1、考研数学三-123 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 X1，X 2，X n为来自总体，N(， 2)的简体随机样本， 为样本均值，记则服从自由度为 n-1 的 t 分布的随机变量是_（分数：4.00）A.B.C.D.2.在电炉上安装了 4 个温控器，其显示温度的误差是随机的, 在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度 t0，电炉就断电, 以 E 表示事件“电炉断电”，设 T(1)T (2)T (3)T (4)，为 4 个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件 E 等于_.（分数：4.00）A.T(1)T 0B
2、.T(2)T 0C.T(3)T 0D.T(4)T 03.设 ，则下列级数中绝对收敛的是_（分数：4.00）A.B.C.D.4.设 f(x)在(-，+)内有定义，且（分数：4.00）A.B.C.D.5.设 1， 2， 3是四元非齐次方程组 Ax=b 的三个解向量，且秩 r(A)=3， 1=(1，2，3，4)T， 2+ 3=(0，1，2，3) T，c 表示任意常数，则线性方程组 Ax=b 的通解 x=_（分数：4.00）A.B.C.D.6.将一枚硬币重复掷 n 次，以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则 X 和 Y 的相关系数等于_A-1 B0 （分数：4.00）A.B.C.D.7.
3、n 阶方阵 A 具有 n 个不同的特征值是 A 与对角阵相似的_（分数：4.00）A.充分必要条件B.充分而非必要条件C.必要而非充分条件D.既非充分也非必要条件8.设 f(x)在a，b上连续，且 f(a)0，f(b)0，则下列结论中错误的是_（分数：4.00）A.至少存在一点 x0(a，b)，使得 f(x0)f(a)B.至少存在一点 x0(a，b)，使得 f(x0)f(b)C.至少存在一点 x0(a，b)，使得 f(x0)=0D.至少存在一点 x0(a，b)，使得 f(x0)=0二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.极限 （分数：4.00）填空项 1:_10.设(x 0，y 0)是抛
4、物线 y=ax2+bx+c 上的一点，若在该点的切线过原点，则系数应满足的关系是_（分数：4.00）填空项 1:_11.设 4 阶方阵 A 的秩为 2，则其伴随矩阵 A*/sup的秩为_（分数：4.00）填空项 1:_12.设（分数：4.00）填空项 1:_13.一射手对同一目标独立地进行 4 次射击，若至少命中一次的概率 （分数：4.00）填空项 1:_14.设随机变量 X 的概率密度函数为以 Y 表示对 X 进行三次独立重复观察中事件 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.从 0，1，2，9 十个数字中任意选出三个不同的数字，求下列事件的概率：A
5、1=三个数字中不含 0 与 5；A 2=三个数字中含 0 但不含 5)（分数：9.00）_16.设 （分数：9.00）_17.沿试补充定义 f(1)，使得 f(x)在 （分数：11.00）_18.设函数 f(x)可导，且 （分数：11.00）_19.试证明：n 维列向量组 A=( 1， 2， n)线性无关的充分必要条件是其中 （分数：10.00）_20.设线性方程组（分数：11.00）_21.设 3 阶对称矩阵 A 的特征向量值 1 一 1， 2=2， 3=-2，又 1=(1，-1，1)T 是 A 的属于 1 的一个特征向量记 B=A5-4A3+E，其中 E 为 3 阶单位矩阵() 验证 1
6、是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量；() 求矩阵 B（分数：11.00）_22.设 X1，X 2，X n 是总体为 N(，2)的简单随机样本，记（分数：11.00）_23.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为求：()(X，Y)的边缘概率密度 fX(x)，f Y(y)；() Z=2X-Y 的概率密度 fz(z)；() （分数：11.00）_考研数学三-123 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 X1，X 2，X n为来自总体，N(， 2)的简体随机样本， 为样本均值，记则服从自由度为 n-1 的 t 分布的随
