1、考研数学三-138 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 A，B 是 n 阶可逆矩阵，满足 AB=A+B则|A+B|=|A|B|； (AB) -1=A-1B-1；(A-E)X=0 只有零解； B-E 不可逆中正确的个数是 ( )（分数：4.00）A.1B.2C.3D.42.设 p(x)，q(x)，f(x)均是 x 的连续函数，y 1(x)，y 2(x)，y 3(x)是 y“+p(x)y+q(x)y=f(x)的 3 个线性无关的解，c 1与 c2是两个任意常数，则该非齐次方程的通解是 ( )（分数：4.00）A.c1y1+(c2+
2、c1)y2+(1-c2)y3B.(c1-c1)yl+(c2-1)y2+(1-c1)y3C.(c1+c2)y1+(c1-c2)y2+(1-c1)y3D.c(1y1+c2y2+(1-c1-c2)y33.设 A 是三阶实对称矩阵， 1， 2， 3是 A 的三个特征值，且满足 a 1 2 3b，若 A-E 是正定阵，则参数 应满足 ( )（分数：4.00）A.bB.bC.aD.a4.设随机变量 x 的分布函数为 F(x)，概率密度为 f(x)，a 为常数，则下面不能作为密度函数的是 ( )（分数：4.00）A.f(x+a)B.af(ax)C.f(-x)D.2f(x)F(x)5.设随机变量 X 与 Y
3、相互独立，且 X 服从二项分布 服从指数分布 E(1)则概率 PX+Y1 等于 ( )(A)1+e-1 (B)1-e -1（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 （分数：4.00）A.B.C.D.7. （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 xn与 yn均无界，z n有界，则 ( )（分数：4.00）A.xn+yn必无界B.xnyn必无界C.xn+zn必无界D.xnzn必无界二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 y=y(x)是由方程 （分数：4.00）填空项 1:_10. （分数：4.00）填空项 1:_11.设 f(x)在 x=0 处连续，且 （分数：4.00）填空项 1:_
4、12.微分方程(x+y)dy+(y+1)dx=0 满足 y(1)=2 的特解是 1（分数：4.00）填空项 1:_13.设 =1，0，1 T，A= T，f(x)=1+x+x 2+xn-1，g(x)=1-x，则|f(A)g(A)=_（分数：4.00）填空项 1:_14.设随机变量 X，y 相互独立，且 XN(0，2)，YN(0，3)，则 D(X2+Y2)= 1（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.不定积分 （分数：10.00）_16.求 （分数：10.00）_17.(10 分)设 D=(x，y)|x 2+y24 且(x-1) 2+y21，y0)，计算（分
5、数：10.00）_18.设 z=z(x，y)是由方程 （分数：10.00）_19.某产品的成本函数 C(q)=aq2+bq+c，需求函数 （分数：10.00）_20.设 1， 2， n是 n 个维列向量，已知齐次线性方程组 1x1+ 2x2+ nxn=0 (*)只有零解，问齐次线性方程组( 1+ 2)x1+( 2+ 3)x2+( n-1+ n)xn-1+( n+ 1)xn=0 (*)是否有非零解?若没有，说明理由；若有，求出方程组(*)的通解（分数：11.00）_21.设 A 是三阶实对称阵，AB，其中 （分数：11.00）_22.设随机变量 X 和 Y 分别服从 （分数：11.00）_23.
