1、考研数学三-113 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.函数 f(x)在 x=0 处可导，且 f(0)=0，f(0)=1，设 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 A，B 为 n 阶矩阵，考虑以下命题：若 A，B 为等价矩阵，A，B 的行向量组等价若行列式|A|=|B|，则 A，B 为等价矩阵若 Ax=0 与 Bx=0 都只有零解，则 A，B 为等价矩阵若 A，B 为相似矩阵，则 Ax=0 与 Bx=0 的解空间的维数相同以上命题中正确的是（分数：4.00）A.B.C.D.3.设函数 f(x)在(-，+)内可导，则下列结论中正
2、确的是（分数：4.00）A.若 f(x)为周期函数，则 f(x)也是周期函数B.若 f(x)为单调增加函数，则 f(x)也是单调增加函数C.若 f(x)为偶函数，则 f(x)也是偶函数D.若 f(x)为奇函数，则 f(x)也是奇函数4.设(X，Y)为二维随机变量，则 X 与 Y 独立的充要条件为（分数：4.00）A.|X|与|Y|独立B.X2与 Y2独立C.X3与 Y3独立D.X4与 Y4独立5.设随机变量 X，Y，Z 相互独立，且 XN(1，2)，YN(2，2)，ZN(3，7)，记 a=PXY，b=PYZ)，则有（分数：4.00）A.abB.abC.a=bD.a，b 的大小关系不能确定6.设
3、向量组 1，2，3 线性无关，若存在常数 l，m，使得 l 2- 1，m 3- 2， 1- 3线性无关，则（分数：4.00）A.lm=1B.lm1C.lm=2D.lm27.设 y=y(x)是二阶常系数微分方程 y“+Py+qy=e2x满足初始条件 y(0)=y(0)=0 的特解，则当 x0 时，函数 （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 (x)为区间0，1上的正值连续函数，a 与 b 为任意常数，区域 D=(x，y)|0x，y1，则（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x)有一阶连续导数，且 f(0)=0，f(0)=1，则 （分数：4.00
4、）填空项 1:_10.差分方程 yx+1+2yx=5x2的通解为 1.（分数：4.00）填空项 1:_11. （分数：4.00）填空项 1:_12.z=f(u，x，y)，x 2=x2ey，其中 f 具有连续的二阶偏导数，则 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 A 为 3 阶方阵，且|A|=2，则|2(A *)-1|=_（分数：4.00）填空项 1:_14.设总体 X 的方差为 1，根据来自 X 的容量为 100 的简单随机样本，测得样本均值为 5，则 X 的数学期望的置信度等于 0.95 的置信区间为_(1.96)=0.95)（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：
5、94.00)15.设 （分数：10.00）_16.设 f(x)在0，1上是非负、单调减的连续函数，且 0ab1， （分数：10.00）_17.()求 I(a)；() （分数：10.00）_18.某厂家生产的一种产品同时在 A，B 两个市场销售，售价分别为 p1和 p1；销售量分别为 q1和 q2；需求函数分别为 q1=3-0.5p1和 q2=2-3p2；总成本函数为 （分数：10.00）_19.设()求证： （分数：10.00）_20.已知矩阵 有零特征值，又矩阵 （分数：10.00）_21.设 A，B，C 都是 n 阶矩阵，A，B 各有 n 个不同的特征值，又 f()是 A 的特征多项式，且
6、 f(B)为可逆阵求证： （分数：10.00）_22.设 A，B 为两个随机事件，且（分数：10.00）_23.设 X1，X 2，X n为总体 X 的一个样本，X 的概率密度为 （分数：14.00）_考研数学三-113 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.函数 f(x)在 x=0 处可导，且 f(0)=0，f(0)=1，设 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 *2.设 A，B 为 n 阶矩阵，考虑以下命题：若 A，B 为等价矩阵，A，B 的行向量组等价若行列式|A|=|B|，则 A，B 为等价矩阵若 Ax=0 与 Bx=
7、0 都只有零解，则 A，B 为等价矩阵若 A，B 为相似矩阵，则 Ax=0 与 Bx=0 的解空间的维数相同以上命题中正确的是（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 A，B 等价推不出 A，B 的行向量组等价如*，A，B 等价，但 A，B 行向量组并不等价可排除 A若|A|=|B|，但 rA 未必与 rB 相等可排除 BC故选 D3.设函数 f(x)在(-，+)内可导，则下列结论中正确的是（分数：4.00）A.若 f(x)为周期函数，则 f(x)也是周期函数 B.若 f(x)为单调增加函数，则 f(x)也是单调增加函数C.若 f(x)为偶函数，则 f(x)也是偶函数D.若 f(x)为奇
8、函数，则 f(x)也是奇函数解析：解析 取 f(x)=x3，f(x)=3x 2可排除 BD；取 f(x)=x2，f(x)=2x 可排除 C事实上，若*，故选 A4.设(X，Y)为二维随机变量，则 X 与 Y 独立的充要条件为（分数：4.00）A.|X|与|Y|独立B.X2与 Y2独立C.X3与 Y3独立 D.X4与 Y4独立解析：解析 若 X，Y 独立，则|X|与|Y|、X 2与 Y2、X 3与 Y3、X 4与 Y4均独立；但反过来，只有 X3与 Y3独立时，才可推导出 X 与 Y 独立，即 P(Xx，Yy)=P(X 3x 3，Y 3y 3)=P(X3x 3)P(Y3y 3)=P(Xx)P(Y
