1、考研数学三-112 及答案解析(总分：150.02，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.下列二元函数中在点(0，0)处可微的是（分数：4.00）A.B.C.D.2.下列函数中在区间-2，3上不存在原函数的是（分数：4.00）A.B.C.D.3.设二元函数 f(u，v)对任何(u，v)具有一阶连续偏导数，且 f(0，0)=0，f u(u，v)f v(u，v)0，则对任何(x，y)，下列等式恒成立的是（分数：4.00）A.B.C.D.4.设矩阵 A 是秩为 2 的 4 阶矩阵，又 1， 2， 3是线性方程组 Ax=b 的解，且 1+ 2- 3=(2，0，-5，4)
2、T， 2+2 3=(3，12，3，3) T， 3-2 1=(2，4，1，-2) T，则方程组 Ax=b 的通解 x=（分数：4.00）A.B.C.D.5.已知矩阵（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 X1，X 2，X n是取自正态总体 N(， 2)的简单随机样本，其样本均值和方差分别为 则服从自由度为 n 的 2分布的随机变量是（分数：4.00）A.B.C.D.7.反常积分 （分数：4.00）A.B.C.D.8.设事件 A，B，C 是一个完备事件组，即它们两两互不相容且其和为力，则下列结论中一定成立的是（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.极限 （
3、分数：4.00）填空项 1:_10.设 (u，v，w)有一阶连续偏导数且 2- 30，z=z(x，y)是由 (x 2-y2，y 2-z2，z 2-x2)=0 确定的函数，则当 z0 时 （分数：4.00）填空项 1:_11.设连续函数 y(x)满足方程 （分数：4.00）填空项 1:_12.一阶常系数差分方程 yt+1-4yt=16(t+1)4t满足初值 y0=3 的特解是 yt=_。（分数：4.00）填空项 1:_13.已知 （分数：4.00）填空项 1:_14.设随机变量 X 与 Y 独立，X 服从参数为 2 的泊松分布，Y 服从区间-3，3上的均匀分布，则 D(XY)=_。（分数：4.0
4、0）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.确定方程 1+lnx=kx 的根的个数，其中常数 k 可取任何实数。（分数：10.00）_16.设函数 f(x)在区间0，1上连续，且 （分数：10.00）_17.设某企业生产一种产品，其成本 平均收益 当边际收益 MR=44，需求价格弹性 时获得最大利润，求获得最大利润时产品的产量及常数 a 与 b 的值。（分数：10.00）_18.计算二重积分 其中积分区域 D 是由直线 x=1，y=0 以及曲线 （分数：10.00）_19.求幂级数 （分数：10.00）_已知 A 是 24 矩阵，齐次方程组 Ax=0 的基础解系是 1=(
5、1，3，0，2) T， 2=(1，2，-1，3) T，又知齐次方程组 Bx=0 的基础解系是 1=(1，1，2，1) T， 2=(0，-3，1，a) T，（分数：11.00）(1).求矩阵 A；（分数：5.50）_(2).如果齐次线性方程组 Ax=0 与 Bx=0 有非零公共解，求 a 的值并求公共解。 （分数：5.50）_已知矩阵（分数：11.00）(1).求可逆矩阵 P，使(AP) T(AP)为对角矩阵；（分数：5.50）_(2).若 A+kE 正定，求 k 的取值。（分数：5.50）_掷 3 颗骰子，X 表示 3 颗中掷出奇数点的骰子数，令随机变量（分数：11.01）_(2).判断 X
6、与 1，是否相关；（分数：3.67）_(3).求在 Y=1 条件下关于 Z 的条件分布函数。（分数：3.67）_设随机变量 X1与 X2相互独立，且 X1N(0，1)，X 2服从 （分数：11.01）(1).的概率密度； （分数：3.67）_(2).Y=X+X2的概率密度；（分数：3.67）_(3).EY 与 DY。 （分数：3.67）_考研数学三-112 答案解析(总分：150.02，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.下列二元函数中在点(0，0)处可微的是（分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 这几个函数均有 f(0，0)=0，按可微定义，若 f(0
7、，0)=0，则 f(x，y)在点(0，0)处可微且*(B)中的 f(x，y)满足：*因此，(B)中的 f(x，y)在点(0，0)处可微，故应选(B)。*2.下列函数中在区间-2，3上不存在原函数的是（分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析一 我们知道连续函数一定存在原函数，若这四个函数中有三个是连续的，则其余的一个就被选中。(A)存在原函数，显然，x0 时 f(x)连续，又因为*f(x)在点 x=0 处连续。因此 f(x)在-2，3上连续，故 f(x)在-2，3上存在原函数。(B)存在原函数，因为*在-2，3上连续，故 f(x)在-2，3上存在原函数(D)存在原函数，因为，g(x)在-2
