1、考研数学三-141 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知 1=(-1，1，a，4) T， 2=(-2，1，5，a) T， 3=(a，2，10，1) T是四阶方阵 A 的属于三个不同特征值的特征向量，则 a 的取值为_（分数：4.00）A.a5B.a-4C.a-3D.a-3 且 a-42.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则线性方程组(AB)x=0_（分数：4.00）A.当 nm 时仅有零解B.当 nm 时必有非零解C.当 mn 时仅有零解D.当 mn 时必有非零解3.设 f(x)为可导函数，且满足条件 ，则曲线 y=
2、f(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为_（分数：4.00）A.B.C.D.4.设矩阵 Amn的秩 r(A)=mn,E m为 m 阶单位矩阵，下述结论中正确的是_（分数：4.00）A.A 的任意 m 个列向量必线性无关B.A 的任意一个 m 阶子式不等于零C.若矩阵 B 满足 BA=0，则 B=0D.A 通过初等变换，必可以化为(E，0)的形式5.设 A 为 n 阶可逆矩阵， 是 A 的一个特征值，则 A 的伴随矩阵 A*的特征值之一是_（分数：4.00）A. -1|A|nB. -1|A|C.|A|D.|A| n6.设函数 f(x)在a，b上有定义，在开区间(a，b)内可导，则_（分数：4.0
3、0）A.当 f(a)f(b)0 时，存在 (a，b)，使 f()=0B.对任何 (a，b)，有C.当 f(a)=f(b)时，存在 (a，b)，使 f()=0D.存在 (a，b)，使 f(b)-f(a)=f()(b-a)7.设函数 f(x)在 x=0 处连续，则下列命题错误的是_（分数：4.00）A.B.C.D.8.设 f(x)是连续函数，且 ，则 F(x)等于_（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10.设曲线 f(x)=xn在点(1，1)处的切线与 x 轴的交点为(，0)，则 （分数：4.00）填空项 1:_11.已
4、知 （分数：4.00）填空项 1:_12.微分方程 （分数：4.00）填空项 1:_13.在天平上重复称量一重为 a 的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布 N(a，02 2)，若以表示 n 次称量结果的算术平均值，则为使（分数：4.00）填空项 1:_14.若二次型 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 f(x)在0，+)上连续、单调不减且 f(0)0，试证函数（分数：9.00）_16.已知向量组() 1， 2， 3；() 1， 2， 3， 4；() 1， 2， 3， 5，如果各向量组的秩分别为 r()=r()=3，r()=4证明：
5、向量组 1， 2， 3， 5- 4的秩为 4（分数：9.00）_17.设线性方程组(1) 证明：若 1， 2， 3， 4两两不相等，则此线性方程组无解；(2) 设 1= 3=k， 2= 4=-k(k0)，且已知 1、 2是该方程组的两个解，其中（分数：11.00）_18.求证：当 x1 时， （分数：11.00）_19.假设随机变量 X 的绝对值不大于 1； （分数：10.00）_20.设随机变量 X 与 Y 独立，其中 X 的概率分布为（分数：11.00）_21.设 （分数：11.00）_22.设 A，B 是二随机事件；随机变量（分数：11.00）_23.设某产品的需求函数为 Q=Q(P)，
6、收益函数为 R=PQ，其中 P 为产品价格，Q 为需求量(产品的产量)。Q(P)是单调减函数如果当价格为 P0，对应产量为 Q0时，边际收益 a0，收益对价格的边际效应（分数：11.00）_考研数学三-141 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知 1=(-1，1，a，4) T， 2=(-2，1，5，a) T， 3=(a，2，10，1) T是四阶方阵 A 的属于三个不同特征值的特征向量，则 a 的取值为_（分数：4.00）A.a5 B.a-4C.a-3D.a-3 且 a-4解析：考点提示 特征向量解题分析 因为 1、 2、 3是
