1、考研数学三-113 及答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.函数 f(x)在 x=0 处可导,且 f(0)=0,f(0)=1,设 (分数:4.00)A.B.C.D.2.设 A,B 为 n 阶矩阵,考虑以下命题:若 A,B 为等价矩阵,A,B 的行向量组等价若行列式|A|=|B|,则 A,B 为等价矩阵若 Ax=0 与 Bx=0 都只有零解,则 A,B 为等价矩阵若 A,B 为相似矩阵,则 Ax=0 与 Bx=0 的解空间的维数相同以上命题中正确的是(分数:4.00)A.B.C.D.3.设函数 f(x)在(-,+)内可导,则下列结论中正
2、确的是(分数:4.00)A.若 f(x)为周期函数,则 f(x)也是周期函数B.若 f(x)为单调增加函数,则 f(x)也是单调增加函数C.若 f(x)为偶函数,则 f(x)也是偶函数D.若 f(x)为奇函数,则 f(x)也是奇函数4.设(X,Y)为二维随机变量,则 X 与 Y 独立的充要条件为(分数:4.00)A.|X|与|Y|独立B.X2与 Y2独立C.X3与 Y3独立D.X4与 Y4独立5.设随机变量 X,Y,Z 相互独立,且 XN(1,2),YN(2,2),ZN(3,7),记 a=PXY,b=PYZ),则有(分数:4.00)A.abB.abC.a=bD.a,b 的大小关系不能确定6.设
3、向量组 1,2,3 线性无关,若存在常数 l,m,使得 l 2- 1,m 3- 2, 1- 3线性无关,则(分数:4.00)A.lm=1B.lm1C.lm=2D.lm27.设 y=y(x)是二阶常系数微分方程 y“+Py+qy=e2x满足初始条件 y(0)=y(0)=0 的特解,则当 x0 时,函数 (分数:4.00)A.B.C.D.8.设 (x)为区间0,1上的正值连续函数,a 与 b 为任意常数,区域 D=(x,y)|0x,y1,则(分数:4.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9.设 f(x)有一阶连续导数,且 f(0)=0,f(0)=1,则 (分数:4.00
4、)填空项 1:_10.差分方程 yx+1+2yx=5x2的通解为 1.(分数:4.00)填空项 1:_11. (分数:4.00)填空项 1:_12.z=f(u,x,y),x 2=x2ey,其中 f 具有连续的二阶偏导数,则 (分数:4.00)填空项 1:_13.设 A 为 3 阶方阵,且|A|=2,则|2(A *)-1|=_(分数:4.00)填空项 1:_14.设总体 X 的方差为 1,根据来自 X 的容量为 100 的简单随机样本,测得样本均值为 5,则 X 的数学期望的置信度等于 0.95 的置信区间为_(1.96)=0.95)(分数:4.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:9,分数:
5、94.00)15.设 (分数:10.00)_16.设 f(x)在0,1上是非负、单调减的连续函数,且 0ab1, (分数:10.00)_17.()求 I(a);() (分数:10.00)_18.某厂家生产的一种产品同时在 A,B 两个市场销售,售价分别为 p1和 p1;销售量分别为 q1和 q2;需求函数分别为 q1=3-0.5p1和 q2=2-3p2;总成本函数为 (分数:10.00)_19.设()求证: (分数:10.00)_20.已知矩阵 有零特征值,又矩阵 (分数:10.00)_21.设 A,B,C 都是 n 阶矩阵,A,B 各有 n 个不同的特征值,又 f()是 A 的特征多项式,且
6、 f(B)为可逆阵求证: (分数:10.00)_22.设 A,B 为两个随机事件,且(分数:10.00)_23.设 X1,X 2,X n为总体 X 的一个样本,X 的概率密度为 (分数:14.00)_考研数学三-113 答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.函数 f(x)在 x=0 处可导,且 f(0)=0,f(0)=1,设 (分数:4.00)A.B. C.D.解析:解析 *2.设 A,B 为 n 阶矩阵,考虑以下命题:若 A,B 为等价矩阵,A,B 的行向量组等价若行列式|A|=|B|,则 A,B 为等价矩阵若 Ax=0 与 Bx=
7、0 都只有零解,则 A,B 为等价矩阵若 A,B 为相似矩阵,则 Ax=0 与 Bx=0 的解空间的维数相同以上命题中正确的是(分数:4.00)A.B.C.D. 解析:解析 A,B 等价推不出 A,B 的行向量组等价如*,A,B 等价,但 A,B 行向量组并不等价可排除 A若|A|=|B|,但 rA 未必与 rB 相等可排除 BC故选 D3.设函数 f(x)在(-,+)内可导,则下列结论中正确的是(分数:4.00)A.若 f(x)为周期函数,则 f(x)也是周期函数 B.若 f(x)为单调增加函数,则 f(x)也是单调增加函数C.若 f(x)为偶函数,则 f(x)也是偶函数D.若 f(x)为奇
8、函数,则 f(x)也是奇函数解析:解析 取 f(x)=x3,f(x)=3x 2可排除 BD;取 f(x)=x2,f(x)=2x 可排除 C事实上,若*,故选 A4.设(X,Y)为二维随机变量,则 X 与 Y 独立的充要条件为(分数:4.00)A.|X|与|Y|独立B.X2与 Y2独立C.X3与 Y3独立 D.X4与 Y4独立解析:解析 若 X,Y 独立,则|X|与|Y|、X 2与 Y2、X 3与 Y3、X 4与 Y4均独立;但反过来,只有 X3与 Y3独立时,才可推导出 X 与 Y 独立,即 P(Xx,Yy)=P(X 3x 3,Y 3y 3)=P(X3x 3)P(Y3y 3)=P(Xx)P(Y
