1、考研数学三-115 及答案解析(总分：155.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 A 为 mn 矩阵，以下命题正确的是( )（分数：4.00）A.若 AN=0 只有零解，则 AX=b 只有唯一解B.若 AX=0 有非零解，则 AX=b 有无数个解C.若 r(A)=n，则 AX=D.若 r(A)=m，则 AX=2.设 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，则随机变量 Y=min(X，2)的分布函数( )（分数：4.00）A.是阶梯函数B.恰有一个间断点C.至少有两个间断
2、点D.是连续函数5.当 x0 时，f(1nx)= 为( ) （分数：4.00）A.B.C.D.6.设矩阵 B 的列向量线性无关，且 BA=C，则( )（分数：4.00）A.若矩阵 C 的列向量线性无关，则矩阵 A 的列向量线性相关B.若矩阵 C 的列向量线性无关，则矩阵 A 的行向量线性相关C.若矩阵 A 的列向量线性无关，则矩阵 C 的列向量线性相关D.若矩阵 C 的列向量线性无关，则矩阵 A 的列向量线性无关7.设 （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 X1，X 2，X 16为正态总体 XN(，4)的简单随机样本，设 H0=0，H1：0 的拒绝域为 ，则犯第一类错误的概率为( ) （分
3、数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10.设 f(x)为连续函数，且 （分数：4.00）填空项 1:_11.摆线 （分数：4.00）填空项 1:_12.幂级数 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 A 为三阶矩阵，其特征值为 1=-2， 2= 3=1，其对应的线性无关的特征向量为 1， 2， 3，令P=(4 1， 2- 3， 2+2 3)，则 p-1(A*+3E)P 为_（分数：4.00）填空项 1:_14.10 件产品中有 3 件产品为次品，从中任取 2 件，已知所取的 2 件产品中有一件是次品，则另一件也为次品的
4、概率为_（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：99.00)15.设 g(x)二阶可导，且 （分数：11.00）_16.设 a 为实数，问方程 ex=ax2有几个实根?（分数：11.00）_17.计算 （分数：11.00）_18.已知微分方程 ， 作变换 （分数：11.00）_19.设 un(x)满足 （分数：11.00）_20. （分数：11.00）_21.设 A 为三阶矩阵， 1， 2， 3是三维线性无关的向量组，且 A 1= 1+3 2，A 2=5 1- 2，A 3= 1- 2+4 3 ()求矩阵 A 的特征值； ()求可逆 Q，使得 Q-1AQ 为对角阵（分数：1
5、1.00）_22.设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，令 （分数：11.00）_23.设有 n 台仪器，已知用第 i 台仪器测量时，测定值总体的标准差为 i(i=1，2，n)用这些仪器独立地对某一物理量 各观察一次，分别得到 X1，X 2，X n设 E(Xi)=(i=1，2，n)，问k1，k 2，k n应取何值，才能在使用 估计 时， 无偏，并且 D( （分数：11.00）_考研数学三-115 答案解析(总分：155.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 A 为 mn 矩阵，以下命题正确的是( )（分数：4.00）A.若 AN=0 只有零解，则 AX
6、=b 只有唯一解B.若 AX=0 有非零解，则 AX=b 有无数个解C.若 r(A)=n，则 AX=D.若 r(A)=m，则 AX= 解析：详解 因为当 r(A)=m 时，则 r(A)=r(*)=m，于是若 r(A)=m，则 AX=b-定有解，选(D)2.设 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：详解 因为 f(0-0)=f(0)=f(0+0)=0，所以 f(x)在 x=0 处连续 又因为*不存在，所以 f(x)在 x=0 处连续但不可导，选(B)3.设 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：详解 * 则 f(x)是 g(x)的低阶无穷小，选(B)4.设随机变量 X 服从参数为 2 的
7、指数分布，则随机变量 Y=min(X，2)的分布函数( )（分数：4.00）A.是阶梯函数B.恰有一个间断点 C.至少有两个间断点D.是连续函数解析：详解 F Y(y)=PYY=Pmin(X,2)y=1-Pmin(X,2)y =1-PXy，2y=1-PXYP2Y， 当 Y2 时，F Y(y)=1； 当 y2 时，*， 则*，显然 FY(y)在 y=2 处间断，选(B)5.当 x0 时，f(1nx)= 为( ) （分数：4.00）A.B.C. D.解析：详解 由*， 则*6.设矩阵 B 的列向量线性无关，且 BA=C，则( )（分数：4.00）A.若矩阵 C 的列向量线性无关，则矩阵 A 的列向
8、量线性相关B.若矩阵 C 的列向量线性无关，则矩阵 A 的行向量线性相关C.若矩阵 A 的列向量线性无关，则矩阵 C 的列向量线性相关D.若矩阵 C 的列向量线性无关，则矩阵 A 的列向量线性无关 解析：详解 设 B 为 mn 矩阵，A 为 ns 矩阵，则 C 为 ms 矩阵，且 r(B)=n 因为 BA=C，所以 r(C)r(A)，r(C)r(B) 若 r(C)=s，则 r(A)s，又 r(A)s，所以 r(A)=s，A 的列向量组线性无关，(A)不对； 若 r(C)=s，则 r(A)=s，所以 A 的行向量组的秩为 s，故 ns若 ns，则 A 的行向量组线性相关，若n=s，则 A 的行向
9、量组线性无关，(B)不对； 若 r(A)=s，因为 r(C)s，所以不能断定 C 的列向量组线性相关还是无关，(C)不对； 若 r(C)=s，则 r(A)=s，选(D)7.设 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：详解 因为*， 所以*，故 f(x，y)在(0，0)处连续 *，所以 fx(0,0)=0，同理 fy(0,0)=0，即 f(x,y)在(0,0)处可偏导 *不存在，所以 f(x,y)在(0,0)处不可微，选(C)8.设 X1，X 2，X 16为正态总体 XN(，4)的简单随机样本，设 H0=0，H1：0 的拒绝域为 ，则犯第一类错误的概率为( ) （分数：4.00）A.B. C.
