1、考研数学三-111 及答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数:50,分数:100.00)1.设 f(x)在 x=0的某邻域内有定义,f(0)=0,则下述条件能保证 f(0)存在的是 A 存在 B存在 C 存在 D (分数:2.00)A.B.C.D.2.设 为常数, (分数:2.00)A.B.C.D.3.设 f(x)在 x=0处存在二阶导数,且 f(0)=0,f(0)=0,f“(0)0,则 = A1 B C D (分数:2.00)A.B.C.D.4.设 f(x)连续,且 f(x)在 x=0处可导,f(0)=0,f(0)=1并设,且 (分数:2.00)A.
2、B.C.D.5.下列命题正确的是 A.如果 f(x)在 x=x0处不可导,则 f(x)在 x=x0处不连续 B.如果 f(x0)=0,则 f(x0)必是极值点 C.如果 f(x)在 x=x0处连续,则必存在 0,当 xU (x0)时 f(x)连续 D.如果 f(x0)0,则 f“(x0)必不为零(分数:2.00)A.B.C.D.6.设 f(x)与 g(x)在 x=x0处都可导,并且是它们的极大值点F(x)=f(x)g(x)则 A.x=x0必是 F(x)的极大值点 B.x=x0必是 F(x)的极小值点 C.x=x0必不是 F(x)的极值点 D.x=x0可以是 F(x)的极值点,也可以不是 F(x
3、)的极值点(分数:2.00)A.B.C.D.7.设 f(x)在 x=x0存在 3阶导数,f(x 0)=f“(x0)=0,f“(x 0)0则 A.f(x0)是 f(x)的极大值 B.f(x0)是 f(x)的极小值 C.f(x0)是 f(x)的极大值 D.f(x0)是 f(x)的极小值(分数:2.00)A.B.C.D.8.设 y=f(x)存在二阶导数,f(x 0)0,f“(x)0并设 y=f(x 0+x)-f(x 0),x=dx0,dy=f(x 0)dx则 A.ydy0 B.dyy0 C.ydy0 D.dyy0(分数:2.00)A.B.C.D.9.设 f(x)在 x=0处存在 3阶导数,且 (分数
4、:2.00)A.B.C.D.10.设 f(x)在 x=x0的某邻域内有定义,则“ (分数:2.00)A.B.C.D.11.设 f(x)存在二阶导数,下述结论正确的是 A.若 f(x)只有两个零点,则 f(x)必定只有一个零点 B.若 f“(x)正好有一个零点,则 f(x)必正好有三个零点 C.若 f(x)没有零点,则 f(x)至多有一个零点。 D.若 f“(x)至多有两个零点,则 f(x)至多有四个零点(分数:2.00)A.B.C.D.12.设 f(x)在(a,b)内存在一阶导数,下述论断正确的是 A若 ,且 f(x)0,则 f(x)0(当x(a,b) B若 ,且 f(x)0,则 f(x)0(
5、当 x(a,b) C若 (分数:2.00)A.B.C.D.13. (分数:2.00)A.B.C.D.14.设 f(x)在 x=x0的某邻域内可导,且 (分数:2.00)A.B.C.D.15.设 f(x)=|x-x0|g(x),g(x 0)及 均存在则 f(x)在 x=x0处可导的充要条件是Ag(x 0)=0 B (分数:2.00)A.B.C.D.16.设 则 Ax=0 不是 f(x)的驻点 Bx=0 是 f(x)的一个驻点,且是 f(x)的极大值点 Cx=0是 f(x)的一个驻点,且是 f(x)的极小值点 D存在 0,在 的左侧 f(x)单调减,在 (分数:2.00)A.B.C.D.17.设
6、则A 不存在,f(0)也不存在B (分数:2.00)A.B.C.D.18.设当 x(0,+)时 (分数:2.00)A.B.C.D.19.设 f(x)在有限区间(a,b)上可导,下列命题正确的是 A.若 f(x)在(a,b)上有界,则 f(x)在(a,b)上有界 B.若 f(x)在(a,b)上有界,则 f(x)在(a,b)上有界 C.若 f(x)在(a,b)上有界,则 f(x)在(a,b)上无界 D.若 f(x)在(a,b)上有界,则 f(x)在(a,b)上无界(分数:2.00)A.B.C.D.20.设 f(x)在区间(0,+)上可导,下列命题若 f(x)在(0,+)上无界,则 f(x)在(0,
7、+)上有界若 f(x)在(0,+)上无界,则 f(x)在(0,+)上有界若 f(x)在(0,+)上无界,则 f(x)在(0,+)上无界若 f(x)在(0,+)上无界,则 f(x)在(0,+)上无界正确的个数 A.0个 B.1个 C.2个 D.至少 3个(分数:2.00)A.B.C.D.21.设 f(x)=x2|x|,则 f(n)(0)存在的最大 n= A.1 B.2 C.3 D.4(分数:2.00)A.B.C.D.22.设 f(x)在(0,+)内可导,论断正确的是 A若 ,则 B若 ,则 C若,则 D若 ,则 (分数:2.00)A.B.C.D.23.曲线 y=ln(1+ex)的渐近线的条数为
8、A.0条 B.1条 C.2条 D.3条(分数:2.00)A.B.C.D.24.设 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,并且 f(a)f(b),又设 y=f(x)不是一条直线下述命题至少存在一点 1(a,b)使 至少存在一点 2(a,b)使 至少存在一点 3(a,b)使 (分数:2.00)A.B.C.D.25.设 f(x)在a,b上可导,且 f(a)f(b)0,则下述命题至少存在一点 x0(a,b)使 f(x0) f(a)至少存在一点 x0(a,b)使 f(x0)f(b)至少存在一点 x0(a,b)使 f(x0)=0至少存在一点 x0(a,b)使 (分数:2.00)A.B.C.D.26.
