1、考研数学三-120 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)=|x(1-x)|，则_（分数：4.00）A.x=0 是 f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线 y=f(x)的拐点B.x=0 不是 f(x)的极值点，但(0, 0)是曲线 y=f(x)的拐点C.x=0 是 f(x)的极值点，但(0，0)也是曲线 y=f(x)的拐点D.x=0 不是 f(x)的极值点，(0，0)也不是曲线 y=f(x)的拐点2.设向量组() 1， 2， s，其秩为 r1，向量组() 1， 2， s，其秩为 r2，且 i(i=1，2，s)均可以由 1
2、， s线性表示，则_（分数：4.00）A.向量组 1+ 1， 2+ 2， s+ s的秩为 r1+r2B.向量组 1- 1， 2- 2， s- s的秩为 r1-r2C.向量组 1， 2， s， 1， 2， s的秩为 r1+r2D.向量组 1， 2， s， 1， 2， s的秩为 r13.设 f(x)=xsinx+cosx，下列命题中正确的是_（分数：4.00）A.B.C.D.4.设 n 个随机变量 X1，X 2，X n独立同分布且 ，S 2=（分数：4.00）A.B.C.D.5.设 f(x)=3x3+x2|x|，则使 f(n)(0)存在的最高阶数 n 为_（分数：4.00）A.0B.1C.2D.3
3、6.设 A 为反对称矩阵，且|A|0，B 可逆，A、B 为同阶方阵，A *为 A 的伴随矩阵，则A TA*(B-1)T-1=_（分数：4.00）A.B.C.D.7.设 f(x)是连续函数，F(x)是 f(x)的原函数，则_（分数：4.00）A.当 f(x)是奇函数时，F(x)必为偶函数B.当 f(x)是偶函数时，F(x)必为奇函数C.当 f(x)是周期函数时，F(x)必为周期函数D.当 f(x)是单调增加函数时，F(x)必为单调增函数8.曲线 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设矩阵 （分数：4.00）填空项 1:_10.设随机变量 X 和 Y 的
4、相关系数为 0.9，若 Z=X-0.4，则 Y 与 Z 的相关系数为_（分数：4.00）填空项 1:_11.设函数 f(x)在 x=2 的某邻域内可导，且 f(x)=ef(x)，f(2)=1，则 f“(2)=_（分数：4.00）填空项 1:_12.设总体 X 服从参数为 2 的指数分布，X 1，X 2，X n为来自总体 X 的简单随机样本，则当 n时，（分数：4.00）填空项 1:_13.设 （分数：4.00）填空项 1:_14.设行向量组(2，1，1，1)，(2，1，a，a)，(3，2，1，a)，(4，3，2，1)线性相关，且 a1，则a=_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数
5、：9，分数：94.00)15.设 A 为 n 阶矩阵， 1和 2是 A 的两个不同的特征值，x 1x 2是分别属于 1和 2的特征向量试证明：x 1+x2不是 A 的特征向量（分数：9.00）_16.设随机变量 X 与 Y 相互独立，X 的概率分布为 ，Y 的概率密度为（分数：9.00）_17.设矩阵 A 与 B 相似，其中（分数：11.00）_18.设函数 f(x)在0，3上连续，在(0，3)内可导，且 f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1，试证必存在(0，3)，使 f()=0（分数：11.00）_19.设某酒厂有一批新酿的好酒，如果现在(假定 t=0)就售出，总收入为 R0(元)
6、如果窑藏起来待来日按陈酒价格出售，t 年末总收入为（分数：10.00）_20.已知连续函数 f(x)满足条件 （分数：11.00）_21.假设曲线 l1:y=1-x2(0x1)与 x 轴、y 轴所围成区域被曲线 l2:y=ax2分为面积相等的两部分，其中a 是大于零的常数，试确定 a 的值（分数：11.00）_22.设矩阵 （分数：11.00）_23.一台设备由三大部分构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为 0.10、0.20 和 0.30假设各部件的状态相互独立，以 X 表示同时需要调整的部件数试求 X 的概率分布、数学期望 E(X)和方差D(X)（分数：11.00）_考研数学三-12