7、机变量是_（分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点提示 利用 t 分布的典型模式易得结果解题分析 因 X1，X 2，X n为来自总体 N(， 2)的简单随机样本，*为样本均值，由正态总体抽样分布的性质知，*并且 U，V 相互独立，于是*服从自由度为 n-1 的 t 分布故应选 B评注 1 本题主要考查常用统计量的分布性质和 t 分布的结构评注 2 统计量的分布问题是常考题型之一，要求熟练掌握三种常见分布的定义：*分布，t 分布和 F分布，然后将待讨论的问题转化为三种标准定义形式之一即可评注 3 正态总体 XN(， 2)的三个抽样分布：*这是常考知识点，应当牢记2.在电炉上安装了 4 个温
8、控器，其显示温度的误差是随机的, 在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度 t0，电炉就断电, 以 E 表示事件“电炉断电”，设 T(1)T (2)T (3)T (4)，为 4 个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件 E 等于_.（分数：4.00）A.T(1)T 0B.T(2)T 0C.T(3)T 0 D.T(4)T 0解析：考点提示 事件的等价性解题分析 由题设，已知 T(1)T (2)T (3)T (4)，因此* 所以*3.设 ，则下列级数中绝对收敛的是_（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点提示 对于 D，可由比较判别法证明是收敛的，对于 A，B，C 均可举出
9、反例，它们不一定收敛解题分析 由*，得*而级数*收敛，所以级数*绝对收敛故应选 D评注 令*条件收敛可排除 A，B，C令*不绝对收敛，可排除 B4.设 f(x)在(-，+)内有定义，且（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点提示 连续性、间断点解题分析 本题考查连续性及问断点的定义，由题设，*如果 a=0，则 g(x)在 x=0 处连续；如果a0，则 g(x)在 x=0 处不连续且 x=0 为第一类间断点所以选 D5.设 1， 2， 3是四元非齐次方程组 Ax=b 的三个解向量，且秩 r(A)=3， 1=(1，2，3，4)T， 2+ 3=(0，1，2，3) T，c 表示任意常数，则线性方
10、程组 Ax=b 的通解 x=_（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点提示 线性方程组解的结构解题分析 由题设，Ax=b 的系数矩阵 A 的秩为 3因此 Ax=0 的基础解系中只含 1 个解向量，由于已知A 1=b，A 2=b，A 3=b，从而A(2 1)-A( 2+ 3)=2b-2b=0，则 A(2 1- 2- 3)=0，即 2 1- 2- 3=(2，3，4，5) T是 Ax=0 的解且(2，3，4，5) T0，因而可作为 Ax=0 的基础解系，所以Ax=b 的通解为 1+c(2，3，4，5) T，即*，所以选 C6.将一枚硬币重复掷 n 次，以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上
11、的次数，则 X 和 Y 的相关系数等于_A-1 B0 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点提示 相关系数解题分析 由题设知 X 与 Y 均服从二项分布，且 X+Y=n，设掷一次硬币正面向上的概率为 p(0p1)，则反面朝上的概率为 q=1-p，则XB(n，p)，YB(N，1-p)，因而 E(X)=np且 E(Y)=n(1-p)，D(X)=np(1-p)，且 D(Y)=np(1-p)已知 X+Y=n，因此E(XY)=EX(n 一 X)=EnX-X2=nE(X)-E(X2)=nE(X)-D(X)+(E(X)2=n2p-np(1-p)-n2p2，所以cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E
12、(Y)=n 2p-np(1-p)-n2p2-n2p(1-p)=-np(1-p)，故*选 A评注 由于 X+Y=n，则 Y=-X+n，即 X 与 Y 之间存在线性关系，且一次项的系数-10，因此直接可知 p=-17.n 阶方阵 A 具有 n 个不同的特征值是 A 与对角阵相似的_（分数：4.00）A.充分必要条件B.充分而非必要条件 C.必要而非充分条件D.既非充分也非必要条件解析：考点提示 矩阵对角化的条件解题分析 若 n 阶方阵 A 有 n 个不同的特征值，则一定有 n 个线性无关的特征向量，从而必相似于对角矩阵，但反之不成立因此 n 阶矩阵 A 具有 n 个不同的特征值是 A 与对角矩阵相
