1、考研数学三-139 及答案解析(总分：155.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知函数 f(x)在区间(1-，1+)内具有二阶导数，f“(x)0，且 f(1)=f(1)=1，则_（分数：4.00）A.在(1-，1)和(1，1+)内均有 f(x)xB.在(1-，1)和(1，1+)内均有 f(x)xC.在(1-，1)内 f(x)x，在(1，1+)内 f(x)xD.在(1-，1)内 f(x)x，在(1，1+)内 f(x)x2.要使 都是线性方程组 Ax=0 的解，只要系数矩阵 A 为_（分数：4.00）A.B.C.D.3.已知函数 f(x)具有任意阶导数，且
2、 f(x)=f(x)2，则当 n 为大于 2 的正整数时，f(x)的 n 阶导数 f(n)(x)是_（分数：4.00）A.n!f(x)n-1B.nf(x)n+1C.f(x)2nD.n!f(x)2n4.在曲线 x=t，y=-t 2，z=t 3的所有切线中，与平面 x+2y+z=4 平行的切线_（分数：4.00）_5.如果向量 b 可以由向量组 1， 2， s线性表示，则_（分数：4.00）A.存在一组不全为零的数 k1，k 2，k s，使 b=k1 1+k2 2+ks s成立B.存在一组全为零的数是 k1，k 2，k s。使 b=k1 1+k2 2+ks s成立C.存在一组数 k1，k 2，k
3、s使 b=k1 1+k2 2+ks s成立D.对 b 的线性表达式唯一6.设 1、 2是 n 阶矩阵 A 的特征值， 1、 2分别是 A 的属于 1、 2的特征向量，则（分数：4.00）A. 1= 2时， 1与 2必成比例B. 1= 2时， 1与 2必不成比例C. 1 2时， 1与 2必成比例D. 1 2时， 1与 2必不成比例7.设函数 f(x)=x2，0x1，而 ，-x+，其中 bn= ，n=1，2，3，则 等于_（分数：4.00）A.B.C.D.8.设随机变量 X 与 Y 服从正态分布，XN(，4 2)，YN(，5 2)，记 p1=PX-4)，p 2=Y+5，则_（分数：4.00）A.对
4、任何 ，都有 p1=p2B.对任何实数 ，都有 p1p 2C.只对 的个别值，才有 p1=p2D.对任何实数 ，都有 p1p 2二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 （分数：4.00）填空项 1:_10.由方程 （分数：4.00）填空项 1:_11.设 3 阶方阵 A=(， 1， 2)，B=(， 1， 2)，其中 ， 1， 2都是 3 维列向量，且|A|=3，|B|=4，则|5A-2B|=_（分数：4.00）填空项 1:_12.已知 A=(a1，a 2，a 3，a 4)，其中 a1，a 2，a 3，a 4为四维列向量，方程组 AX=0 的通解为 K(2，-1，1，4)T，则 a3可
5、由 a1，a 2，a（分数：4.00）填空项 1:_13.已知随机变量 X 和 Y 相互独立，且 XN(1，1)，Y(1，4)，又 PaX+bY0=则 a 与 b 应满足关系式_（分数：4.00）填空项 1:_14.已知连续型随机变量 X 的概率密度为 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：99.00)15.求微分方程 y“+2y-3y=e-3x的通解（分数：11.00）_16.假设生产和销售某产品的收益 R 是产量 q 的二次函数经统计得知：当产量 q 分别为 0，2，4 时，总收入 R 分别为 0，6，8 万元，试确定 R 与 q 之间的函数关系（分数：11.00）
6、_17.设函数 f(x)，g(x)满足 f(x)=g(x)，g(x)=2e x-f(x)，且 f(0)=0，g(0)=2，求 （分数：11.00）_18.如果 ，证明：（分数：11.00）_19.设 z=f(2x-y，ysinx)，其中_厂具有连续的二阶偏导数，求 （分数：11.00）_20.设 A 为 n 阶方阵，A *为 A 的伴随矩阵，且 A110，证明：方程组 Ax=b(b0)有无穷多解的充要条件是b 为 A*x=0 的解（分数：11.00）_21.已知 1=6， 2= 3=3 是实对称矩阵 A 的三个特征值，且对应于 2= 3=3 的特征向量为 2=(-1，0，1) T， 3=(1，