9、y)故选 C5.设随机变量 X,Y,Z 相互独立,且 XN(1,2),YN(2,2),ZN(3,7),记 a=PXY,b=PYZ),则有(分数:4.00)A.ab B.abC.a=bD.a,b 的大小关系不能确定解析:解析 XyN(-1,4),Y-ZN(-1,9),于是 a=PXY)=*而 (x)单调增加,所以 ab故选 A6.设向量组 1,2,3 线性无关,若存在常数 l,m,使得 l 2- 1,m 3- 2, 1- 3线性无关,则(分数:4.00)A.lm=1B.lm1 C.lm=2D.lm2解析:解析 *,当 1, 2, 3线性无关时,若 l 2- 1,m 3- 2, 1- 3线性无关,
10、则*即 lm1,故选 B7.设 y=y(x)是二阶常系数微分方程 y“+Py+qy=e2x满足初始条件 y(0)=y(0)=0 的特解,则当 x0 时,函数 (分数:4.00)A.B.C. D.解析:解析 *又由方程 y“+py+qy=e2x,将 x=0 代入,y“(0)=1所以极限=18.设 (x)为区间0,1上的正值连续函数,a 与 b 为任意常数,区域 D=(x,y)|0x,y1,则(分数:4.00)A.B.C.D. 解析:解析 由题设可知,更换 x 和 y,积分值不变,即*二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9.设 f(x)有一阶连续导数,且 f(0)=0,f(0)=1,则 (分
11、数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:e)解析:解析 *10.差分方程 yx+1+2yx=5x2的通解为 1.(分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:解析 特征方程为 +2=0,则 =-2,于是对应的齐次方程的通解为 yA=C(-2)x设非齐次方程的一个特解为*将其代入方程得 B0+B1(x+1)+B2(x+1)2+2(B0+B1x+B2x2)=5x2,整理得 3B0+B1+B2+(3B1+3B2)x+3B2x2=5x2比较同次项系数,得*于是特解为*故所求方程的通解为*11. (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:解析 令*则 f(x)=3x2+g(x)
12、-l,g(x)=4x-f(x)+2k,以上两式分别在0,1上对 x 积分,得*解之得*12.z=f(u,x,y),x 2=x2ey,其中 f 具有连续的二阶偏导数,则 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:2xe yf1+2x3f“11+2xeyf“13+x2eyf“21+f“23)解析:解析 *13.设 A 为 3 阶方阵,且|A|=2,则|2(A *)-1|=_(分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:2)解析:解析 由题设可知|A *|=|A|2=4,则*故|2(A *)-1|=23|(A*)-1|=214.设总体 X 的方差为 1,根据来自 X 的容量为 100 的简单随机
13、样本,测得样本均值为 5,则 X 的数学期望的置信度等于 0.95 的置信区间为_(1.96)=0.95)(分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:(4.804,5.196))解析:解析 因为 n=100 属大样本,由中心极限定理可知*近似服从*,故*的置信度近似等于0.95 的置信区间为*三、解答题(总题数:9,分数:94.00)15.设 (分数:10.00)_正确答案:(*)解析:16.设 f(x)在0,1上是非负、单调减的连续函数,且 0ab1, (分数:10.00)_正确答案:(由定积分中值定理得*)解析:17.()求 I(a);() (分数:10.00)_正确答案:(D 关于 x
14、 轴对称,设 D1为 D 在第一象限的部分,则*)解析:18.某厂家生产的一种产品同时在 A,B 两个市场销售,售价分别为 p1和 p1;销售量分别为 q1和 q2;需求函数分别为 q1=3-0.5p1和 q2=2-3p2;总成本函数为 (分数:10.00)_正确答案:(*3,p 2=4由于可能极值点唯一,且问题必存在最大值,因此当 p1=3,p 2=4 时,利润最大)解析:19.设()求证: (分数:10.00)_正确答案:(*)解析:20.已知矩阵 有零特征值,又矩阵 (分数:10.00)_正确答案:(*()因为方程组 Ac= 1,Ax= 2,Ax= 3的通解依次为*故矩阵方程的解为*)解
15、析:21.设 A,B,C 都是 n 阶矩阵,A,B 各有 n 个不同的特征值,又 f()是 A 的特征多项式,且 f(B)为可逆阵求证: (分数:10.00)_正确答案:(证 下证 M 有 2n 个不同的特征值设 是 B 的任意特征值,则 f()是 fB 的特征值因为 fB 为可逆阵,所以 fB 没有零特征值,也就是说 f()不等于零,即 不是 A 的特征值,于是 A 和 B的特征值互不相同又*因此,矩阵 M 有 2n 个不同的特征值,必相似于对角阵)解析:22.设 A,B 为两个随机事件,且(分数:10.00)_正确答案:(*即*()由()可得*即*)解析:23.设 X1,X 2,X n为总体 X 的一个样本,X 的概率密度为 (分数:14.00)_正确答案:(似然函数为*取对数得*)解析: