1、考研数学三-116 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)是连续函数，且 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设两个随机变量 X 与 Y 相互独立且同分布：下列各式中成立的是_（分数：4.00）A.B.C.D.3.设 A 为 3 阶矩阵将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B，再将 B 的第 1 列的-1 倍加到第 2 列得 C记（分数：4.00）A.B.C.D.4.已知 的收敛半径 R=1，则 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 f(x)为不恒等于零的奇函数，且 f(0)存在，则函数 （分数：4.00）A.B.
2、C.D.6.设 F1(x)与 F2(x)分别为随机变量 X1与 X2的分布函数为使 F(x)=aF1(x)-bF2(x)是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取_（分数：4.00）A.B.C.D.7.设 f(x，y)与 (x，y)均为可微函数，且 y(x，y)0已知(x 0，y 0)是 f(x，y)在约束条件 (x，y)=0 下的一个极值点，下列选项正确的是_（分数：4.00）A.若 fx(x0，y 0)=0，则 fy(x0，Y 0)=0B.若 fx(x0，y 0)=0，则 fy(x0，Y 0)0C.若 fx(x0，y 0)0，则 fy(x0，Y 0)=0D.若 fx(x0，y 0
3、)0，则 fy(x0，Y 0)08.设非齐次线性微分方程 y+P(x)y=Q(x)有两个不同的解 y1(x)，y 2(x)，C 为任意常数，则该方程的通解是_（分数：4.00）A.Cy1(x)-y2(x)B.y1(x)+Cy1(x)-y2(x)C.Cy1(x)+y2(x)D.y1(x)+Cy1(x)+y2(x)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设常数 （分数：4.00）填空项 1:_10.设 （分数：4.00）填空项 1:_11.设矩阵 A，B 满足 A*BA=2BA-8E，其中 （分数：4.00）填空项 1:_12.若线性方程组（分数：4.00）填空项 1:_13.设二维随机变量
4、(X，Y)的概率分布为（分数：4.00）填空项 1:_14.设总体 X 的概率密度为 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 （分数：9.00）_16.设 （分数：9.00）_17.从点 P1(1，0)作 x 轴的垂线，交抛物线 y=x2于点 Q1(1，1)；再从 Q1作这条抛物线的切线与 x 轴交于P2，然后又从 P2作 x 轴的垂线，交抛物线于点 Q2，依次重复上述过程得到一系列的点P1，Q 1；P 2，Q 2；P nQn；(1) 求 ；(2) 求级数 为自然数，而 （分数：11.00）_18.已知齐次线性方程组() 和() （分数：11.0
5、0）_19.考虑二次型 （分数：10.00）_20.设三阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3，向量 1(-1，2，-1) T， 2=(0，-1，1) T是线性方程组Ax=0 的两个解() 求 A 的特征值与特征向量；()求正交矩阵 Q 和对角矩阵 A，使得 QTAQ=A；() 求 A 及 （分数：11.00）_21.设 X1，X 2，X 9是来自正态总体 X 的简单随机样本，（分数：11.00）_22.某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩(百分制)近似正态分布，平均成绩为 72 分，96 分以上的占考生总数的 2.3%，试求考生的外语成绩在 60 分到 84 分之间的概率x 0 0.5 1
6、.0 1.5 2.0 2.5 3.0(x) 0.500 0.692 0.941 0.933 0.977 0.994 0.999其中 (x)表示标准正态分布函数（分数：11.00）_23.假设随机变量 X1，X 2，X 3，X 4相互独立，且同分布：PXi=0=0.6，PX i=1=0.4(i=1，2，3，4)，求行列式 （分数：11.00）_考研数学三-116 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)是连续函数，且 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点提示 连续函数解题分析 F(x)=f(e -x)(e-x)-f(
