1、考研数学三-116 及答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.设 f(x)是连续函数,且 (分数:4.00)A.B.C.D.2.设两个随机变量 X 与 Y 相互独立且同分布:下列各式中成立的是_(分数:4.00)A.B.C.D.3.设 A 为 3 阶矩阵将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B,再将 B 的第 1 列的-1 倍加到第 2 列得 C记(分数:4.00)A.B.C.D.4.已知 的收敛半径 R=1,则 (分数:4.00)A.B.C.D.5.设 f(x)为不恒等于零的奇函数,且 f(0)存在,则函数 (分数:4.00)A.B.
2、C.D.6.设 F1(x)与 F2(x)分别为随机变量 X1与 X2的分布函数为使 F(x)=aF1(x)-bF2(x)是某一随机变量的分布函数,在下列给定的各组数值中应取_(分数:4.00)A.B.C.D.7.设 f(x,y)与 (x,y)均为可微函数,且 y(x,y)0已知(x 0,y 0)是 f(x,y)在约束条件 (x,y)=0 下的一个极值点,下列选项正确的是_(分数:4.00)A.若 fx(x0,y 0)=0,则 fy(x0,Y 0)=0B.若 fx(x0,y 0)=0,则 fy(x0,Y 0)0C.若 fx(x0,y 0)0,则 fy(x0,Y 0)=0D.若 fx(x0,y 0
3、)0,则 fy(x0,Y 0)08.设非齐次线性微分方程 y+P(x)y=Q(x)有两个不同的解 y1(x),y 2(x),C 为任意常数,则该方程的通解是_(分数:4.00)A.Cy1(x)-y2(x)B.y1(x)+Cy1(x)-y2(x)C.Cy1(x)+y2(x)D.y1(x)+Cy1(x)+y2(x)二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9.设常数 (分数:4.00)填空项 1:_10.设 (分数:4.00)填空项 1:_11.设矩阵 A,B 满足 A*BA=2BA-8E,其中 (分数:4.00)填空项 1:_12.若线性方程组(分数:4.00)填空项 1:_13.设二维随机变量
4、(X,Y)的概率分布为(分数:4.00)填空项 1:_14.设总体 X 的概率密度为 (分数:4.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:9,分数:94.00)15.设函数 (分数:9.00)_16.设 (分数:9.00)_17.从点 P1(1,0)作 x 轴的垂线,交抛物线 y=x2于点 Q1(1,1);再从 Q1作这条抛物线的切线与 x 轴交于P2,然后又从 P2作 x 轴的垂线,交抛物线于点 Q2,依次重复上述过程得到一系列的点P1,Q 1;P 2,Q 2;P nQn;(1) 求 ;(2) 求级数 为自然数,而 (分数:11.00)_18.已知齐次线性方程组() 和() (分数:11.0
5、0)_19.考虑二次型 (分数:10.00)_20.设三阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3,向量 1(-1,2,-1) T, 2=(0,-1,1) T是线性方程组Ax=0 的两个解() 求 A 的特征值与特征向量;()求正交矩阵 Q 和对角矩阵 A,使得 QTAQ=A;() 求 A 及 (分数:11.00)_21.设 X1,X 2,X 9是来自正态总体 X 的简单随机样本,(分数:11.00)_22.某地抽样调查结果表明,考生的外语成绩(百分制)近似正态分布,平均成绩为 72 分,96 分以上的占考生总数的 2.3%,试求考生的外语成绩在 60 分到 84 分之间的概率x 0 0.5 1
6、.0 1.5 2.0 2.5 3.0(x) 0.500 0.692 0.941 0.933 0.977 0.994 0.999其中 (x)表示标准正态分布函数(分数:11.00)_23.假设随机变量 X1,X 2,X 3,X 4相互独立,且同分布:PXi=0=0.6,PX i=1=0.4(i=1,2,3,4),求行列式 (分数:11.00)_考研数学三-116 答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.设 f(x)是连续函数,且 (分数:4.00)A. B.C.D.解析:考点提示 连续函数解题分析 F(x)=f(e -x)(e-x)-f(
