1、考研数学三-119 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设线性方程组 AX=b 有通解 k1 1+k2 2+ *=k11，2，0，-2 T+k24，-1，-1，-1 T+1，0，-1，1 T，其中k1，k 2是任意常数，则下列向量中也是 AX=b 解向量的是 ( )。（分数：4.00）A. 1=1，2，0，-2 TB. 2=6，1-2，-2 TC. 3=3，1，-2，-4 TD. 4=5，1，-1，-3 T2.设 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 A，B，C 均是三阶方阵，满足 AB=C，其中（分数：4.00）A.B.C.
2、D.4.设 （分数：4.00）A.B.C.D.5.假设事件 A 和 B 满足 1P(B)0，P(A)0，且 P(B|A)=1，则 ( )（分数：4.00）A.B.C.D.6.设随机变量 X 服从标准正态分布，X 1，X 2，X 3，X 4为来自总体 X 的简单随机样本，设（分数：4.00）A.B.C.D.7.下列反常积分发散的是 ( )（分数：4.00）A.B.C.D.8.下述命题：设 f(x)在任意的闭区间 a，b 上连续，则 f(x)在(-，+)上连续设 f(x)在任意的闭区间 a，b 上有界，则 f(x)在(-，+)上有界设 f(x)在(-，+)上为正值的连续函数，则在 (-，+)上也是
3、正值的连续函数设 f(x)在(-，+)上为正值的有界函数，则 （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 （分数：4.00）填空项 1:_10.设 （分数：4.00）填空项 1:_11.微分方程 y“-3y+2y=xex的通解为 y=_（分数：4.00）填空项 1:_12.设 f(x)在 x=a 处存在二阶导数， （分数：4.00）填空项 1:_13.设 A 是 n 阶矩阵，|A|=-2，(A+E) 3=O，则 A*用 A，E 可表为：A *=_（分数：4.00）填空项 1:_14.设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 均服从分布 （分数：4.00）填空
4、项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在-， 上连续，且有（分数：10.00）_16.设曲线 y=ax2(xO，常数 a0)与曲线 y=1-x2交于点 A，过坐标原点 O 和点 A 的直线与曲线 y=ax2围成一平面图形 D()求 D 绕 x 轴旋转一周所成的旋转体体积 V(a)；()求 a 的值使 V(a)为最大（分数：10.00）_17.求|z|在约束条件 （分数：10.00）_18.设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续且具有连续的导数，又设 A0试讨论级数 （分数：10.00）_19.设 D=(x，y)|(x-1) 2+(y-1)2=2)，计算二重积分
5、（分数：10.00）_20.设 有特征向量（分数：11.00）_21. （分数：11.00）_22.3 双不同的鞋共 6 只，现从中一次一个不放回地随机抽取，设抽取第 X 次时恰巧能凑成一双，试求()X 的概率分布；()X 的数学期望（分数：11.00）_23.设随机变量(X，Y)的概率密度为求()常数 k 的值；()(X，y)的边缘密度 fx(x)和 fY(y)；()条件密度 fY|X(y|x)和 fX|Y(x|y)；()PX+Y1 的值（分数：11.00）_考研数学三-119 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设线性方程组 A
6、X=b 有通解 k1 1+k2 2+ *=k11，2，0，-2 T+k24，-1，-1，-1 T+1，0，-1，1 T，其中k1，k 2是任意常数，则下列向量中也是 AX=b 解向量的是 ( )。（分数：4.00）A. 1=1，2，0，-2 TB. 2=6，1-2，-2 T C. 3=3，1，-2，-4 TD. 4=5，1，-1，-3 T解析：已知非齐次线性方程组 AX=b 有通解 k1 1+k1 2+ *，若 i也是解向量，则 i可表示成是k1 1+k2 2+ *的形式，由观察(A) 1= 1是对应齐次方程组的解，(D) 4= 1+ 2，也是对应齐次方程组的解，故(A)，(D)应排除 2，
7、3是否是 AX=b 的解，即考查是否存在 k1，k 2，使得 2=k1 1+k2 2+ * 3=k1 1+k2 2+ *即 2- *=k1 1+k2 2 3- *=k1 1+k2 2有解* 知： 2- *可由 1， 2线性表出， 2 是 AX=b 的解向量，应选(B)( 2- *不能由 1， 2线性表出， 3 不是 Ax=b 的解)注 本题一般应判别 1- *， 2- *， 3- *， 4- *中哪个向量可由 1， 2表出(即哪个是对应齐次方程组的解)来作出相应的选择2.设 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：*3.设 A，B，C 均是三阶方阵，满足 AB=C，其中（分数：4.00）A.