7、0 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)=|x(1-x)|，则_（分数：4.00）A.x=0 是 f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线 y=f(x)的拐点B.x=0 不是 f(x)的极值点，但(0, 0)是曲线 y=f(x)的拐点C.x=0 是 f(x)的极值点，但(0，0)也是曲线 y=f(x)的拐点 D.x=0 不是 f(x)的极值点，(0，0)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析：考点提示 极值点、拐点解题分析 本题考查极值点与拐点的定义，若严格采用解析方法分析，f(x)与 f“(x)在 x=0 左、右侧的性质较为
8、繁琐，由于 f(x)=|x(1-x)|是二次函数加绝对值符号，图形不难作出，可由此直接判断，如右图所示f(0)=0 且 f(0)为极小值，而在 x=0 左侧，f(x)下凸，在 x=0 右侧，f(x)上凸，因此(0，0)为y=f(x)之拐点，综上选 C*2.设向量组() 1， 2， s，其秩为 r1，向量组() 1， 2， s，其秩为 r2，且 i(i=1，2，s)均可以由 1， s线性表示，则_（分数：4.00）A.向量组 1+ 1， 2+ 2， s+ s的秩为 r1+r2B.向量组 1- 1， 2- 2， s- s的秩为 r1-r2C.向量组 1， 2， s， 1， 2， s的秩为 r1+r
9、2D.向量组 1， 2， s， 1， 2， s的秩为 r1 解析：考点提示 向量组的秩解题分析 设 a1，a 2，*为 1， 2， s的极大线性无关组，则它也是 1， 2， s， 1， 2， s的极大线性无关组，所以 D 结论成立3.设 f(x)=xsinx+cosx，下列命题中正确的是_（分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点提示 函数的极大值、极小值解题分析 因为 f(x)在*上可导，f(x)=xcosx0 在区间*上成立，f(x)0 在*上成立，所以函数 f(x)在区间*上单调增加，在*上分别单调递减，所以 f(0)是极小值，*是极大值故选 B4.设 n 个随机变量 X1，X 2，
10、X n独立同分布且 ，S 2=（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点提示 随机变量的无偏估计量解题分析 因为*由辛钦大数定律可知*根据依概率收敛的性质可知*所以*故选 C5.设 f(x)=3x3+x2|x|，则使 f(n)(0)存在的最高阶数 n 为_（分数：4.00）A.0B.1C.2 D.3解析：考点提示 分段函数的高阶导数解题分析 因 3x3处处任意阶可导，只需考查 x2|x|=(x)，它是分段函数，x=0 是连接点*又*即*同理可得*即*因 y=|x|在 x=0 处不可导*“(0)不存在应选 C6.设 A 为反对称矩阵，且|A|0，B 可逆，A、B 为同阶方阵，A *为 A 的
11、伴随矩阵，则A TA*(B-1)T-1=_（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点提示 矩阵的计算解题分析 *7.设 f(x)是连续函数，F(x)是 f(x)的原函数，则_（分数：4.00）A.当 f(x)是奇函数时，F(x)必为偶函数 B.当 f(x)是偶函数时，F(x)必为奇函数C.当 f(x)是周期函数时，F(x)必为周期函数D.当 f(x)是单调增加函数时，F(x)必为单调增函数解析：考点提示 函数的单调性、奇偶性解题分析 排除法分别举反例如下：B 的反例：取 f(x)=cosxF(x)=sinx+1 不是奇函数C 的反例：取 f(x)=cosx+1，F(x)=sinx+x 不是
12、周期函数D 的反例：取 f(x)=x，*，不是单调增函数所以，应选 A也可以直接证明 A 正确f(x)的全体原函数 F(x)可表示为*。于是*故应选 A点评 设 f(x)是(-，+)上的连续函数，可得如下结论：(1) 若 f(x)是奇函数，则 f(x)的每个原函数都是偶函数(2) 若 f(x)是偶函数，则 f(x)有且仅有一个原函数*是奇函数(3) 若 f(x)是以 T0 为周期的周期函数，则 f(x)的任一原函数必为一个一次函数与一个以 T 为周期函数之和；若进一步设*，则 f(x)的每个原函数都是以 T 为周期的周期函数8.曲线 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点提示 渐近线的
13、求法解题分析 *，则 x=0 是曲线的垂直渐近线；*，则 y=0 是曲线的水平渐近线；*，则 y=x 是曲线的斜渐近线故应选 D二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设矩阵 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-3）解析：考点提示 矩阵的秩解题分析 由题设 r(A)=3，则|A|=0，即*从而 k=-3 或 k=1当 k=1 时，*则 r(A)=1，与已知矛盾，所以 k=-310.设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 0.9，若 Z=X-0.4，则 Y 与 Z 的相关系数为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0.9）解析：考点提示 相关系数解题分析 本题考查相关系