7、x)=-e-xf(e-x)-f(x)应选 A2.设两个随机变量 X 与 Y 相互独立且同分布:下列各式中成立的是_(分数:4.00)A. B.C.D.解析:考点提示 概率分布解题分析 由于X=Y=X=1,Y=1X=-1,Y=-1,且由题设知 X 与 Y 独立同分布,则*综上,选 A3.设 A 为 3 阶矩阵将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B,再将 B 的第 1 列的-1 倍加到第 2 列得 C记(分数:4.00)A.B. C.D.解析:考点提示 初等矩阵的运算解题分析 根据已知条件,用初等矩阵描述有*故选 B4.已知 的收敛半径 R=1,则 (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:考点
8、提示 级数的收敛域解题分析 由于*绝对收敛故收敛域为(-,+)任取 x0(1,1),由题设*收敛,于是*,从而*使得*而*故*绝对收敛,可知应选 D5.设 f(x)为不恒等于零的奇函数,且 f(0)存在,则函数 (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:考点提示 极限、间断点解题分析 由题设,f(-x)=-f(x),则有 f(0)=0从而*即 g(x)在 x=0 处极限存在,但 x=0 时 g(x)无定义,因此可补充定义 g(0)=f(0),则 g(x)在 x=0 处连续综上g(x)有可去间断点 x=0,所以选 D6.设 F1(x)与 F2(x)分别为随机变量 X1与 X2的分布函数为使 F(
9、x)=aF1(x)-bF2(x)是某一随机变量的分布函数,在下列给定的各组数值中应取_(分数:4.00)A. B.C.D.解析:考点提示 分布函数解题分析 本题考查分布函数的性质,即*,则由题设得*所以 a-b=1,4 个选项中只有 A 的 a,b 满足上式的条件,所以选 A7.设 f(x,y)与 (x,y)均为可微函数,且 y(x,y)0已知(x 0,y 0)是 f(x,y)在约束条件 (x,y)=0 下的一个极值点,下列选项正确的是_(分数:4.00)A.若 fx(x0,y 0)=0,则 fy(x0,Y 0)=0B.若 fx(x0,y 0)=0,则 fy(x0,Y 0)0C.若 fx(x0
10、,y 0)0,则 fy(x0,Y 0)=0D.若 fx(x0,y 0)0,则 fy(x0,Y 0)0 解析:考点提示 二元函数条件极值问题解题分析 依题意知(x 0,y 0)是拉格朗日函数 F(x,y,)=f(x,y)+ (x,y)的驻点即(x 0,y 0)使得*因为 y(x0,y 0)0,所以从(2)式可得*代入(1)式得*即 fx(x0,y 0) y(x0,y 0)= x(x0,y 0)fy(x0,y 0)当 fx(x0,y 0)0 且 y(x0,y 0)0 时,f x(x0,y 0) y(x0,y 0)0,所以 x(x0,y 0)fy(x0,y 0)0,从而 fy(x0,y 0)0故选
11、D8.设非齐次线性微分方程 y+P(x)y=Q(x)有两个不同的解 y1(x),y 2(x),C 为任意常数,则该方程的通解是_(分数:4.00)A.Cy1(x)-y2(x)B.y1(x)+Cy1(x)-y2(x) C.Cy1(x)+y2(x)D.y1(x)+Cy1(x)+y2(x)解析:考点提示 一阶线性微分方程解的叠加原理及通解结构解题分析 根据已知条件及线性微分方程解的叠加原理,y 1(x)-y2(x)是齐次线性微分方程 y+P(x)y=0的一个非零解,又 y1(x)是原非齐次线性微分方程的一个特解,进而由线性方程通解的结构可知 y1(x)+Cy1(x)-y2(x)是原非齐次线性微分方程