7、-2，1) T，求 A 对应于 1=6 的特征向量及矩阵 A（分数：11.00）_22.设二维随机变量(X, Y)在区域 D：0x1，|y|=x 内服从均时分布，求关于 X 的边缘概率密度函数及随机变量 Z=2X+1 的方差 D(Z)（分数：11.00）_23.设 X1，X 2，X n(n2)为来自总体 N(0，1)的简单随机样本， 为样本均值，记 Yi= （分数：11.00）_考研数学三-139 答案解析(总分：155.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知函数 f(x)在区间(1-，1+)内具有二阶导数，f“(x)0，且 f(1)=f(1)=1，则_
8、（分数：4.00）A.在(1-，1)和(1，1+)内均有 f(x)x B.在(1-，1)和(1，1+)内均有 f(x)xC.在(1-，1)内 f(x)x，在(1，1+)内 f(x)xD.在(1-，1)内 f(x)x，在(1，1+)内 f(x)x解析：考点提示 函数单调性、函数的极值解题分析 设 (x)=f(x)-x，则 (x)=f(x)-1，“(x)=f“(x)由 f“(x)0 得 “(x)0，故 (x)单调减少，则当 x1 时，(x)(1)=f(1)-1=0，当 x1，时 (x)(1)=0则 (x)在 x=1 处取得极大值，当 x(1-，1)(1，1+)时 (x)(1)=f(1)-1=0，即
9、 f(x)x故选 A2.要使 都是线性方程组 Ax=0 的解，只要系数矩阵 A 为_（分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点提示 系数矩阵的求法解题分析 采用代入法可知，正确答案为 A3.已知函数 f(x)具有任意阶导数，且 f(x)=f(x)2，则当 n 为大于 2 的正整数时，f(x)的 n 阶导数 f(n)(x)是_（分数：4.00）A.n!f(x)n-1 B.nf(x)n+1C.f(x)2nD.n!f(x)2n解析：考点提示 函数的高阶导数解题分析 为方便记 y=y(x)由 y=y2，逐次求导得y“=2yy=2y3，y“=3!y 2y=3!y4，归纳可证 y(n)=n!yn+1应
10、选 A4.在曲线 x=t，y=-t 2，z=t 3的所有切线中，与平面 x+2y+z=4 平行的切线_（分数：4.00）_解析：考点提示 曲线的切线解题分析 求曲线上的点，使该点处的切向量 与平面 x+2y+z=4 的法向量 n=1，2，15.如果向量 b 可以由向量组 1， 2， s线性表示，则_（分数：4.00）A.存在一组不全为零的数 k1，k 2，k s，使 b=k1 1+k2 2+ks s成立B.存在一组全为零的数是 k1，k 2，k s。使 b=k1 1+k2 2+ks s成立C.存在一组数 k1，k 2，k s使 b=k1 1+k2 2+ks s成立 D.对 b 的线性表达式唯一
11、解析：考点提示 向量线性表示解题分析 由向量线性表示的定义而得，故应选 C6.设 1、 2是 n 阶矩阵 A 的特征值， 1、 2分别是 A 的属于 1、 2的特征向量，则（分数：4.00）A. 1= 2时， 1与 2必成比例B. 1= 2时， 1与 2必不成比例C. 1 2时， 1与 2必成比例D. 1 2时， 1与 2必不成比例 解析：考点提示 特征值、特征向量解题分析 当 1= 2时，它们为 A 的重数大于或等于 2 的特征值，其对应的线性无关的特征向量的个数可能大于 1，也可能等于 1，所以不能选 A、B当 1 2时，由于对应于不同特征值的特征向量必线性无关，所以 1与 2必不成比例故