6、设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：11.00）_考研数学三-138 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 A，B 是 n 阶可逆矩阵，满足 AB=A+B则|A+B|=|A|B|； (AB) -1=A-1B-1；(A-E)X=0 只有零解； B-E 不可逆中正确的个数是 ( )（分数：4.00）A.1B.2C.3 D.4解析：因 A，B 满足 AB=A+B两边取行列式，显然有|A+B|=|AB|=|A|B|，(A)正确又 AB=A+B，移项提公因子得AB-A=A(B-E)=B，A(B-E)=B-E+E，(A-E)(B-E
7、)=E故 A-E，B-E 都是可逆阵且互为逆矩阵，从而知方程组(A-E)X=0 只有零解，正确B-E 不可逆是错误的，不正确又因(A-E)(B-E)=E， 故 (B-E)(A-E)=E，从而有 BA-A-B+E=E，BA=A+B，得 AB=BA，从而有(AB)-1=(BA)-1=A-1B-1，故正确故，是正确的，应选(C)译注一般(AB) -1=B-1A-1A -1B-1但在条件 AB=A+B 时，因 AB-BA，故有(AB) -1=B-1A-1=A-1B-12.设 p(x)，q(x)，f(x)均是 x 的连续函数，y 1(x)，y 2(x)，y 3(x)是 y“+p(x)y+q(x)y=f(
8、x)的 3 个线性无关的解，c 1与 c2是两个任意常数，则该非齐次方程的通解是 ( )（分数：4.00）A.c1y1+(c2+c1)y2+(1-c2)y3B.(c1-c1)yl+(c2-1)y2+(1-c1)y3C.(c1+c2)y1+(c1-c2)y2+(1-c1)y3D.c(1y1+c2y2+(1-c1-c2)y3 解析：将(D)改写为 C1(y1-y3)+C2(y2-y3)+y3因为 y1，y 2，y 3均是 y“+p(x)y+q(x)y=f(x)的解，所以(y 1-y3)与(y2-y3)是 y“+p(x)y+p(x)y=0 的解，并且(y 1-y3)与(y 2-y3)线性无关事实上，
9、若它们线性相关，则存在不全为零的 k1与 k2，使k1(y1-y3)+k2(y2-y3)=0，即 k 1y1+k2y2-(k1+k2)y3=0由于题设了 y1，y 2，y 3线性无关，从而推知 k1=0，k 2=0，k 1+k2=0与 k1，k 2不全为零矛盾于是推知C1(y1-y3)+C2(y2-y3)为对应的齐次方程的通解从而知(D)为原非齐次方程的通解选(D)3.设 A 是三阶实对称矩阵， 1， 2， 3是 A 的三个特征值，且满足 a 1 2 3b，若 A-E 是正定阵，则参数 应满足 ( )（分数：4.00）A.bB.b C.aD.a解析：A-E 的特征值为 1-， 2-， 3-，且
10、满足 a- 1- 2- 3-b-当 b-0 即 b 时，A-E 的全部特征值大于等于正值，故 A-E 是正定矩阵，应选(B)而(A)b，b-0，A-E 的全部特征值大于等于负值，不能确定 A-E 的正定性(C)a，a-0，A-E 的全部特征值小于等于负值，不能确定 A-E 的正确性(D)a，-a0，A-E 的全部特征值小于等于正值，不能确定 A-E 的正定性应选(B)4.设随机变量 x 的分布函数为 F(x)，概率密度为 f(x)，a 为常数，则下面不能作为密度函数的是 ( )（分数：4.00）A.f(x+a)B.af(ax) C.f(-x)D.2f(x)F(x)解析：函数为密度函数的充要条件
11、：(1)f(x)0；*不难验证(A)，(C)，(D)都满足充要条件由于 a 是常数，当 a0 时，af(ax)不满足条件(1)*5.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从二项分布 服从指数分布 E(1)则概率 PX+Y1 等于 ( )(A)1+e-1 (B)1-e -1（分数：4.00）A.B.C. D.解析：*6.设 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：*7. （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：具体计算出 F(x)如下*注 实际上有下述结论：设 f(x)在 a，b 上除点 x0(a，b)外均连续，而在 x0处 f(x)有跳跃间断点：*不论 C 是否为 x0，均有结论：F
12、(x)在 a，b)上连续；F(x)=f(x)，当 xa，b，但 xx 0；* 将来在做选择题时可直接套用上述结论8.设 xn与 yn均无界，z n有界，则 ( )（分数：4.00）A.xn+yn必无界B.xnyn必无界C.xn+zn必无界 D.xnzn必无界解析：用反证法证明x n+zn必无界设x n+zn有界，则存在 MO 与 M10，对一切 n，|x n+zn|M 与|zn|M 1上不等式|xn|=|xn+zn-zn|x n+zn|+|zn|M+M 1，从而x n有界，与题设矛盾故选(C)评注 有界数列与有界数列之和或差，或积，均为有界，但其商未必有界；有界数列与无界数列之和或差必无界；有