7、A 的属于三个不同特征值的特征向量，所以它们必线性无关，即秩( 1、 2、 3)=3*知，其秩为 3 时 a5故选 A2.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则线性方程组(AB)x=0_（分数：4.00）A.当 nm 时仅有零解B.当 nm 时必有非零解C.当 mn 时仅有零解D.当 mn 时必有非零解 解析：考点提示 线性齐次方程组解题分析 由题设，AB 是 mm 矩阵，则 x 为 m 维列向量由已知，r(A)n 且 r(A)m，r(B)m，且 r(B)n，而r(AB)min(r(A)，r(B)，因此 r(AB)m，且 r(AB)n当 mn 时，r(AB)nm，因此(AB)x=0 必
8、有非零解，即 D 成立同理可排除 A，B，C，所以选 D3.设 f(x)为可导函数，且满足条件 ，则曲线 y=f(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为_（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点提示 利用导数来求斜率解题分析 本题实际上要求 f(1)，由题设*得 f(1)=-2故选 D4.设矩阵 Amn的秩 r(A)=mn,E m为 m 阶单位矩阵，下述结论中正确的是_（分数：4.00）A.A 的任意 m 个列向量必线性无关B.A 的任意一个 m 阶子式不等于零C.若矩阵 B 满足 BA=0，则 B=0 D.A 通过初等变换，必可以化为(E，0)的形式解析：考点提示 齐次线性方程组只有零解
9、的充要条件是系数矩阵列满秩解题分析 由 BA=O，有 ATBT=0，即 BT的每列均为 ATx=0 的解，而 AT是列满秩的，所以 ATx=0 只有零解，从而 BT的每列均为零，即 B=0。选 C评注 利用分块矩阵的运算易知：由 AB=0 可得 B 的列向量为 Ax=0 的解向量5.设 A 为 n 阶可逆矩阵， 是 A 的一个特征值，则 A 的伴随矩阵 A*的特征值之一是_（分数：4.00）A. -1|A|nB. -1|A| C.|A|D.|A| n解析：考点提示 涉及到 A*的问题，注意利用公式 AA*=A*A=|A|E解题分析 由题设 是 A 的一个特征值，则存在 x0，使得 Ax=x，于
10、是 A*Ax=A *x 把把 AA*=|A|E 代入上式得*，即*是 A*的一个特征值故应选 B6.设函数 f(x)在a，b上有定义，在开区间(a，b)内可导，则_（分数：4.00）A.当 f(a)f(b)0 时，存在 (a，b)，使 f()=0B.对任何 (a，b)，有 C.当 f(a)=f(b)时，存在 (a，b)，使 f()=0D.存在 (a，b)，使 f(b)-f(a)=f()(b-a)解析：考点提示 函数的可导性以及连续性解题分析 由于 f(x)在(a，b)内可导，(a，b)则 f(x)在 点可导，因而在 点连续，故*所以应选 B注意本题也可用排除法求解例如：由函数*可知结论 A不正
11、确，由函数*可知结论 C 和 D 都不正确点评 本题主要考查连续函数介值，罗尔定理及拉格朗日中值定理的条件事实上，若将本题中的条件“设函数 f(x)在区间a，b上有定义”改为“设函数 f(x)在区间a，b上连续”，则本题中四个选项都对7.设函数 f(x)在 x=0 处连续，则下列命题错误的是_（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点提示 极限与连续解题分析 A，B，C 选项都正确，只有 D 选项错误，如 f(x)=|x|，满足条件*存在，但 f(0-)=-1，f(0 -)=-1，所以 f(0)不存在故应选 D8.设 f(x)是连续函数，且 ，则 F(x)等于_（分数：4.00）A. B.