7、x)=-e-xf(e-x)-f(x)应选 A2.设两个随机变量 X 与 Y 相互独立且同分布：下列各式中成立的是_（分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点提示 概率分布解题分析 由于X=Y=X=1，Y=1X=-1，Y=-1，且由题设知 X 与 Y 独立同分布，则*综上，选 A3.设 A 为 3 阶矩阵将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B，再将 B 的第 1 列的-1 倍加到第 2 列得 C记（分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点提示 初等矩阵的运算解题分析 根据已知条件，用初等矩阵描述有*故选 B4.已知 的收敛半径 R=1，则 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点
8、提示 级数的收敛域解题分析 由于*绝对收敛故收敛域为(-，+)任取 x0(1，1)，由题设*收敛，于是*，从而*使得*而*故*绝对收敛，可知应选 D5.设 f(x)为不恒等于零的奇函数，且 f(0)存在，则函数 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点提示 极限、间断点解题分析 由题设，f(-x)=-f(x)，则有 f(0)=0从而*即 g(x)在 x=0 处极限存在，但 x=0 时 g(x)无定义，因此可补充定义 g(0)=f(0)，则 g(x)在 x=0 处连续综上g(x)有可去间断点 x=0，所以选 D6.设 F1(x)与 F2(x)分别为随机变量 X1与 X2的分布函数为使 F(
9、x)=aF1(x)-bF2(x)是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取_（分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点提示 分布函数解题分析 本题考查分布函数的性质，即*，则由题设得*所以 a-b=1，4 个选项中只有 A 的 a，b 满足上式的条件，所以选 A7.设 f(x，y)与 (x，y)均为可微函数，且 y(x，y)0已知(x 0，y 0)是 f(x，y)在约束条件 (x，y)=0 下的一个极值点，下列选项正确的是_（分数：4.00）A.若 fx(x0，y 0)=0，则 fy(x0，Y 0)=0B.若 fx(x0，y 0)=0，则 fy(x0，Y 0)0C.若 fx(x0
10、，y 0)0，则 fy(x0，Y 0)=0D.若 fx(x0，y 0)0，则 fy(x0，Y 0)0 解析：考点提示 二元函数条件极值问题解题分析 依题意知(x 0，y 0)是拉格朗日函数 F(x，y，)=f(x，y)+ (x，y)的驻点即(x 0，y 0)使得*因为 y(x0，y 0)0，所以从(2)式可得*代入(1)式得*即 fx(x0，y 0) y(x0，y 0)= x(x0，y 0)fy(x0，y 0)当 fx(x0，y 0)0 且 y(x0，y 0)0 时，f x(x0，y 0) y(x0，y 0)0，所以 x(x0，y 0)fy(x0，y 0)0，从而 fy(x0，y 0)0故选
11、D8.设非齐次线性微分方程 y+P(x)y=Q(x)有两个不同的解 y1(x)，y 2(x)，C 为任意常数，则该方程的通解是_（分数：4.00）A.Cy1(x)-y2(x)B.y1(x)+Cy1(x)-y2(x) C.Cy1(x)+y2(x)D.y1(x)+Cy1(x)+y2(x)解析：考点提示 一阶线性微分方程解的叠加原理及通解结构解题分析 根据已知条件及线性微分方程解的叠加原理，y 1(x)-y2(x)是齐次线性微分方程 y+P(x)y=0的一个非零解，又 y1(x)是原非齐次线性微分方程的一个特解，进而由线性方程通解的结构可知 y1(x)+Cy1(x)-y2(x)是原非齐次线性微分方程