12、选 D7.设函数 f(x)=x2，0x1，而 ，-x+，其中 bn= ，n=1，2，3，则 等于_（分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点提示 级数的收敛性及其计算解题分析 S(x)是函数 f(x)先作奇延拓后再作周期为 2 的周期延拓后的函数的傅氏级数的和由于 S(x)是奇函数，于是*当*时，f(x)连续，由傅氏级数的收敛性定理*因此*应选 B8.设随机变量 X 与 Y 服从正态分布，XN(，4 2)，YN(，5 2)，记 p1=PX-4)，p 2=Y+5，则_（分数：4.00）A.对任何 ，都有 p1=p2 B.对任何实数 ，都有 p1p 2C.只对 的个别值，才有 p1=p2D.对
13、任何实数 ，都有 p1p 2解析：考点提示 随机变量的正态分布解题分析 只需将 X，Y 标准化由题设，把 X，Y 标准化有*因此 p 1=p2，故选 A二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点提示 含有参数的复合函数求导数解题分析 由求导公式得*再对 x 求导，由复合函数求导法得*10.由方程 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点提示 隐函数的全微分解题分析 这是求隐函数在某点的全微分这里点(1，0，-1)的含意是 z=z(1，0)=-1将方程两边求全微分，由一阶全微分形式不变性得*再由全微分四则运算
14、法则得*令 x=1，y=0，z=-1 得*，即*为所求11.设 3 阶方阵 A=(， 1， 2)，B=(， 1， 2)，其中 ， 1， 2都是 3 维列向量，且|A|=3，|B|=4，则|5A-2B|=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：63）解析：考点提示 方阵、向量的计算解题分析 因 5A-2B=5(， 1， 2)-2(， 1， 2)=(5-2，3 1，3 2)故|5A-2B|=|5-2 3 1 3 2|=9|5 1 2|-|2 1 2|=9(5|A|-2|B|)=9(53-24)=6312.已知 A=(a1，a 2，a 3，a 4)，其中 a1，a 2，a 3，a 4为四维列
15、向量，方程组 AX=0 的通解为 K(2，-1，1，4)T，则 a3可由 a1，a 2，a（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：a 3=-2a1+a2-4a4）解析：考点提示 向量的线性表示解题分析 因为方程组 AX=0 的通解为 K(2，-1，1，4) T，所以 2a1-a2+a3+4a4=0则 a3=-2a1+a2-4a413.已知随机变量 X 和 Y 相互独立，且 XN(1，1)，Y(1，4)，又 PaX+bY0=则 a 与 b 应满足关系式_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：a+b=0）解析：考点提示 随机变量的独立性解题分析 X 与 Y 相互独立，XN(1，1)，
16、YN(1，4)Z=aX+bYN(a+b，a 2+4b2)于是*故 0-(a+b)=0 即 a+b=014.已知连续型随机变量 X 的概率密度为 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1/2）解析：考点提示 随机变量的概率密度及其数字特征解题分析 解法一 *故 D(X)=1/2解法二 E(X)=1*三、解答题(总题数：9，分数：99.00)15.求微分方程 y“+2y-3y=e-3x的通解（分数：11.00）_正确答案：(这是常系数的二阶线性非齐次方程特征方程 r2+2r-3=(r-1)(r+3)=0 的两根为 r1=1，r 2=-3；由右边 eax，=-3=r 2为单特征根，故非齐次方
17、程有特解 Y=xae-3x，代入方程可得*因而所求通解为*)解析：考点提示 微分方程的通解16.假设生产和销售某产品的收益 R 是产量 q 的二次函数经统计得知：当产量 q 分别为 0，2，4 时，总收入 R 分别为 0，6，8 万元，试确定 R 与 q 之间的函数关系（分数：11.00）_正确答案：(设 R(q)=aq2+bq+c，其中常数 a，b 和 c 待定，根据条件*解得*所以，R 与 q 的函数关系为*)解析：考点提示 函数方程中常数的确定17.设函数 f(x)，g(x)满足 f(x)=g(x)，g(x)=2e x-f(x)，且 f(0)=0，g(0)=2，求 （分数：11.00）_