12、的通解,其中 C 为任意常数故选 B二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9.设常数 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案: )解析:考点提示 数列的极限解题分析 由题设,*10.设 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案: )解析:考点提示 复合函数求偏导数解题分析 利用复合函数求偏导的方法,得*于是*11.设矩阵 A,B 满足 A*BA=2BA-8E,其中 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案: )解析:考点提示 矩阵方程,解题分析 由已知*则|A|=-20,应由公式 AA*=A*A=|A|E 化简矩阵方程 A*BA=2BA-8E,即分别以 A左乘该方程,以 A-
13、1右乘该方程得-2B=2AB-8E,从而 2(A+E)B=8E即(A+E)B=4E,因此 B=4(A+E)-1,其中*则*12.若线性方程组(分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:a 1+a2+a3+a4=0)解析:考点提示 方程组有解*,对增广矩阵*作初等行变换即得解题分析 详解 1 对增广矩阵作初等行变换化为阶梯形*可知 r(A)=3,又由于原方程有解,则*,所以 a1+a2+a3+a4=0详解 2 若线性方程组有解,则其系数矩阵 A 与增广矩阵*有相同的秩*因*,知 A 的秩小于 4,所以*的秩也应小于 4,从而知*即 a1+a2+a3+a4=0评注 本题主要考查非齐次方程组有解的
14、条件,常规方法是将增广矩阵*施行初等列变换(因为只需判定解的情况,即只需知道 A 和*的秩为阶梯形矩阵,得 r(A)和*,即知有解的条件13.设二维随机变量(X,Y)的概率分布为(分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:0.4,0.1)解析:考点提示 二维随机变量的概率分布解题分析 因为*4+a+b+0.1=1,所以 a+b=0.5又因为事件X=0与X+Y=1相互独立,所以PX=0PX+Y=1=PX=0,X+Y=1而由题意可知PX=0,X+Y=1=PX=0,Y=1=a,PX+Y=1=PX=0,Y=1+PX=1,Y=0=a+b=0.5,PX=0=PX=0,Y=0+PX=0,Y=1=0.4+a
15、,故 0.5(a+0.4)=a解方程组*有 a=0.4,b=0.114.设总体 X 的概率密度为 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:2)解析:考点提示 无偏估计解题分析 依题意,可得*因为样本方差 S2是总体方差的无偏估计,所以E(S2)=D(X)=2三、解答题(总题数:9,分数:94.00)15.设函数 (分数:9.00)_正确答案:(因为而 f(1)=1,故 ,所以函数在 x=1 处不连续若令 )解析:评注 若*,则重新定义*即可使 f(x)在 x0处连续考点提示 先求极限*,再由连续定义即可求解16.设 (分数:9.00)_正确答案:(按照复合函数偏导的方法,得再对 y 求偏
16、导数有)解析:评注 因 (u,v)未有二阶偏导数连续条件,故 “ 12与 “ 21未必相等考点提示 复合函数求偏导数17.从点 P1(1,0)作 x 轴的垂线,交抛物线 y=x2于点 Q1(1,1);再从 Q1作这条抛物线的切线与 x 轴交于P2,然后又从 P2作 x 轴的垂线,交抛物线于点 Q2,依次重复上述过程得到一系列的点P1,Q 1;P 2,Q 2;P nQn;(1) 求 ;(2) 求级数 为自然数,而 (分数:11.00)_正确答案:(依题意画图(如图)由 y=x2得 y=2x,任给 a(0a1),抛物线 y=x2在点(a,a 2)处的切线方程为 y-a2=2a(x-a),该切线与
17、x 轴的交点为 ,因此由 可知以此类推,知(2) 又由 ,知级数)解析:考点提示 切线方程、级数求和18.已知齐次线性方程组() 和() (分数:11.00)_正确答案:(根据题意可知方程组()中方程组个数未知数个数,从而()必有无穷多解,所以()必有无穷多解所以()的系数行列式必为 0,即对()系数矩阵作初等变换,有可得方程组()的通解为 k(-1,-1,1) T,其中 k 为任意常数由于(-1,一 1,1) T是方程组()的解,故有解得 b=1,c=2,或 b=0,c=1当 b=0,c=1 时,方程组()为)解析:考点提示 齐次线性方程组求解19.考虑二次型 (分数:10.00)_正确答案