12、的通解，其中 C 为任意常数故选 B二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设常数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 数列的极限解题分析 由题设，*10.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 复合函数求偏导数解题分析 利用复合函数求偏导的方法，得*于是*11.设矩阵 A，B 满足 A*BA=2BA-8E，其中 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 矩阵方程，解题分析 由已知*则|A|=-20，应由公式 AA*=A*A=|A|E 化简矩阵方程 A*BA=2BA-8E，即分别以 A左乘该方程，以 A-
13、1右乘该方程得-2B=2AB-8E，从而 2(A+E)B=8E即(A+E)B=4E，因此 B=4(A+E)-1，其中*则*12.若线性方程组（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：a 1+a2+a3+a4=0）解析：考点提示 方程组有解*，对增广矩阵*作初等行变换即得解题分析 详解 1 对增广矩阵作初等行变换化为阶梯形*可知 r(A)=3，又由于原方程有解，则*，所以 a1+a2+a3+a4=0详解 2 若线性方程组有解，则其系数矩阵 A 与增广矩阵*有相同的秩*因*，知 A 的秩小于 4，所以*的秩也应小于 4，从而知*即 a1+a2+a3+a4=0评注 本题主要考查非齐次方程组有解的
14、条件，常规方法是将增广矩阵*施行初等列变换(因为只需判定解的情况，即只需知道 A 和*的秩为阶梯形矩阵，得 r(A)和*，即知有解的条件13.设二维随机变量(X，Y)的概率分布为（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0.4，0.1）解析：考点提示 二维随机变量的概率分布解题分析 因为*4+a+b+0.1=1，所以 a+b=0.5又因为事件X=0与X+Y=1相互独立，所以PX=0PX+Y=1=PX=0，X+Y=1而由题意可知PX=0，X+Y=1=PX=0，Y=1=a，PX+Y=1=PX=0，Y=1+PX=1，Y=0=a+b=0.5，PX=0=PX=0，Y=0+PX=0，Y=1=0.4+a
15、，故 0.5(a+0.4)=a解方程组*有 a=0.4，b=0.114.设总体 X 的概率密度为 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：考点提示 无偏估计解题分析 依题意，可得*因为样本方差 S2是总体方差的无偏估计，所以E(S2)=D(X)=2三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设函数 （分数：9.00）_正确答案：(因为而 f(1)=1，故 ，所以函数在 x=1 处不连续若令 )解析：评注 若*，则重新定义*即可使 f(x)在 x0处连续考点提示 先求极限*，再由连续定义即可求解16.设 （分数：9.00）_正确答案：(按照复合函数偏导的方法，得再对 y 求偏
16、导数有)解析：评注 因 (u，v)未有二阶偏导数连续条件，故 “ 12与 “ 21未必相等考点提示 复合函数求偏导数17.从点 P1(1，0)作 x 轴的垂线，交抛物线 y=x2于点 Q1(1，1)；再从 Q1作这条抛物线的切线与 x 轴交于P2，然后又从 P2作 x 轴的垂线，交抛物线于点 Q2，依次重复上述过程得到一系列的点P1，Q 1；P 2，Q 2；P nQn；(1) 求 ；(2) 求级数 为自然数，而 （分数：11.00）_正确答案：(依题意画图(如图)由 y=x2得 y=2x，任给 a(0a1)，抛物线 y=x2在点(a，a 2)处的切线方程为 y-a2=2a(x-a)，该切线与
17、x 轴的交点为 ，因此由 可知以此类推，知(2) 又由 ，知级数)解析：考点提示 切线方程、级数求和18.已知齐次线性方程组() 和() （分数：11.00）_正确答案：(根据题意可知方程组()中方程组个数未知数个数，从而()必有无穷多解，所以()必有无穷多解所以()的系数行列式必为 0，即对()系数矩阵作初等变换，有可得方程组()的通解为 k(-1，-1，1) T，其中 k 为任意常数由于(-1，一 1，1) T是方程组()的解，故有解得 b=1，c=2，或 b=0，c=1当 b=0，c=1 时，方程组()为)解析：考点提示 齐次线性方程组求解19.考虑二次型 （分数：10.00）_正确答案