13、似的充分而非必要条件故应选 B评注 矩阵 A 可对角化的充分条件是 A 有 n 个不同特征值或 A 为实对称阵；A 可对角化的充要条件是 A有 n 个线性无关的特征向量8.设 f(x)在a，b上连续，且 f(a)0，f(b)0，则下列结论中错误的是_（分数：4.00）A.至少存在一点 x0(a，b)，使得 f(x0)f(a)B.至少存在一点 x0(a，b)，使得 f(x0)f(b)C.至少存在一点 x0(a，b)，使得 f(x0)=0D.至少存在一点 x0(a，b)，使得 f(x0)=0 解析：考点提示 导数的定义、连续函数的介值定理解题分析 由已知，f(a)0，则*，从而存在 10，当 x(
14、a，a+ 1)时，f(x)f(a)；f(b)0，则*，从而 20，当 x(b- 2，b)时，f(x)f(b)至此可知 A，B 正确又由已知 f(x)在a，b上连续，及 f(a)0，f(b)0，则由连续函数的介值定理知存在一点 x0(a，b)，使得 f(x0)=0，故 C 也正确关于 D，若令a，b=-1，1，f(x)=2-x 2，则 f(x)=-2x 且 f(-1)=20 及 f(1)=-20，但 f(x)0，所以 D 错误选 D二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.极限 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：考点提示 数列的极限解题分析 令*当 n=2k(kN)时，
15、*当 n=2k-1(kN)时，*所以*10.设(x 0，y 0)是抛物线 y=ax2+bx+c 上的一点，若在该点的切线过原点，则系数应满足的关系是_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：或 ）解析：考点提示 先求出过点(x 0，y 0)的切线方程，再将原点坐标代入切线方程即可解题分析 y=2ax+b，y(x 0)=2ax0+b，过(x 0，y 0)点的切线方程为y-y0=(2ax0+b)(x-x0)，即*此切线过原点，把 x=y=0 代入上式，得*所以系数应满足的关系式为*或*任意11.设 4 阶方阵 A 的秩为 2，则其伴随矩阵 A*/sup的秩为_（分数：4.00）填空项 1:_
16、 （正确答案：0）解析：考点提示 利用 A*的定义和矩阵秩的定义即得解题分析 由题设，4 阶方阵 A 的秩为 2，因此 A 的所有 3 阶子式均为 0，从而所有元素的代数余子式均为 0，即 A*=0，故 r(A*)=0评注 *12.设（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：x=(1，0，0)T）解析：考点提示 利用克莱姆法则求解，并注意行列式的特点解题分析 由于*，故知 ATx=B 有唯一解，且由克莱姆法则知唯一解为*，j=1，2，n，其中 D，是把|AT|中第 j 列元素用 B 代替后所得行列式，显然D1=|AT|，D 2=Dn=0故线性方程组 ATx=B 的解为 x=(1，0，0)T
17、评注 本题的唯一解也可写成 x=(AT)-1B，但(AT)-1 无法计算出来本题主要考查克莱姆法则13.一射手对同一目标独立地进行 4 次射击，若至少命中一次的概率 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 这是一个 4 重贝努利概型试验，从而可利用二项分布求解解题分析 设该射手的命中率为 p，X 表示射手对同一目标独立地进行 4 次射击中命中目标的次数，则 XB(4，p)，由题设：*而 PX1=1-PX=1=1-(1-p)4，故*解得*故应填*。评注 本题主要考查贝努利概型的概率计算公式，n 次独立重复试验中 A 发生 k 次的概率为*遇到“至少”“至多”这种说法时可
18、以考虑用对立事件简化计算14.设随机变量 X 的概率密度函数为以 Y 表示对 X 进行三次独立重复观察中事件 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 这是一个独立重复试验，利用二项分布来计算解题分析 因为*则 Y 服从参数为 n=3，*的二项分布，因此所求概率*评注 本题主要考查了连续型随机变量以及产生二项分布的概型贝努利概型三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.从 0，1，2，9 十个数字中任意选出三个不同的数字，求下列事件的概率：A 1=三个数字中不含 0 与 5；A 2=三个数字中含 0 但不含 5)（分数：9.00）_正确答案：(因为不必考虑三个数字