12、C.D.解析：考点提示 根据公式*计算即可解题分析 *故选 A评注 本题也可用取特殊值法求解：取 f(x)=1，则*，于是 F(x)=*，代入四个选项中，只有 A 符合要求二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 不定积分、分部积分法解题分析 由题设，*10.设曲线 f(x)=xn在点(1，1)处的切线与 x 轴的交点为(，0)，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：e -1）解析：考点提示 切线方程、数列的极限解题分析 由题设 f(x)=xn，则 f(x)=nxn-1，因而 f(1)=n，则点(1，1)处的切
13、线方程为 y-1=n(x-1)，该切线与 x 轴的交点为*，即*，因此*11.已知 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 先求导得到 f(x)的具体表达式，然后求不定积分即可解题分析 因*两边对 x 求导得*于是*评注 本题主要考查求导运算和不定积分的运算，属于基本题12.微分方程 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 求微分方程的解解题分析 令*，则*，于是题中微分方程可化为*积分得*将*代入得*又 y|x=1=1，则 C=1于是*13.在天平上重复称量一重为 a 的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布 N(a，02 2)，若
14、以表示 n 次称量结果的算术平均值，则为使（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：16）解析：考点提示 中心极限定理、标准正态分布解题分析 由题设，X n为样本均值，对其作线性变换，即令*，则由中心极限定理知 ZN(0，1)，因此*其中 为标准正态分布，即有*,从而*，n15.3664，因此 n 的最小值应不小于 1614.若二次型 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 正定二次型解题分析 本题考查二次型正定的充要条件，即其矩阵的顺序主子式都大于 0由题设，所给二次型相应的矩阵为*，显然 1 阶顺序主子式为 20，2 阶顺序主子式为*可求出 t 的范围为*三、
15、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 f(x)在0，+)上连续、单调不减且 f(0)0，试证函数（分数：9.00）_正确答案：(由题设知 f(x)在0，+)上连续、单调不减且 f(0)0，此外 F(0)=0，而当 x0 时，所以 ，即有 F(x)在0，+)上连续，当 x0 时，由积分中值定理知，存在一点 (0，x)，使得因此 )解析：考点提示 连续性、单调性、变上限定积分求导评注 本题在证明单调不减性的时候，也可作如下处理，即*由于 0tx，结合 f(x)单调不减的性质，同样可得出 F(x)0 的结论16.已知向量组() 1， 2， 3；() 1， 2， 3， 4；() 1， 2
16、， 3， 5，如果各向量组的秩分别为 r()=r()=3，r()=4证明：向量组 1， 2， 3， 5- 4的秩为 4（分数：9.00）_正确答案：(因 r()=r()=3，所以 1， 2， 3线性无关，而 1， 2， 3， 4线性相关故存在实数 1， 2， 3使 1= 1 1+ 2 2+ 3 3 设有数是 k1，k 2，k 3，k 4，使得k1 1+k2 2+k3 3+k4( 5- 4)=0， 将代入，化简得(k1- 1k1) 1+(k2- 2k4) 2+(k3- 3k4) 3+k4 5=0，由，r()=4 知 1， 2， 3， 5线性无关，所以)解析：考点提示 向量组的秩17.设线性方程组
17、(1) 证明：若 1， 2， 3， 4两两不相等，则此线性方程组无解；(2) 设 1= 3=k， 2= 4=-k(k0)，且已知 1、 2是该方程组的两个解，其中（分数：11.00）_正确答案：(1) 增广矩阵 的行列式由 a1，a 2，a 3，a 4两两不相等，知 但系数矩阵 A 的秩 r(A)3，故 r(A)r(A)，因此方程组无解(2) 当 a1=a3=k，a 2=a4=-k(k0)时，方程组为即因为故 ，从而方程组有解，且对应的导出方程组的基础解系应含有 3-2=1 个解向量因为 1， 2是原齐次方程组的两个解，故是对应齐次线性方程组的解，且 0，故 是导出方程组的基础解系于是原齐次线