8、，3上有界，除 x=1 外连续，从而 g(x)在-2，3上可积，故*在-2，3上连续，于是*在-2，3上存在原函数，综上分析，应选(C)。分析二 直接证明(C)中给出的 f(x)在-2，3上不存在原函数。显然，当 x0 时，f(x)连续；当 x=0 时，由于*可知 x=0 是 f(x)的第一类问断点*f(x)在-2，3上不存在原函数，因此，应选(C)。*3.设二元函数 f(u，v)对任何(u，v)具有一阶连续偏导数，且 f(0，0)=0，f u(u，v)f v(u，v)0，则对任何(x，y)，下列等式恒成立的是（分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 对任何固定的(x，y)引入以 t 为
9、自变量的一元函数 F(t)=f(tx，ty)，于是，(0)=f(0，0)=0，F(1)=f(x，y)。由题设知 F(t)可导，又 F(t)，是二元函数 f(u，v)与 t 的一元函数 u=xt，v=yt 的复合函数，按复合函数求导法则可得*从而 F(t)是连续函数，最后，利用牛顿-莱布尼兹公式即得*故应选(C)。4.设矩阵 A 是秩为 2 的 4 阶矩阵，又 1， 2， 3是线性方程组 Ax=b 的解，且 1+ 2- 3=(2，0，-5，4) T， 2+2 3=(3，12，3，3) T， 3-2 1=(2，4，1，-2) T，则方程组 Ax=b 的通解 x=（分数：4.00）A. B.C.D.
10、解析：分析 由于 n-r(A)=4-2=2，故方程组 Ax=b 的通解形式应为 +k 1 1+k2 2，这样可排除(C)，(D)。因为*所以(A)中(1，4，1，1) T和(B)中(-2，-4，-1，2) T都是方程组 Ax=b 的解。(A)和(B)中均有(2，2，-2，1) T，因此它必是 Ax=0 的解，只要检验(1，-4，-6，3) T和(1，8，2，5) T哪一个是 Ax=0 的解就可以了。由于 3( 1+ 2- 3)-( 2+2 3)=3( 1- 3)+2( 2- 3)是 Ax=0 的解，所以(3，-12，-18，9) T是 Ax=0 的解，那么(1，-4，-6，3) T是 Ax=0
11、 的解，故应选(A)。5.已知矩阵（分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 因*则有*6.设 X1，X 2，X n是取自正态总体 N(， 2)的简单随机样本，其样本均值和方差分别为 则服从自由度为 n 的 2分布的随机变量是（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 因 XN(， 2)，所以*又因*与 S2独立，根据 2分布的可加性，只需 4 个选项中的第 1 个加项服从 2(1)分布即可，依题意，有*应选(D)。7.反常积分 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 令*作换元，由于 x：01 对应 t：01，且 dx=2tdt，故*即应选(B)。8.设事件 A，B，C 是一
12、个完备事件组，即它们两两互不相容且其和为力，则下列结论中一定成立的是（分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 *而任何事件与概率为 1 的事件都独立，因此应选(C)。进一步分析，由于 ABC=，若*即*相容；若*但 A 与 B 不能都是必然事件 ，故 A，B 不能都是不可能事件*，即*不会两两互不相容，它们不能构成一个完备事件组，也不能两两对立，即选项(A)、(D)均不正确，又因 A，B，C两两互不相容，于是有 P(AB)=P(AC)=P(BC)=0，只要 A，B，C 中有两个事件的概率大于零，A，B，C 就不可能两两独立，因此也不能选(B)。二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9
13、.极限 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：分析 由洛必达法则可得*从而令*作换元，可得 x+对应 u0，于是*10.设 (u，v，w)有一阶连续偏导数且 2- 30，z=z(x，y)是由 (x 2-y2，y 2-z2，z 2-x2)=0 确定的函数，则当 z0 时 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析一 方程两边求全微分得 1d(x2-y2)+ 2d(y2-z2)+ 3d(z2-x2)=0，即 1(2xdx-2ydy)+ 2(2ydy-2zdz)+ 3(2zdz-2xdx)=0，整理得 x( 1- 3)dx+y( 2- 1)dy=z( 2- 3)d