18、正确答案：(由 f(x)=g(x)，g(x)=2e x-f(x)，得 f“(x)=2ex-f(x)于是有*解方程得 f(x)=sinx-cosx+ex又*)解析：考点提示 微分方程与定积分18.如果 ，证明：（分数：11.00）_正确答案：(此不等式为一“肩”挑“两头”，且两头式子的形式完全相同，若将不等号改为等号，则其酷似拉格朗日中值定理的结论，故可考虑用拉格朗日中值定理来证明设 f(x)=tanx，则 f(x)在区间，上连续，在(，)内可导，且*，因 f(x)在区间，上满足拉格朗日中值定理的条件，由拉格朗日中值定理知，*使*即*又因 cosx 在区间*内单调减少，故*则*)解析：考点提示
19、拉格朗日中值定理评注 (1) 利用拉格朗日中值定理证明不等式时，不等式变形后其中有一部分要能变为*的形式(2) 利用拉格朗日中值定理证明不等式时要用适当扩大、缩小法，这往往通过将 变为区间的左、右端点的值来实现19.设 z=f(2x-y，ysinx)，其中_厂具有连续的二阶偏导数，求 （分数：11.00）_正确答案：(令 u=2x-y，v=ysinx，则 z=f(u，v)，*)解析：考点提示 隐函数的二阶偏导数20.设 A 为 n 阶方阵，A *为 A 的伴随矩阵，且 A110，证明：方程组 Ax=b(b0)有无穷多解的充要条件是b 为 A*x=0 的解（分数：11.00）_正确答案：(必要性
20、因为 Ax=b 有无穷多解，所以 r(A)n 即|A|=0，有 A*b=A*Ax=|A|x=0，即 b 是 A*x=0 的解充分性因为 b 为 A*x=0 的解，即 A*x=0 有非零解所以 r(A*)n，又 A110，所以 r(A*)=1，r(A)=n-1同时由 A*A=|A|E=0A *b=0，令 A=( 1， 2， n)，则 1， 2， n是 A*x=0 的解，因为 A110，所以 1， 2， n线性无关，所以 2， 3， n是方程组 A*x=0 的基础解系，b 可由 2， 3， n线性表示，即 b 可由 1， 2， 3， n线性表示，因为 Ax=b 有解，又 r(A)=n-1，所以 A
21、x=b 有无穷多解)解析：考点提示 伴随矩阵的计算21.已知 1=6， 2= 3=3 是实对称矩阵 A 的三个特征值，且对应于 2= 3=3 的特征向量为 2=(-1，0，1) T， 3=(1，-2，1) T，求 A 对应于 1=6 的特征向量及矩阵 A（分数：11.00）_正确答案：(这是已知全部特征值和部分特征向量反求矩阵 A 的问题关键在于利用已知条件中 A 为对称矩阵。而对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，依此即可求解设 A 对应于 1=6 的特征向量是 1=x1，x 2，x 3T，由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量彼此正交，故有*，即*解得 x1=x2=x3，取 1=(1，1，
22、1) T，即是矩阵 A 属于 1=6 的特征向量进一步，由 A( 1， 2， 3)=( 1 1， 2 2， 3 3)，得*所以*)解析：考点提示 特征值、特征向量22.设二维随机变量(X, Y)在区域 D：0x1，|y|=x 内服从均时分布，求关于 X 的边缘概率密度函数及随机变量 Z=2X+1 的方差 D(Z)（分数：11.00）_正确答案：(X，Y)的联合密度为*SD是区域 D 的面积且 SD=1，因此*)解析：考点提示 随机变量的密度函数23.设 X1，X 2，X n(n2)为来自总体 N(0，1)的简单随机样本， 为样本均值，记 Yi= （分数：11.00）_正确答案：(根据简单随机样本的性质，X 1，X 2，X n相互独立，且都服从分布 N(0，1)，则EXi=0，DX i=1，i=1，2，n() *() 因 X1，X 2，X n相互独立，而独立的两个随机变量协方差等于零于是有*而*)解析：考点提示 随机样本的性质