14、数的定义，由题设，D(Z)=D(X)，cov(Z，Y)=cov(X-0.4，Y)=E(X-0.4-E(X-0.4)(Y-E(Y)=E(X-E(X)(Y-E(Y)=cov(X，Y)，因此*11.设函数 f(x)在 x=2 的某邻域内可导，且 f(x)=ef(x)，f(2)=1，则 f“(2)=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2e 3）解析：考点提示 一元复合函数求导法则解题分析 已知 f(x)在 x=2 的某邻域内可导，且 f(x)=ef(x)，所以 f(x)在 x=2 的同一邻域内可导，即在该邻域内函数f(x)二阶可导，且f“(x)=ef(x)=f(x)ef(x)=e2f(x)
15、于是 f“(x)也在 x=2 的同一邻域内可导，即在该邻域内函数 f(x)三阶可导，且f“(x)=e2f(x)=2f(x)e2f(x)=2e3f(x)将 f(2)=1 代入可得 f“(2)=2e312.设总体 X 服从参数为 2 的指数分布，X 1，X 2，X n为来自总体 X 的简单随机样本，则当 n时，（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 大数定律解题分析 由题设，X 1，X 2，X n独立同分布，从而*也独立同分布，且*由此*服从大数定律，即*，*因此*依概率收敛于*。13.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：考点提示 导数的连续性解题
16、分析 由题设。当 x0 时，*当 x=0 时，*又*因此，当 2 时，*，即 f(x)在 x=0 处连续所以 的取值范围是 214.设行向量组(2，1，1，1)，(2，1，a，a)，(3，2，1，a)，(4，3，2，1)线性相关，且 a1，则a=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 向量组的线性相关性解题分析 n 个 n 维向量线性相关*| 1， 2 n|=0根据题意有*因为 a1，所以*。三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 A 为 n 阶矩阵， 1和 2是 A 的两个不同的特征值，x 1x 2是分别属于 1和 2的特征向量试证明：x 1+x2不是
17、 A 的特征向量（分数：9.00）_正确答案：(设 x1+x2是 A 的属于某个特征值 的特征向量则A(x1+x2)=(x 1+x2)由已知，Ax1= 1x1，Ax 2= 2x2， 1 2，所以 A(x1+x2)=Ax1+Ax2= 1x1+ 2x2，于是 1x1+ 2x2=(x 1+x2)，从而( 1-)x 1+( 2-)x 2=0即 1= 2，这与假设矛盾所以 x1+x2不是 A 的特征向量)解析：考点提示 可用反证法，涉及抽象矩阵的特征值、特征向量的问题时往往从定义着手分析评注 这种否定论述的命题往往用反证法证明是最方便的16.设随机变量 X 与 Y 相互独立，X 的概率分布为 ，Y 的概
18、率密度为（分数：9.00）_正确答案：(因为 Z=X+Y所以() 因为 Z=X+Y，故随机变量 Z 的分布函数F(z)=PZz=PX+Yz显然当 z2 时，X，Y 的所有取值均满足上式，即 F(z)=1；相反当 z-1 时，X，Y 只能取空值，则有 F(z)=0；而当-1z2 时，当-1z0 时，当 0z1 时，当 1z2 时，故可得到随机变量 Z 的分布函数和概率密度分别为)解析：考点提示 随机变量的条件概率与概率密度17.设矩阵 A 与 B 相似，其中（分数：11.00）_正确答案：(1) 因为 A 与 B 相似，故其特征多项式相同，即|E-A|=|E-B|，(+2) 2-(x+1)+(x
19、-2)=(+1)(-2)(-y)，令 =0，得 2(x-2)=2y，即 y=x-2，令 =1，得 y=-2，从而 x=0(2)由(1)知对应于 A 的特征值-1、2、-2 的特征向量分别为 1=(0，2，-1) T， 2=(0，1，1) T， 3=(1，0，-1) T，则可逆矩阵 )解析：考点提示 由此可定出参数 x，y若 A 与 B 相似，则|E-A|=|E-B|对所有 均成立评注 若 A 与 B 相似，则有|E-A|=|E-B|，|A|=|B|，r(A)=r(B)，一般由以上三个等式求出 A、B 中所含的未知参数18.设函数 f(x)在0，3上连续，在(0，3)内可导，且 f(0)+f(1