14、z，于是*由 dx，dy 的系数分别为*知*分析二 代公式，先分别求出*把方程记为 F(x，y)=0，其中F(x，y)=(x 2-y2，y 2-z2，z 2-x2)，*11.设连续函数 y(x)满足方程 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 在方程*中令 x=1 可得 y(1)=4，由函数 y(x)连续及方程可知函数 y(x)当 x1 时可导，且*令*，y=u+xu，把它们代入方程(*)就有新方程*积分求可得方程(*)的通解为*从而方程(*)的通解就是*利用初值 y(1)=4 可确定常数*故所求函数为*12.一阶常系数差分方程 yt+1-4yt=16(t+1)4t满足初
15、值 y0=3 的特解是 yt=_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(2t 2+2t+3)4t）解析：分析 应设特解为 yt=(At2+Bt+C)4t，其中 A，B，C 为待定常数，令 t=0 可得 y0=C，利用初值 y0=3即可确定常数 C=3，于是待求特解为 yt=(At2+Bt+3)4t。把 yt+1=A(t+1)2+B(t+1)+34t+1=4At2+(2A+B)t+A+B+34t与 yt代入方程可得yt+1-4yt=4(2At+A+B)4t由此可见待定常数 A 与 B 应满足恒等式4(2At+A+B)*16(t+1)*A=B=2故特解为 y t=(2t2+2t+3)4t
16、13.已知 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 由于 A(A2)2=A5，故 A=(A2)2-1A5=(A2)-12A5而*所以*注意*本题中计算出*更简捷一些。14.设随机变量 X 与 Y 独立，X 服从参数为 2 的泊松分布，Y 服从区间-3，3上的均匀分布，则 D(XY)=_。（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：18）解析：分析 依题意 EX=DX=2，EX 2=DX+(EX)2=6；*D(XY)=E(XY)2-E(XY)2=E(X2Y2)-(EXEY)2由于 X 与 Y 独立，故 X2与 Y2也独立，E(XY)=EXEY=0，E(X 2Y2)=EX2
17、EY2=18，于是有D(XY)=18三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.确定方程 1+lnx=kx 的根的个数，其中常数 k 可取任何实数。（分数：10.00）_正确答案：(引入函数 F(x)=1+lnx-kx，则对于任何实数 k，函数 F(x)都在区间(0，+)内可导，且*由此可见，当 k0 时对任何 x0 都有 F(x)0，这表明当 k0 时函数 F(x)在区间(0，+)内单调增加，又因*，故当 k0 时函数 F(x)在区间(0，+)内有唯一零点，即当 k0 时方程 1+lnx=kx 有唯一根，特别，当 k=0 时方程 1+lnx=kx 变成方程 1+lnx=0，易见它有唯一根
18、。*当 k0 时，由于*从而函数 F(x)在区间*内单调增加，在区间*内单调减少，在点*处取得最大值*当 k1 时，由于函数 F(x)的最大值-lnk0，故这时方程 1+lnx=kx 无根；当 k=1 时，由于函数 F(x)的最大值-lnk=0，故这时方程 1+lnx=kx 有唯一根 x=1；而当 0k1 时，由于函数 F(x)的最大值-lnk0，故这时方程 1+lnx=kx 有两个根 x1与 x2，且*与*)解析：16.设函数 f(x)在区间0，1上连续，且 （分数：10.00）_正确答案：(证明一 用反证法若 f(x)在(0，1)内没有零点，由 f(x)在0，1上连续可知 f(x)在(0，
19、1)内或者恒正即 f(x)0，或者恒负即 f(x)0，显然这与*矛盾。若 f(x)在(0，1)内只有一个零点 x0，这时只有两种情况：*在前一种情形下，当 0xx 0时同时有 x-x00 与 f(x)0，而当 x0x1 时同时有 x-x00 与 f(z)0，从而*这与*矛盾，在后一种情形下也可类似得出矛盾。由此可见 f(x)在(0，1)内至少有两个不同的零点，即存在满足 01 的 与 ，使得 f()=f()=0 成立。证明二 若在0，1上 f(x)*0，则命题结论成立，设 f(x)不恒为零，且*则 F(0)=F(1)=0，又由 F(x)在0，1上可导即知 F(x)=f(x)，因此*由于 F(x
20、)为0，1上的连续函数，且*可知必定存在一点 c(0，1)，使 F(c)=0，否则*，与(*)式矛盾。在0，c，c，1上分别对 F(x)应用罗尔定理，可知必定存在 (0，c)，(c，1)，使得F()=f()=0，F()=f()=0)解析：17.设某企业生产一种产品，其成本 平均收益 当边际收益 MR=44，需求价格弹性 时获得最大利润，求获得最大利润时产品的产量及常数 a 与 b 的值。（分数：10.00）_正确答案：(收益函数*当取得最大利润时，边际收益等于边际成本，即 MR=MC又 MR=R=a-bQ，于是44=C(Q)=2Q2-32Q+100，即 Q 2-16Q+28=0解得 Q 1=1