9、设 f(x)在 x=x0的某邻域内存在二阶导数,且 (分数:2.00)A.B.C.D.27.设 f(x)在 x=a的某邻域内连续,且 f(a)为其极小值则存在 0,当 x(a-,a+)且 xa 时, A B C D (分数:2.00)A.B.C.D.28.设 f(x)在 x=0处可导,则 F(x)=f(x)(1+|sinx|)在 x=0处可导的充要条件是 A.f(0)=0 B.f(0)=0 C.f(0)+f(0)=0, D.f(0)-f(0)=0(分数:2.00)A.B.C.D.29.设 f(x)在 x=a处连续且 (分数:2.00)A.B.C.D.30.设 f(x)=(x2-3)|x-4|则
10、曲线 y=f(x)有拐点 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个(分数:2.00)A.B.C.D.31.设 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内存在二阶导数且 f(a) 0,f(b)0,f(x)0则 f(x)在(a,b)内 A.没有零点 B.正好有 1个零点 C.正好有 2个零点 D.有多于 2个零点。(分数:2.00)A.B.C.D.32.设 f(x)在 x=1的某邻域内连续,且(分数:2.00)A.B.C.D.33.曲线 (分数:2.00)A.B.C.D.34.下列命题正确的是 A.设|f(x)|在 x=x0处可导,则 f(x)在 x=x0亦可导 B.设 f(x)在 x=x0处可导,则|
11、f(x)|在 x=x0亦可导 C.设|f(x)|在 x=x0处连续,则 f(x)在 x=x0亦连续 D.设 f(x)在 x=x0处连续,则|f(x)|在 x=x0亦连续(分数:2.00)A.B.C.D.35.设 f(x)在 x=a处可导,则|f(x)|在 x=a处不可导的充分必要条件是 A.f(a)=0且 f(a)=0 B.f(a)=0但 f(a)0 C.f(a)0 但 f(a)=0 D.f(a)0 且 f(a)0(分数:2.00)A.B.C.D.36.设 f(x)具有二阶连续导数,f(0)=0,f(0)=0,f“(x)0并且在曲线 y=f(x)上任意一点(x,f(x)(x0)作此曲线的切线,
12、此切线在 x轴上的截距为 u,则 = A B1 C (分数:2.00)A.B.C.D.37.设函数 y=f(x)连续,除 x=a外均二阶可导,其一阶导函数 y=f(x)的图形如下图所示,则 y=f(x)(分数:2.00)A.B.C.D.38.下述论断正确的是 A.设 f(x)在(-,+)上有定义,除 x=0外均可导,且 f(x)0,则 f(x)在(-,+)上是严格单调增加的 B.设 f(x)为偶函数且 x=0是 f(x)的极值点,则 f(0)=0 C.设 f(x)在 x=x0处二阶可导,且 f“(x0)0,则 x=x0是 f(x)的极小值点 D.设 f(x)在 x=x0处三阶可导,且 f(x0
13、)=0,f“(x 0)=0,f“(x 0)0,则 x=x0一定不是 f(x)的极值点(分数:2.00)A.B.C.D.39.设 为函数 f(x)=arcsinx在区间0,b上使用拉格朗日中值定理中的“中值”,则极限 = A B C D (分数:2.00)A.B.C.D.40.设 f(x)在 x=a处具有二阶导数,则 = A0 Bf“(a) C (分数:2.00)A.B.C.D.41.设 f(x)与 g(x)在 x=x0处存在二阶导数,f(x 0)=g(x0)=0,f(x 0)g(x0)0则对于 F(x)=f(x)g(x), A.x0必不是 F(x)的驻点 B.x0是 F(x)的驻点,但不是它的
14、极值点 C.x0是 F(x)的极小值点 D.x0是 F(x)的极大值点(分数:2.00)A.B.C.D.42.设 (分数:2.00)A.B.C.D.43.f(x)=(1-2x)ex+x的零点个数为 A.0个 B.1个 C.2个 D.多于 2个(分数:2.00)A.B.C.D.44.设 f(x)对任意 x均满足 f(1+x)=af(x),且 f(0)=b,其中 a与 b都是常数,则 f(x)在 x=1处 A.不可导。 B.可导,f(1)=a C.可导,f(1)=b D.可导,f(1)=ab(分数:2.00)A.B.C.D.45.在下列式子的右边有定义处,这些等式中正确的是A . B .C (分数