13、界数列与无界数列之积或商未必有界，也未必无界；无界数列与无界数列的和、差、积或商均未必无界也未必有界，应具体二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 y=y(x)是由方程 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-2）解析：*10. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：*11.设 f(x)在 x=0 处连续，且 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：方法一 由极限与无穷小的关系，有*方法二 将 sinx 按皮亚诺余项泰勒公式展至 n=3，有*以下同方法一12.微分方程(x+y)dy+(y+1)dx=0 满足 y(1)=2 的特解是 1（分数：
14、4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*13.设 =1，0，1 T，A= T，f(x)=1+x+x 2+xn-1，g(x)=1-x，则|f(A)g(A)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1-2 n）解析：f(x)g(x)=(1+x+x 2+xn-1)(1-x)=1-xn*14.设随机变量 X，y 相互独立，且 XN(0，2)，YN(0，3)，则 D(X2+Y2)= 1（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：26）解析：*三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.不定积分 （分数：10.00）_正确答案：(由部分分式若 A0，则积分之后会出现对数函数；若 C
15、O，也会出现对数函数因此 A=0 且 c=0将它们代入(1)式后，通分并命两边分子相等，得x 3+x 2+x+ 二=B(x 2+x+1)+D(x-1)2=(B+D)x2+(B-2D)x+(B+D)所以 =0，=B+D，=B-2D，=B+D从而推得 =0，=， 可以任意)解析：16.求 （分数：10.00）_正确答案：( )解析：注 应随时注意化简：将幂指数函数化为指数函数，能求出极限(其极限值不为零的因子)，可利用乘积极限先求出之，作变量替换将形式化简，以及用等价无穷小替换等不要一上来就用洛必达法则17.(10 分)设 D=(x，y)|x 2+y24 且(x-1) 2+y21，y0)，计算（分
16、数：10.00）_正确答案：( )解析：注 计算*用到华里士公式，请考生切记此公式18.设 z=z(x，y)是由方程 （分数：10.00）_正确答案：()解析：19.某产品的成本函数 C(q)=aq2+bq+c，需求函数 （分数：10.00）_正确答案：(利润函数L(q)=pq-C(q)=(-q)q-(aq 2+bq+c)=(a+)q 2+(-b)q-CL(q)=-2(a+)q+(-b)命 L(q)=0，得唯一驻点)解析：注 产量太少时，最大利润也可能为负，原因是要支付固定成本20.设 1， 2， n是 n 个维列向量，已知齐次线性方程组 1x1+ 2x2+ nxn=0 (*)只有零解，问齐次
17、线性方程组( 1+ 2)x1+( 2+ 3)x2+( n-1+ n)xn-1+( n+ 1)xn=0 (*)是否有非零解?若没有，说明理由；若有，求出方程组(*)的通解（分数：11.00）_正确答案：(齐次线性方程组 1x1+ 2x2+ nxn=0 (1)只有零解，故其系数矩阵(记为 A)的秩 r(A)=r 1， 2， n=n矩阵 A 是可逆方阵，齐次线性方程组( 1+ 2l+( 2+ 3)x2+( n-1+ n)xn-1+( n+ 1)xn=0 (2)的系数矩阵(记为 B)和 A 有如下关系：当 n=2k+1 时，|C|=20，故 r(B)+r(c)=n，方程组(2)只有零解当 n=2k 时
18、，|C|=0，故 r(B)=r(c)n，方程组(2)有非零解当 n=2k 时，B=AC，A 可逆；故 BX=0 和 CX=0 是同解的方程组，故只需求解线性齐次方程组 CX=0 即可：对C 作初等行变换，i 行的-1 倍加到 i+1 行，i=1，2，n-1)解析：21.设 A 是三阶实对称阵，AB，其中 （分数：11.00）_正确答案：(ABA，B 有相同的秩和特征值显然 r(B)=1B 有特征值 1= 2=0 且 得 3=14故 A 有特征值 1= 2=0， 3=14() 1= 2=0 是 A 的二重特征值，对应的线性无关特征向量最多有二个，由题设知 1= 1=1，1，0 T， 2= 3=0
19、，2，1 T，线性无关，(取 1， 2， 3， 4，的极大线性无关组)故取 1= 1， 2= 3为 =0 的特征向量，因 A 是实对称阵，将 3=14 对应的特征向量设为 3=x1，x 2，x 3T，则 3与 1， 2正交，则有即有基础解系为 3=1，-1，2 T，即是 3=14 对应的特征向量()方法一 令 P= 1， 2， 3，则方法二 因与 3正交的非零向量均是 A 的对应于 =0 的特征向量，取一个与 1= 1=1，1，0 T， 31，-1，2 T均正交的向量为 2，可得 2=1，-1，-1 T将 1， 2， 3单位化，并合并成正交阵，得)解析：评注 方法二用正交阵求 A 比用可逆阵求简单，且这里还没有利用施密特正交化方法22.设随机变量 X 和 Y 分别服从 （分数：11.00）_正确答案：(利用边缘分布性质，马上得到(X，Y)的分布)解析：分析 *再加上*，不难求出(X，Y)的分布有了(X，Y)分布，就不难求出*求解过程中注意B(1，p)的 E(x)=p，D(x)=p(1-p)，会简化计算23.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：11.00）_正确答案：(方法二 二维正态分布概率密度一般形式为)解析：分析 用性质*来确定常数 A*既然要求出 fx(x)可以先求出 fx(x)然后再定常数 A 更方便些