18、：(二次型 f 的矩阵为二次型 f 正定的充分必要条件是：A 的顺序主子式全为正事实上，A 的顺序主子式为：D1=10，)解析：评注 对于具体的二次型或对称阵，一般用顺序主子式来判定其正定性考点提示 利用顺序主子式来判定20.设三阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3，向量 1(-1，2，-1) T， 2=(0，-1，1) T是线性方程组Ax=0 的两个解() 求 A 的特征值与特征向量；()求正交矩阵 Q 和对角矩阵 A，使得 QTAQ=A；() 求 A 及 （分数：11.00）_正确答案：(由 A 的特征值求 的特征值，由 A 与对角矩阵相似知 和对角矩阵相似() 依题意，因为所以矩阵
19、A 有一个特征值是 3，=(1，1，1) T是 A 属于 3 的特征向量又因为 A 1=0=0 1，A 2=0=0 2，所以 1， 2是矩阵 A 属于 =0 的特征向量所以矩阵 A 的特征值是 3，0，0，且 =0 的特征向量为k1(-1，2，-1) T+k2(0，-1，1) T ( k1，k 2是不全为 0 的常数)，=3 的特征向量为 k(1，1，1) T(K0 为常数)() 由于 1， 2不正交，所以要做 Schmidt 正交化： 1= 1(-1，2，-1) T，单位化：则() 由 A( 1， 2，)=(0，0，3)，有，则其中 P=( 1， 2，)所以)解析：考点提示 矩阵的特征值和特
20、征向量、对角矩阵、相似矩阵21.设 X1，X 2，X 9是来自正态总体 X 的简单随机样本，（分数：11.00）_正确答案：(由题设，Y 1是样本(X 1，X 6)的样本均值，Y 2是样本(X 7，X 8，X 9)的样本均值，S 2是样本(X7，X 8，X 9)的样本方差，设 D(X)= 2，E(X)=，则 E(Y1)-E(Y2)=，且有 已知 Y1与 Y2独立，且 E(Y1-Y2)=0，从而因此又由正态总体样本方差的性质知 服从自由度为 2 的 分布，因为 Y1与 S2独立，Y 2与 S2独立，因而 Y1-Y2也与 S2独立，由服从 t 分布的随机变量的结构可推知 Z= )解析：考点提示 t
21、 分布22.某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩(百分制)近似正态分布，平均成绩为 72 分，96 分以上的占考生总数的 2.3%，试求考生的外语成绩在 60 分到 84 分之间的概率x 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0(x)0.5000.6920.9410.9330.9770.9940.999其中 (x)表示标准正态分布函数（分数：11.00）_正确答案：(设 X 为考生的外语成绩，由题设知 XN(72， 2)，且 PX96=2.3%=0.023，即于是得由 (x)的数值表知这样 XN(72，12 2)，所求概率为)解析：评注 本题主要考查正态分布的应用及性质考点提示 正态
22、分布 N(， 2)由数学期望 和方差 2唯一决定，而 =72，因此要计算P(60X84)，只要由 PX96求出 2即可23.假设随机变量 X1，X 2，X 3，X 4相互独立，且同分布：PXi=0=0.6，PX i=1=0.4(i=1，2，3，4)，求行列式 （分数：11.00）_正确答案：(记 Y1=X1X4，Y 2=X2X3，则 X=Y1-Y2，且 Y1，Y 2独立同分布：PY1=1=PX1=1，X 4=1=PX1=1PX4-1=0.16=PY2=1；PY1=0=1-PY1=1=0.84=PY2=0X=Y1-Y2的所有可能取值为-1、0、1，且PX=-1=PY1-Y2=-1=PY1=0，Y 2=1=PY1=0PY2=1=0.840.16=0.1344：PX=1=PY1-Y2=1=PY1=1，Y 2=0=PY1=1PY2=0=0.160.84=0.1344：PX=0=1-20.1344=0.7312于是行列式的概率分布)解析：考点提示 X 由二阶行列式表示，实际上是随机变量 X1、X 2、X 3、X 4的函数，仍是一个随机变量且 X=X1X4-X2X3，根据 X1、X 2、X 3、X 4独立同分布，有 X1X4与 X3X2独立同分布，因此可先求出 X1X4与X2X3的分布律，再求 X 的分布律