18、:(二次型 f 的矩阵为二次型 f 正定的充分必要条件是:A 的顺序主子式全为正事实上,A 的顺序主子式为:D1=10,)解析:评注 对于具体的二次型或对称阵,一般用顺序主子式来判定其正定性考点提示 利用顺序主子式来判定20.设三阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3,向量 1(-1,2,-1) T, 2=(0,-1,1) T是线性方程组Ax=0 的两个解() 求 A 的特征值与特征向量;()求正交矩阵 Q 和对角矩阵 A,使得 QTAQ=A;() 求 A 及 (分数:11.00)_正确答案:(由 A 的特征值求 的特征值,由 A 与对角矩阵相似知 和对角矩阵相似() 依题意,因为所以矩阵
19、A 有一个特征值是 3,=(1,1,1) T是 A 属于 3 的特征向量又因为 A 1=0=0 1,A 2=0=0 2,所以 1, 2是矩阵 A 属于 =0 的特征向量所以矩阵 A 的特征值是 3,0,0,且 =0 的特征向量为k1(-1,2,-1) T+k2(0,-1,1) T ( k1,k 2是不全为 0 的常数),=3 的特征向量为 k(1,1,1) T(K0 为常数)() 由于 1, 2不正交,所以要做 Schmidt 正交化: 1= 1(-1,2,-1) T,单位化:则() 由 A( 1, 2,)=(0,0,3),有,则其中 P=( 1, 2,)所以)解析:考点提示 矩阵的特征值和特
20、征向量、对角矩阵、相似矩阵21.设 X1,X 2,X 9是来自正态总体 X 的简单随机样本,(分数:11.00)_正确答案:(由题设,Y 1是样本(X 1,X 6)的样本均值,Y 2是样本(X 7,X 8,X 9)的样本均值,S 2是样本(X7,X 8,X 9)的样本方差,设 D(X)= 2,E(X)=,则 E(Y1)-E(Y2)=,且有 已知 Y1与 Y2独立,且 E(Y1-Y2)=0,从而因此又由正态总体样本方差的性质知 服从自由度为 2 的 分布,因为 Y1与 S2独立,Y 2与 S2独立,因而 Y1-Y2也与 S2独立,由服从 t 分布的随机变量的结构可推知 Z= )解析:考点提示 t
21、 分布22.某地抽样调查结果表明,考生的外语成绩(百分制)近似正态分布,平均成绩为 72 分,96 分以上的占考生总数的 2.3%,试求考生的外语成绩在 60 分到 84 分之间的概率x 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0(x)0.5000.6920.9410.9330.9770.9940.999其中 (x)表示标准正态分布函数(分数:11.00)_正确答案:(设 X 为考生的外语成绩,由题设知 XN(72, 2),且 PX96=2.3%=0.023,即于是得由 (x)的数值表知这样 XN(72,12 2),所求概率为)解析:评注 本题主要考查正态分布的应用及性质考点提示 正态
22、分布 N(, 2)由数学期望 和方差 2唯一决定,而 =72,因此要计算P(60X84),只要由 PX96求出 2即可23.假设随机变量 X1,X 2,X 3,X 4相互独立,且同分布:PXi=0=0.6,PX i=1=0.4(i=1,2,3,4),求行列式 (分数:11.00)_正确答案:(记 Y1=X1X4,Y 2=X2X3,则 X=Y1-Y2,且 Y1,Y 2独立同分布:PY1=1=PX1=1,X 4=1=PX1=1PX4-1=0.16=PY2=1;PY1=0=1-PY1=1=0.84=PY2=0X=Y1-Y2的所有可能取值为-1、0、1,且PX=-1=PY1-Y2=-1=PY1=0,Y 2=1=PY1=0PY2=1=0.840.16=0.1344:PX=1=PY1-Y2=1=PY1=1,Y 2=0=PY1=1PY2=0=0.160.84=0.1344:PX=0=1-20.1344=0.7312于是行列式的概率分布)解析:考点提示 X 由二阶行列式表示,实际上是随机变量 X1、X 2、X 3、X 4的函数,仍是一个随机变量且 X=X1X4-X2X3,根据 X1、X 2、X 3、X 4独立同分布,有 X1X4与 X3X2独立同分布,因此可先求出 X1X4与X2X3的分布律,再求 X 的分布律