9、y)故选 C5.设随机变量 X，Y，Z 相互独立，且 XN(1，2)，YN(2，2)，ZN(3，7)，记 a=PXY，b=PYZ)，则有（分数：4.00）A.ab B.abC.a=bD.a，b 的大小关系不能确定解析：解析 XyN(-1，4)，Y-ZN(-1，9)，于是 a=PXY)=*而 (x)单调增加，所以 ab故选 A6.设向量组 1，2，3 线性无关，若存在常数 l，m，使得 l 2- 1，m 3- 2， 1- 3线性无关，则（分数：4.00）A.lm=1B.lm1 C.lm=2D.lm2解析：解析 *，当 1, 2， 3线性无关时，若 l 2- 1，m 3- 2， 1- 3线性无关，
10、则*即 lm1，故选 B7.设 y=y(x)是二阶常系数微分方程 y“+Py+qy=e2x满足初始条件 y(0)=y(0)=0 的特解，则当 x0 时，函数 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 *又由方程 y“+py+qy=e2x，将 x=0 代入，y“(0)=1所以极限=18.设 (x)为区间0，1上的正值连续函数，a 与 b 为任意常数，区域 D=(x，y)|0x，y1，则（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由题设可知，更换 x 和 y，积分值不变，即*二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x)有一阶连续导数，且 f(0)=0，f(0)=1，则 （分
11、数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：e）解析：解析 *10.差分方程 yx+1+2yx=5x2的通解为 1.（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 特征方程为 +2=0，则 =-2，于是对应的齐次方程的通解为 yA=C(-2)x设非齐次方程的一个特解为*将其代入方程得 B0+B1(x+1)+B2(x+1)2+2(B0+B1x+B2x2)=5x2，整理得 3B0+B1+B2+(3B1+3B2)x+3B2x2=5x2比较同次项系数，得*于是特解为*故所求方程的通解为*11. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析 令*则 f(x)=3x2+g(x)
12、-l，g(x)=4x-f(x)+2k，以上两式分别在0，1上对 x 积分，得*解之得*12.z=f(u，x，y)，x 2=x2ey，其中 f 具有连续的二阶偏导数，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2xe yf1+2x3f“11+2xeyf“13+x2eyf“21+f“23）解析：解析 *13.设 A 为 3 阶方阵，且|A|=2，则|2(A *)-1|=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：解析 由题设可知|A *|=|A|2=4，则*故|2(A *)-1|=23|(A*)-1|=214.设总体 X 的方差为 1，根据来自 X 的容量为 100 的简单随机
13、样本，测得样本均值为 5，则 X 的数学期望的置信度等于 0.95 的置信区间为_(1.96)=0.95)（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(4.804，5.196)）解析：解析 因为 n=100 属大样本，由中心极限定理可知*近似服从*，故*的置信度近似等于0.95 的置信区间为*三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 （分数：10.00）_正确答案：(*)解析：16.设 f(x)在0，1上是非负、单调减的连续函数，且 0ab1， （分数：10.00）_正确答案：(由定积分中值定理得*)解析：17.()求 I(a)；() （分数：10.00）_正确答案：(D 关于 x
14、 轴对称，设 D1为 D 在第一象限的部分，则*)解析：18.某厂家生产的一种产品同时在 A，B 两个市场销售，售价分别为 p1和 p1；销售量分别为 q1和 q2；需求函数分别为 q1=3-0.5p1和 q2=2-3p2；总成本函数为 （分数：10.00）_正确答案：(*3，p 2=4由于可能极值点唯一，且问题必存在最大值，因此当 p1=3，p 2=4 时，利润最大)解析：19.设()求证： （分数：10.00）_正确答案：(*)解析：20.已知矩阵 有零特征值，又矩阵 （分数：10.00）_正确答案：(*()因为方程组 Ac= 1，Ax= 2，Ax= 3的通解依次为*故矩阵方程的解为*)解
15、析：21.设 A，B，C 都是 n 阶矩阵，A，B 各有 n 个不同的特征值，又 f()是 A 的特征多项式，且 f(B)为可逆阵求证： （分数：10.00）_正确答案：(证 下证 M 有 2n 个不同的特征值设 是 B 的任意特征值，则 f()是 fB 的特征值因为 fB 为可逆阵，所以 fB 没有零特征值，也就是说 f()不等于零，即 不是 A 的特征值，于是 A 和 B的特征值互不相同又*因此，矩阵 M 有 2n 个不同的特征值，必相似于对角阵)解析：22.设 A，B 为两个随机事件，且（分数：10.00）_正确答案：(*即*()由()可得*即*)解析：23.设 X1，X 2，X n为总体 X 的一个样本，X 的概率密度为 （分数：14.00）_正确答案：(似然函数为*取对数得*)解析：