10、D.解析：详解 因为 2=4 已知，所以取检验统计量*，犯第一类错误的概率为*=2-2(1)，选(B)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：详解 *10.设 f(x)为连续函数，且 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：详解 *两边对 x 求偏导得 * 再将*两边对 y 求偏导得 *， 两式相加得*11.摆线 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：详解 对*， *12.幂级数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：详解 由*的收敛半径为 R=*， 当*收敛，收敛域为* 令*，
11、 则*13.设 A 为三阶矩阵，其特征值为 1=-2， 2= 3=1，其对应的线性无关的特征向量为 1， 2， 3，令P=(4 1， 2- 3， 2+2 3)，则 p-1(A*+3E)P 为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：详解 因为 A 的特征值为 1=-2， 2= 3=1，所以 A*的特征值为 1=1， 2= 3=-2，A*+3E 的特征值为 4，1，1，又因为 4 1， 2- 3， 2+2 3也为 A 的线性无关的特征向量，所以 4 1， 2- 3， 2+2 3也是 A*+3E 的线性无关的特征向量，所以 *14.10 件产品中有 3 件产品为次品，从中任取 2
12、件，已知所取的 2 件产品中有一件是次品，则另一件也为次品的概率为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：详解 令事件 A=所取两件产品中至少有一件次品，B=两件产品都是次品)，*三、解答题(总题数：9，分数：99.00)15.设 g(x)二阶可导，且 （分数：11.00）_正确答案：()当 f(x)在 x=0 处连续时，g(0)=1， 当 f(x)在 x=0 处连续时，a=g(0) ()当 ； 则 因为 )解析：16.设 a 为实数，问方程 ex=ax2有几个实根?（分数：11.00）_正确答案：(当 a=0 时，方程无解； 当 n0 时，令 由 (x)=2xe -x-x2
13、e-x=x(2-x)e-x=0 得 x=0 或 x=2 当 z0 时，(x)0； 当 0x0； 当 z2 时，(x)0， 于是 为极小值， 为极大值，又 1)当 a0 时，方程无解；2) 时，方程有两个根，分别位于(-,0)内及 x=2； 3)当 时，方程有三个根，分别位于(-,0)，(0,2)，(2,+)内； 4)当 )解析：17.计算 （分数：11.00）_正确答案：(由对称性得 )解析：18.已知微分方程 ， 作变换 （分数：11.00）_正确答案：(w=lnz=-(x+y)两边关于 x 求偏导得 ； w=lnz-(x+y)两边关于 y 求偏导得 ， 解得 代入原方程整理得 )解析：19
14、.设 un(x)满足 （分数：11.00）_正确答案：(由 ，于是令 ，显然 的收敛域为-1,1)，即 的收敛域为-2,2) 因为 , 故 )解析：20. （分数：11.00）_正确答案：( 1)当 a-6，a+2b-40 时，因为 r(A)r( )，所以 不可由 1， 2， 3线性表示； 2)当 a-b，a+2b-4=0 时， 当 a=-6，b5 时，由 ， 可由 1， 2， 3唯一线性表示，表达式为 =6 1+1 2+2 3；当 a=-6，b=5 时，由 )解析：21.设 A 为三阶矩阵， 1， 2， 3是三维线性无关的向量组，且 A 1= 1+3 2，A 2=5 1- 2，A 3= 1-
15、 2+4 3 ()求矩阵 A 的特征值； ()求可逆 Q，使得 Q-1AQ 为对角阵（分数：11.00）_正确答案：()令 P=( 1, 2, 3)，因为 1, 2, 3线性无关，所以 P 可逆， 因为 A 1= 1+3 2，A 2=5 1- 2，A 3= 1- 2+4 3， 所以(A 1，A 2，A 3)=( 1+3 2，5 1- 2， 1- 2+4 3)， 得 A 的特征值为 1=-4， 2= 3=4 ()因为 AB，所以 B 的特征值为 1=-4， 2= 3=4 因为 P-1AP=B，所以 )解析：22.设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，令 （分数：11.00）_正确答案：()PX
16、+Y=0=PY=-X)=P|X|1 =1-PX1=1-(1-e - )=e- ()F Y(y)=PYy=P(Yy，01 =PXy，01 当 Y-1 时，F Y(y)=PX-y=1-PX-y=e y ； 当-1y0 时，F Y(y)=PX1)=e - ； 当 0y1 时，F Y(y)=P01=1-e-y +e- ； 当 y1 时，F Y(y)=P01=1 )解析：23.设有 n 台仪器，已知用第 i 台仪器测量时，测定值总体的标准差为 i(i=1，2，n)用这些仪器独立地对某一物理量 各观察一次，分别得到 X1，X 2，X n设 E(Xi)=(i=1，2，n)，问k1，k 2，k n应取何值，才能在使用 估计 时， 无偏，并且 D( （分数：11.00）_正确答案：(因为 E(Xi)=(i=1,2,n)，所以 的无偏性要求是 这就是约束条件，而目标函数为 由拉格朗日乘数法，作函数 解得 ， 所以当取 时， )解析：