20、)+f(2)=3，f(3)=1，试证必存在(0，3)，使 f()=0（分数：11.00）_正确答案：(由题设，f(x)在0，3上连续，则 f(x)在0，2上也必然连续，则在0，2上 f(x)必有最大值 M 和最小值 m，因而 mf(0)M，mf(1)M，mf(2)M，从而由连续函数的介值定理，知存在一点 0，2，使由已知条件 f(0)+f(1)+f(2)=3，可推知 f()=1，因此f()=f(3)=1，0，2由罗尔定理，知存在 )解析：考点提示 介值定理、微分中值定理19.设某酒厂有一批新酿的好酒，如果现在(假定 t=0)就售出，总收入为 R0(元)如果窑藏起来待来日按陈酒价格出售，t 年末
21、总收入为（分数：10.00）_正确答案：(由题设，知年利率为 r，则由连续复利公式，现时本金 A 元，则到 t 年时本金利息合计应为R(t)=Aen，因此要使 t 年时本金利息合计为 R(t)，则现时本金应为 A(t)=R(t)e-n，已知这批酒窖藏 t 年末售出总收入 R 的现值为 A(t)=Re-rt，又已知 ，从而且所以 是 A 的极大值点，从而也就是最大值点，即应窖藏 售出，当 r=0.06 时， )解析：考点提示 一元函数的最值20.已知连续函数 f(x)满足条件 （分数：11.00）_正确答案：(方程 两边对 x 求导得f(x)=3f(x)+2e2x，即 f(x)-3f(x)=2e
22、2x，令 x=0，由原方程得 f(0)=1于是，原问题就转化为求微分方程 f(x)-3f(x)=2e2x满足初始条件 f(x)=1 的特解由一阶线性微分方程的通解公式，得)解析：考点提示 先在等式两边对 x 求导，消去变限积分，将原方程化为关于未知函数 f(x)的微分方程，再求解该微分方程21.假设曲线 l1:y=1-x2(0x1)与 x 轴、y 轴所围成区域被曲线 l2:y=ax2分为面积相等的两部分，其中a 是大于零的常数，试确定 a 的值（分数：11.00）_正确答案：(如图，由 得曲线 l1与曲线 l2的交点为 ，所求平面图形面积为因为 S1=S2，所以 ，得 a=3)解析：考点提示
23、先求出曲线 l1与曲线 l2的交点，然后利用定积分求平面图形面积的公式计算出 S1和S2由 S1=S2求 a 的值评注 本题是利用定积分求面积的基本题型，只是以反问题的形式出现，即已知面积的关系反求参数a，这种出题方式应引起注意22.设矩阵 （分数：11.00）_正确答案：(1) 因为当 =3 时，代入上式解得 y=2于是(2) 方法一 由 AT=A，得(AP) T(AP)=PTA2P，而矩阵考虑二次型令 y1=x1，y 2=x2 ，y 4=x4，得取则有方法二 先求出 A2的特征值 1=1(三重)， 2=9对应于 1=1 的特征向量为 1=(1，0，0，0) T， 2=(0，1，0，0) T
24、， 3=(0，0，-1，1) T经正交并单位化后，得向量组 1=(1，0，0，0) T， 2=(0，1，0，0) T对应于 2=9 的特征向量为 4=(0，0，1，1，) T，经单位化后，得令则 )解析：考点提示 由定义有|3E-A|=0，由此可定出参数 y考虑到 A2为对称矩阵，而(AP) T(AP)=PTA2P，化其对角矩阵方法有两种：转化为对应二次型 xTA2x，通过非退化线性变换 x=Py 化为标准形，相应求出P；或者求出 A2的特征值、单位化，最后构造出正交矩阵 P，本题所求 P 不唯一评注 将一个实对称矩阵化为对角阵可用二次型的配方法也可用正交变换法，但两者是有本质区别的用配方法得
25、到的对角阵的对角线上的元素不一定是矩阵特征值，得到的可逆矩阵 P 也不一定是正交的，而正交变换法得到的对角线上的元素一定是矩阵特值，得到可逆矩阵 P 也一定是正交的23.一台设备由三大部分构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为 0.10、0.20 和 0.30假设各部件的状态相互独立，以 X 表示同时需要调整的部件数试求 X 的概率分布、数学期望 E(X)和方差D(X)（分数：11.00）_正确答案：(详解 1 设事件 Ai=部件 i 需要调整，i=1，2，3则 A1，A 2，A 3相互独立，并有P(A1)=0.1，P(A 2)=0.2，P(A 3)=0.3由题意知，X 的所有可能取值为
26、 0，1，2，3且即 X 的概率分布为X 0 1 2 3P 0.504 0.398 0.092 0.006因此 X 的数学期望 E(X)=0PX=0+1PX=1+2PX=2+3PX=3 =00.504+10.398+20.092+30.006 =0.6 又因为 E(X2)=02PX=0+12PX=1)+22PX=2+32PX=3 =00.504+10.398+40.092+90.006 =0.82 所以 X 的方差 D(X)=E(X 2)-E(X)2=0.82-0.62=0.46 详解 2 设 )解析：考点提示 先确定 X 的所有可能取值，然后分别求出每一取值的概率，再按定义求数学期望和方差即可评注 详解 1 思路直观，容易想到；详解 2 借助独立性及其运算性质，思路巧妙