18、性方程组的通解为)解析：考点提示 要证明线性方程组无解，只需证明系数矩阵 A 的秩不等于增广矩阵*的秩，证明中注意利用范德蒙行列式的性质以及矩阵的秩小于或等于行数和列数的性质18.求证：当 x1 时， （分数：11.00）_正确答案：(令则因为 f(x)在1，+)连续，所以 f(x)在1，+)上为常数，故f(x)=f(1)=0即 )解析：19.假设随机变量 X 的绝对值不大于 1； （分数：10.00）_正确答案：()解析：考点提示 条件概率、分布函数解题分析 由题设，当 x-1 时，F(x)=0，当 x1 时，F(x)=1由 PX=-1=*又当-1X1出现条件 F 时，X 在(-1，1)内任
19、一子区间上的条件概率为几何概率，即*因此*从而当*，综上可知 X 的分布函数为*20.设随机变量 X 与 Y 独立，其中 X 的概率分布为（分数：11.00）_正确答案：(由题设，设 FY(y)是 Y 的分布函数则由全概率公式，得 U=X+Y 的分布函数为G(u)=PX+Yu=0.3PX+Y|X-1+0.7PX+Yu|X-2=0.3PYu-1|X=1+0.7PYu-2|X=2由已知 X 与 Y 独立，则PYu-1|X-1=PYu-1，且 PYu-2|X=2=PYu-2，所以 G(u)=0.3PYu-1+0.7PYu-2=0.3F(u-1)+0.7F(u-2)，因此 U=X+Y 的概率密度为g(
20、u)=G(u)=0.3f(u-1)+0.7f(u-2)解析：考点提示 独立性、全概率公式、概率密度21.设 （分数：11.00）_正确答案：(特征方程为|E-A|= 3- 2-+1=(-1) 2(+1)=0，即特征值 1=1(二重)， 2=-1欲使 1=1 有两个线性无关的特征向量，矩阵的秩必须等于 1，故)解析：考点提示 本题应先求出特征值，由题设 3 阶矩阵要有三个线性无关的特征向量，重特征值对应的线性无关特征向量的个数必须等于特征值的重数，相应的特征矩阵的秩 r(E-A)=n-特征值的重数，由此导出参数应满足的条件评注 下面三个命题互为充要条件：1n 阶矩阵 A 可对角化；2A 有 n
21、个线性无关的特征向量；3A 的任何重特征值对应的线性无关的特征向量个数等于其重数22.设 A，B 是二随机事件；随机变量（分数：11.00）_正确答案：(由题设，记 P(A)=p1，则 P(X-1)=p1，从而 P(X=-1)=1-p1，记 P(B)=p2，则 P(Y=1)=p2，且P(Y=-1)=1-p2因此有E(X)=p1-(1-p1)=2p1-1，E(Y)=p 2-(1-p2)=2p2-1由于 X，Y 的取值只能为 1 和-1，从而P(XY=1)=P(X-1，Y=1)+P(X=-1，Y=-1)P(XY=-1)=1-2P(AB)-P1-p2+1=1-2P(AB)+p1+p2-1=p1+p2
22、-2P(AB)，所以 E(XY)=2P(AB)-p1-p2+1-p1+p2-2P(AB)=2P(AB)-p1-p2+1-p1-p2+2P(AB)=4P(AB)-2p1-2p2+1，因此 cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=4P(AB)-2p1-2p2-1-(2p1-1)(2p2-1)=4P(AB)-2p1-2p2+1-4p1p2+2p1+2p2-1=4P(AB)-4p1p2=4P(AB)-P(A)P(B)，显然 cov(XY)=0 )解析：考点提示 独立性、相关性23.设某产品的需求函数为 Q=Q(P)，收益函数为 R=PQ，其中 P 为产品价格，Q 为需求量(产品的产量)。Q(P)是单调减函数如果当价格为 P0，对应产量为 Q0时，边际收益 a0，收益对价格的边际效应（分数：11.00）_正确答案：(由收益函数 R=PQ 对 Q 求导，有得由收益函数 R=PQ 对 P 求导，有于是 )解析：考点提示 本题属于经济应用题，其关键是要求掌握弹性公式*，再由 R=PQ，两边对 Q 以及 P求导后，导出它们与弹性公式的联系评注 本题综合考查了微积分在经济中的应用，主要是边际、弹性等重要概念要特别注意的是 Q 和 P之间存在的函数关系，R=PQ 既可看成 Q 的函数，也可看作 P 的函数，从而可分别求出导数*
