应选(C)。评注 (C)可用反证法证明：若 lim(x)=k0，则 lim(x)(x)=，与题设矛盾。二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.由拉格朗日中值定理有 ex-1=xex(x) ，其中 0(x)1，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解 由 ex-1=xex(x) ，解出*于是*10.设 z=xf(u)+g(u)， 且 f(u)及 g(u)二阶可导，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：分析 利用复合函数求偏导公式，求出*后再代入表达式中即可。详解 *故*评注 本题为基础题型，要求熟练掌握复合函数的求偏导公式。11.设 y=f
13、(x)二阶可导，且 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：=3）解析：详解 由*令其为零，考虑到 y0，y=3，解得 =312.设函数 f(x)和 g(x)在 x=0 处连续，若 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：分析 本题已知 f(x)在点 x=0 处连续，相当于条件：*详解 由题设，知*即有*于是*=g(0)=0，*评注 本题考查了极限、连续和导数的概念，一般地，若 g(x)在点 x=x0处连续，当 zx 0时，h(x)x-x0，则由*g(x 0)=A。13.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：a=21，b=-20）解析：详解 因*于是，B=A+
14、E，B 3=(A+E)3=A3+3A2+3A+E，而*故 B 3=21A+E=21(B-E)+E=21B-20E，从而得 a=21，b=-2014.设随机变量 X 服从参数为 1 的 Poisson 分布，随机变量 Y 服从参数为 2 的 Poisson 分布，且 X 与 Y 相互独立，则 P(minX，Y=1)=_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：e -1+2e-2-5e-3）解析：详解 由参数为 的 Poisson 分布的分布律*以及 X 与 Y 的独立性得*三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.已知 f(x)，g(x)连续可导，且 f(x)=g(x)，g(x)=f
15、(x)+(x)，其中 (x)为某已知连续函数，g(x)满足微分方程 g(x)-xg(x)=cosx+(x)，求不定积分 （分数：10.00）_正确答案：(*又由 f(x)=g(x)，g(x)=f(x)+(x)，于是有*)解析：分析 从不定积分*的形式，可知应利用分部积分法。评注 本题不必求解微分方程 g(x)-xg(x)=cosx+(x)16.设 (x0)，求 （分数：10.00）_正确答案：(*)解析：设函数 f(x)在(-L，L)内连续，在 x=0 可导，且 f(0)0。（分数：10.00）(1).求证：对任意给定的 0xL，存在 01，使（分数：5.00）_正确答案：(令*则 F(x)在
16、0，x上可微，且 F(0)=0，根据拉格朗日中值定理，存在 01，使 F(x)-F(0)=F(x)x，即*)解析：分析对左端函数在0，x上直接应用拉格朗日中值定理即可，(2).求极限 （分数：5.00）_正确答案：(由(1)中等式得*令 x0 +，两边分别取极限，由于*于是有*由于*)解析：分析 利用(1)的结果，把左端凑成导数定义形式，然后取极限，左端可应用洛必达法则并结合导数的定义求极限。评注 (1)也可用积分中值定理证明：*其中 在 0 与 x 之间，故 =x，01。设 （分数：9.99）(1).求极限 （分数：3.33）_正确答案：(当 0x1 时，*所以有*由*及夹逼准则知*)解析：
17、(2).证明 （分数：3.33）_正确答案：(*)解析：(3).求和 （分数：3.33）_正确答案：(因为*反复利用此公式，得*也即*所以*)解析：17.设 a1，b 1是任意取定的实数，令（分数：10.00）_解析：18.已知列向量组 1， 2， s线性无关，列向量组 1， 2， t可由 1， 2， s线性表示，且（分数：11.00）_正确答案：(由题设，有*=( 1， 2， 3)C，其中矩阵 C 的第 j 列是 j由 1， 2， s线性表示的表示系数(j=1，2，t)。必要性 因为 1， 2， t线性相关，所以存在不全为零的数 x1，x 2，x t，使x1 1+x2 2+xt t=0，记作
18、*其中 x=(x1，x 2，x t)T0，于是有( 1， 2， t)x=( 1， 2， s)Cx=0，因向量组 1， 2， s线性无关，故上式中 1， 2， s的组合系数 Cx 只能为零，即Cx=0又 x0，即上述齐次线性方程组有非零解，因此矩阵 C 的秩 r(C)t。充分性 因为 r(C)t，因此存在 x0，使 Cx=0，因而有( 1， 2， t)x=( 1， 2， s)Cx=( 1， 2， s)0=0，记 x=(x1，x 2，x t)T，则上式为x1 1+x2 2+xt t=0，其中 x1，x 2，x t不全为零，故向量组 1， 2， t线性相关)解析：评注 若 ts，则 r(C)t，因此
19、 1， 2， t必线性相关；若 t=s，则 1， 2， t线性相关的充分必要条件为矩阵 C 的行列式|C|=0。19.设 （分数：11.00）_正确答案：(*于是 A 的 3 个特征值为 1=1-a， 2=a， 3=1+a当 a0，且 a*时，A 有 3 个不同特征值，故 A 可以对角化，且可对角化为*当 a=0 时， 1=1， 2=0， 3=1，此时 A 有二重特征值 1，而 r(E-A)=2， 1= 3=1 仅对应 1 个线性无关的特征向量，故此时 A 不可对角化。当*此时 A 有二重特征值*而*仅对应 1 个线性无关的特征向量，故此时 A 不可对角化。)解析：设随机变量 X 的概率密度为
20、（分数：11.00）(1).求 Y 的密度函数；（分数：5.50）_正确答案：(先求 Y 的分布函数。FY(y)=P(X2-2X-5y)=RE(X-1)26+y当 y-6 时，F Y(y)=0；当-6-y-5 时，*当-5y-2 时，*当-2y3 时，*当 y3 时，F Y(y)=1故 Y 的概率密度为*)解析：(2).计算 Cov(X，Y)。（分数：5.50）_正确答案：(Cov(X，Y)=Cov(X，X 2-2X-5)=Cov(X，X 2)-2Cov(X，X)=E(X3)-E(X)E(X2)-2D(X)*代入可得*)解析：设总体 X 服从均匀分布 U(，2)，其中 未知(0)，X 1，X 2，X n为取自 X 的简单随机样本。（分数：11.00）(1).求 的最大似然估计 （分数：5.50）_正确答案：(X 的密度为*似然函数为L(x1，x 2，x n；)=f X(x1)fX(x2)fX(xn)*取自然对数得 lnL=-nln)求导有*从而 L(x1，x 2，x n；)关于 单调下降。又因为*故 的最大似然估计为*)解析：(2).计算 E( )与 （分数：5.50）_正确答案：(*则 Y 的分布函数为*Y 的密度函数为*故*于是*)解析：