19、的顺序，故按组合计算详解 1 基本事件总数有利于 A1 的基本事件数有利于 A2 的基本事件数 ，故详解 2 设 B=三个数字中不含 0，C=三个数字中不含 5则)解析：考点提示 随机事件的概率评注 本题考查古典概型概率的计算可以直接计算(注意理解“和”、“但”的含义)，也可借助事件的关系和概率的性质计算16.设 （分数：9.00）_正确答案：(因为所以 f(0-0)=f(0+0)=f(0)=1，即 f(x)在 x=0 处连续可导性因为)解析：考点提示 函数的连续性、可导性17.沿试补充定义 f(1)，使得 f(x)在 （分数：11.00）_正确答案：(由题设，需补充 f(x)在 x=1 处的
20、定义因为令 y=1-x，则当 x1-1 时，y0+，则因此补充定义 ，就使得 f(x)在 )解析：考点提示 函数的连续性、无穷小代换、洛必达法则18.设函数 f(x)可导，且 （分数：11.00）_正确答案：(作变量代换 xn-tn=u，则 du=-ntn-1dt，于是于是)解析：考点提示 利用洛必达法则，分子部分 F(x)求导之前，必须作变换，把 x 换到积分号外或积分限上去，这可通过变量代换 u=xn-tn 实现评注 1 本题综合考查了变限积分求导，洛必达法则及用函数在一点处导数的定义反求极限等多个知识点，但核心步骤是先换元评注 2 一般来说，被积函数的中间变量是非积分变量时均应先考虑换元
21、即对变限积分*，一般应先作变量代换 u=(x，t)，再用求导公式*19.试证明：n 维列向量组 A=( 1， 2， n)线性无关的充分必要条件是其中 （分数：10.00）_正确答案：( )解析：考点提示 如令 A=( 1， 2， n)，则有 D=|TA|，再由向量组 1， 2， n 线性无关的充要条件是|A|0 即可证明评注 设 1， 2， n 是 n 维实列向量，A=( 1， 2， n)，则向量组( 1， 2， n)线性无关*的特征值全不为零*正定20.设线性方程组（分数：11.00）_正确答案：(因为方程组(1)，(2)有公共解，则可组成如下方程组：因为方程组(3)的增广矩阵所以当 a=1
22、 或 a=2 时，(1)与(2)有公共解当 a=1 时，方程组(3)化为 公共解为当 a=2 时方程组(3)化为 公共解为 )解析：考点提示 线性方程组的解21.设 3 阶对称矩阵 A 的特征向量值 1 一 1， 2=2， 3=-2，又 1=(1，-1，1)T 是 A 的属于 1 的一个特征向量记 B=A5-4A3+E，其中 E 为 3 阶单位矩阵() 验证 1 是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量；() 求矩阵 B（分数：11.00）_正确答案：() 容易验证 ，于是于是-2 是矩阵 B 的特征值，k 1 1 是 B 属于特征值-2 的全部特征向量(k 1R，非零)同理可
23、求得矩阵 B 的另外两个特征值 1，1因为 A 为实对称矩阵，则 B 也为实对称矩阵，于是矩阵 B 属于不同特征值的特征向量正交设 B 的属于 1 的特征向量为(x 1，x 2，x 3)T，则有方程 x1-x2+x3=0于是求得 B 的属于 1 的全部特征向量为 =k 2 2+k3 3，其中 2=(-1，0，1)T， 3=(1，1，0)T，k 2，k 3R，不全为零() 令矩阵 ，则 P-1BP=diag(-2，1，1)，于是)解析：考点提示 矩阵的特征向量与特征值22.设 X1，X 2，X n 是总体为 N(，2)的简单随机样本，记（分数：11.00）_正确答案：()由题设有故知 T 是 2
24、 的无偏估计量() 因为 u=0，=1，所以 ，则记 ，则则又 ，则D(n-1)S2=(n-1)2D(S2)=2(n-1)，于是 ，从而有 故)解析：考点提示 简单随机样本的无偏估计量及随机变量的数字特征23.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为求：()(X，Y)的边缘概率密度 fX(x)，f Y(y)；() Z=2X-Y 的概率密度 fz(z)；() （分数：11.00）_正确答案：(根据题意可得() 记 FZ(Z)为 z 的分布函数，D=(x，y)|0x1，0y2x，D1=(x，y)|0x1，Y0，2x-yz0，根据题意可知(X，Y)服从 D 上的均匀分布D 1 是 D 的子区域，于是由右图可知，当 0z2 时，有当 z0 时，有 FZ(z)=0；当 z2 时，有 FZ(z)=1所以 z 的概率密度为() 如图，记 ，则 D2 是一个直角梯形，且于是记 ，有所以)解析：考点提示 二维随机变量的概率密度