8、B.C. D.解析：显然 r(C)=1因*当 a-1 时，有 r(B)=3B 可逆，因 AB=C，故 r(A)=r(AB)=r(C)=1故应选(C)因(C)成立，显然(D)不能成立，(A)，(B)也不能成立，可举例如下：*4.设 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：*5.假设事件 A 和 B 满足 1P(B)0，P(A)0，且 P(B|A)=1，则 ( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：*6.设随机变量 X 服从标准正态分布，X 1，X 2，X 3，X 4为来自总体 X 的简单随机样本，设（分数：4.00）A. B.C.D.解析：*即 y y1- =17.下列反常积分发散的是
9、( )（分数：4.00）A. B.C.D.解析：通过具体计算，*两个积分中只要有一个发散，就说该积分发散选(A)8.下述命题：设 f(x)在任意的闭区间 a，b 上连续，则 f(x)在(-，+)上连续设 f(x)在任意的闭区间 a，b 上有界，则 f(x)在(-，+)上有界设 f(x)在(-，+)上为正值的连续函数，则在 (-，+)上也是正值的连续函数设 f(x)在(-，+)上为正值的有界函数，则 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：与是正确的，与是不正确的，正确的个数为 2是正确的，理由如下：设 x0(-，+)，则它必含于某区间 a，b 中由题设 f(x)在任意闭区间a，b 上连续，故
10、在 x0处连续，所以在(-，+)上连续论证的关键是：函数 f(x)的连续性是按点来讨论的在区间上每一点连续，就说它在该区间上连续函数 f(x)在 a，b 上有界性的“界”是与区间有关的例如 f(x)=x 在区间 a，b*二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：由 f(x)的表达式，有*最后，分别写出自变量的取值范围，易见第 4 式中*与 x1 的交集为空集，最后化简如上所填10.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：11.微分方程 y“-3y+2y=xex的通解为 y=_（分数：4.00）填空项 1:_ （
11、正确答案：y=*）解析：对应的齐次方程的通解为*设原方程的一个特解为 y*=x(Ax+B)ex，代入方程左边，求得*，所以通解如上所填12.设 f(x)在 x=a 处存在二阶导数， （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*13.设 A 是 n 阶矩阵，|A|=-2，(A+E) 3=O，则 A*用 A，E 可表为：A *=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2(A 2+3A+3E)）解析：由题设(A+E) 3=O，即A3-3A2+3A+E=O，A(A2+3A+3E)=-E (*)由(*)式知 A 可逆，且 A-1=(A2+3A+3E)故 A *=|A|A-1=2(A
12、2+3A+3E)或(*)式两边左乘 A*得A*A(A2+3A+3E)=-A*，A*=-A*A(A2+3A+3E)=-|A|(A2+3A+3E)=2(A2+3A+3E)14.设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 均服从分布 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：*三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在-， 上连续，且有（分数：10.00）_正确答案：(*)解析：16.设曲线 y=ax2(xO，常数 a0)与曲线 y=1-x2交于点 A，过坐标原点 O 和点 A 的直线与曲线 y=ax2围成一平面图形 D()求 D 绕 x 轴旋转一周所成的旋转体体积 V(
13、a)；()求 a 的值使 V(a)为最大（分数：10.00）_正确答案：(*)解析：17.求|z|在约束条件 （分数：10.00）_正确答案：(|z|的最值点与 z2的最值点一致用拉格朗日乘数法，作F(x，y，z，)=z 2+(x 2+9y2-2z2)+(x+3y+3z-5)*)解析：18.设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续且具有连续的导数，又设 A0试讨论级数 （分数：10.00）_正确答案：(*)解析：19.设 D=(x，y)|(x-1) 2+(y-1)2=2)，计算二重积分 （分数：10.00）_正确答案：(方法 1 在极坐标系中，(x-1) 2+(y-1)2=2 化为*方法 2 用
14、直角坐标，*)解析：20.设 有特征向量（分数：11.00）_正确答案：(*()A 是 33 的非零矩阵( 11=10)，r(A)1A 1=0，A 2=0，且 1， 2善 z 线性无关，所以 r(A)1则 r(A)=1， 1， 2是 AX=0 的基础解系又因 A 3=(-1) 3，故 A(- 3)= 3，AX= 3有特解- 3，从而 AX= 3的通解为 k1 1+k2 2- 3，其中 k1，k 2是任意常数()方法一 直接由题设条件定出未知的 aij从而求出 A因 r(A)=1，故(a 21，a 22，a 23)=k(1，-2，3)；(a31，a 32，a 33)=l(1，-2，3)，*方法二
15、 利用 A 的相似对角阵求 AA 有三个线性无关特征向量，取*)解析：注 本题也可选由()求出 A，再解()求方程组 AX= 321. （分数：11.00）_正确答案：(A TA)T=AT(AT)T=ATA 是对称阵当 sn 时A 的列向量组线性相关(向量个数 s向量的维数)，故 AX=0 有非零解，即存在 X0，使得 AX=0，从而使 XTATAX=0，故 sn 时，A TA 不正定当 s=n 时，范德蒙行列式|A|0，A 是可逆阵，根据矩阵正定的充分必要条件，A TA 是正定阵当 sn 时，A 的列向量组线性无关(s=n 时，A 的列向量组线性无关，减少向量个数仍线性无关)，Ax=0 有唯
16、一零解，即任给 XO，均有 AX0，从而有(Ax) TAX=XTATAX0，从而 ATA 是正定阵故当 sn 时，A TA 是正定阵)解析：22.3 双不同的鞋共 6 只，现从中一次一个不放回地随机抽取，设抽取第 X 次时恰巧能凑成一双，试求()X 的概率分布；()X 的数学期望（分数：11.00）_正确答案：(X=2 时，先后抽取两只就成一双总的情况：第一只鞋有 6 种取法，第二只鞋有 5 种取法，总共有 65 种可能第一只鞋有 6 种可能，但第二只鞋必须同第一只配对，只有一种取法总共有 61种可能所以*当 X=3 时，第一只 6 种可能，第二只不能取与第一只配对的那只鞋故只余下 4 种可能，第三只取的必然是同第一只或第二只配对，故*)解析：总共有三双鞋，所以最多取到第四只时必有成双的因此 X 的可能取值为 2，3，4在分别计算出取这些值的概率后，X 的期望就不难求出23.设随机变量(X，Y)的概率密度为求()常数 k 的值；()(X，y)的边缘密度 fx(x)和 fY(y)；()条件密度 fY|X(y|x)和 fX|Y(x|y)；()PX+Y1 的值（分数：11.00）_正确答案：(*()*)解析：*