21、4，Q 2=2又*故当 Q=14 时，*企业利润取极大值。由于*即*得 =82。又*于是，当 Q=14 时，有*解得 a=120，*当 Q=2 时，得 b=38，不满足 0b24 的条件，故舍去。所以当产量 Q=14 时，企业利润取极大值，也是最大值。)解析：18.计算二重积分 其中积分区域 D 是由直线 x=1，y=0 以及曲线 （分数：10.00）_正确答案：(令 x=rcos，y=rsin，在极坐标系(r，)中积分区域*从而*又*令*代入即得*)解析：19.求幂级数 （分数：10.00）_正确答案：(因在幂级数中所有奇次幂项系数为零，可直接求级数中后项与前项绝对值之比的极限，并利用比值判
22、别法得出收敛半径，设 x0，则*从而，当|x|1 时幂级数绝对收敛，当|x|1 时幂级数发散，其收敛半径 R=1，当 x=1 时幂级数成为交错级数*单调减少，且*，按莱布尼兹判别法知级数条件收敛，故幂级数*的收敛域 D=-1，1。设*注意*于是，分解原幂级数，可得*因*故*又因 S2(0)=0，而当 xO 时*从而*注意原幂级数当 x=1 时收敛，而上面得到的和函数表达式在 x=1 处也连续，因而和函数公式在点x=1 处也成立，即*)解析：已知 A 是 24 矩阵，齐次方程组 Ax=0 的基础解系是 1=(1，3，0，2) T， 2=(1，2，-1，3) T，又知齐次方程组 Bx=0 的基础解
23、系是 1=(1，1，2，1) T， 2=(0，-3，1，a) T，（分数：11.00）(1).求矩阵 A；（分数：5.50）_正确答案：(记 C=( 1， 2)，由 AC=A( 1， 2)=0 知 CTAT=0，那么矩阵 AT的列向量(即矩阵 A 的行向量)是齐次线性方程组 CTx=0 的解，对 CT作初等行变换，有*得到 CTx=0 的基础解系为： 1=(3，-1，1，0) T， 2=(-5，1，0，1) T所以矩阵*)解析：(2).如果齐次线性方程组 Ax=0 与 Bx=0 有非零公共解，求 a 的值并求公共解。 （分数：5.50）_正确答案：(设齐次线性方程组 Ax=0 与 Bx=0 的
24、非零公共解为 ，则 既可由 1，2 线性表出，也可由 1， 2线性表出，故可设=x 1 1+x2 2=-x3 1-x4 2，于是 x 1 1+x2 2+x3 1+x4 2=0对( 1， 2， 1， 2)作初等行变换，有*0*x 1，x 2，x 3，x 4不全为 0*秩 r( 1， 2， 1， 2)4*a=0。当 a=0 时，解出 x4=t，x 3=-t，x 2=-t，x 1=2t。因此 Ax=0 与 Bx=0 的公共解为 =2t 1-t 2=t(1，4，1，1) T，其中 t 为任意常数。)解析：*已知矩阵（分数：11.00）(1).求可逆矩阵 P，使(AP) T(AP)为对角矩阵；（分数：5
25、.50）_正确答案：(因为 AT=A，则(AP) T(AP)=PTATAP=PTA2P，又*构造二次型*经配方*那么，令*即*则二次型化为标准形*于是，二次型合同，故*)解析：(2).若 A+kE 正定，求 k 的取值。（分数：5.50）_正确答案：(由|E-A|=( 2-1)(-5)，知矩阵 A 的特征值为：1，5，0，-1，进而可知 A+kE 的特征值为 k+1，k+5，k，k-1，于是由 A+kE 正定可知，k1。)解析：掷 3 颗骰子，X 表示 3 颗中掷出奇数点的骰子数，令随机变量（分数：11.01）_解析：(2).判断 X 与 1，是否相关；（分数：3.67）_正确答案：(*由此可
26、知 0，故 X 与 Y 相关。)解析：(3).求在 Y=1 条件下关于 Z 的条件分布函数。（分数：3.67）_正确答案：(由于 Z=(X-1)2的取值为 0，1，4，并且*或*于是在 Y=1 条件下 Z 的概率分布*从而容易写出在 Y=1 条件下 Z 的条件分布函数为*)解析：设随机变量 X1与 X2相互独立，且 X1N(0，1)，X 2服从 （分数：11.01）(1).的概率密度； （分数：3.67）_正确答案：(*的分布函数记为 FX(x)，则*当 x0 时，*从而*于是 X 的概率密度为*)解析：(2).Y=X+X2的概率密度；（分数：3.67）_正确答案：(由于 X1与 X2独立，故*(即 X)与 X2也独立，根据独立随机变量之和的卷积公式*只有当 x0 且 y-x0 时，即 0xy 时，被积函数才不为 0，因此*于是 Y 的概率密度为*)解析：(3).EY 与 DY。 （分数：3.67）_正确答案：(方法 1。 因 X1N(0，1)，故 EX1=0，DX 1=1，*；又 X2服从参数*的指数分布，故*于是*又*由于*独立，而独立随机变量之和的方差等于其方差的和，故*方法 2。*故 DY=EY 2-(EY)2=15-9=6)解析：依题意 X1与 X2的概率密度分别为*