15、:2.00)A.B.C.D.46.设 (分数:2.00)A.B.C.D.47.设函数 y=f(x)在区间-1,3上的图形如图: 则 的图形为 A B C D (分数:2.00)A.B.C.D.48.设 ,P= (分数:2.00)A.B.C.D.49.设 f(x)为已知的连续函数,t0,s0 均与积分变量 x无关,则积分 (分数:2.00)A.B.C.D.50.设 (分数:2.00)A.B.C.D.考研数学三-111 答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数:50,分数:100.00)1.设 f(x)在 x=0的某邻域内有定义,f(0)=0,则下述条件能保
16、证 f(0)存在的是 A 存在 B存在 C 存在 D (分数:2.00)A. B.C.D.解析:解析 本题是(A)、(B)、(C)、(D)4 个极限式中,哪个存在能保证 f(0)存在因此应将 f(0)的定义式用所给的极限式表示例如对于(A),将(A)的那个极限值记为 A,于是*所以 f(0)存在等于-A(A)的存在保证了 f(0)存在,选(A)评注 下面说明(B)、(C)、(D)的存在,不能保证 f(0)存在讨论如下:设(B)存在,其极限值记为 B,*看起来,好象(B)的存在也保证了 f(0)存在其实不然,由于*,所以 x0,所以从上述讨论看出,只保证*存在即 f+(0)存在,并不能保证 f(
17、0)存在(B)不充分设(C)存在,其极限值记为 C,*而 *不能保证*存在对于(D)留给读者去讨论或举例说明(D)的存在不能保证*存在2.设 为常数, (分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析 按要求计算 f+(0)及 f(x)即可当 x0 时*而 *可见,当 1 时 f+(0)不存在,当 1 时 f+(0)=0当 2 时*=0=f +(0)于是知(C)正确3.设 f(x)在 x=0处存在二阶导数,且 f(0)=0,f(0)=0,f“(0)0,则 = A1 B C D (分数:2.00)A.B. C.D.解析:解析 由于 f“(0)存在,故在 x=0的某邻域 f(x)存在,且在 x=0处
18、 f(x)连续因此*为“*”型但不能用洛必达法则,因为用洛必达法则要求在 x=0的某去心邻域内(xf(x)=f(x)+xf“(x)存在,对于现在这种情形,应采用凑二阶导数的办法如下: * 而 * * 所以 *,选(B) 评注 如果按下述办法做:由洛必达法则, * 读者考虑一下,哪些地方错了?条件应添加到什么程度,上述运算才合理?4.设 f(x)连续,且 f(x)在 x=0处可导,f(0)=0,f(0)=1并设,且 (分数:2.00)A.B. C.D.解析:解析 *为“*”型,而 F(x)为变限函数,用洛必达法则来处理此极限最为方便,正好将变限积分中的积分号消除但 F(x)中除了变限中有 x外,
19、被积表达式中也含有 x,宜采取下述办法之一或几个办法综合应用以使积分号内的 x搬到积分号外:(1)拆项;(2)将 x从积分号内搬到积分号外(因积分是对 t做的,x 视为常数);(3)作积分变量变换,将 f( )中的 x转化到 f( )外边去才能按上述(1)、(2)处理作积分变量变换,命 x2-t2=u,于是-2tdt=du*由于 f(x)在 x=0处可导,所以*所以要使*存在且不为零,其充要条件是 n=4,从而*选(B)评注 经常会遇到下述问题:“设*存在且不为零,n 应等于几?”答案是 n=0以后遇到类似的情况,可立即作答5.下列命题正确的是 A.如果 f(x)在 x=x0处不可导,则 f(
20、x)在 x=x0处不连续 B.如果 f(x0)=0,则 f(x0)必是极值点 C.如果 f(x)在 x=x0处连续,则必存在 0,当 xU (x0)时 f(x)连续 D.如果 f(x0)0,则 f“(x0)必不为零(分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析 由于 f(x)在 x=x0处连续,所以存在 0,当 xU (x0)时 f(x)均存在由 f(x)存在推知在 U (x0)内 f(x)连续(C)正确评注 可以举例说明(A)、(B)、(D)均不正确(A)的反例:*,f(0)不存在,但 f(x)在 x=0处连续请读者注意:若 f(x)在 x=x0处可导,则 f(x)在 x=x0处必连续,不连
21、续必不可导但不能推出不可导必不连续(B)的反例:f(x)=x 3,f(0)=0,但 x=0不是 f(x)的极值点(D)的反例:f(x)=sinx,f(x)=cosx,f“(x)=-sinxf(0)=10,但 f“(0)=06.设 f(x)与 g(x)在 x=x0处都可导,并且是它们的极大值点F(x)=f(x)g(x)则 A.x=x0必是 F(x)的极大值点 B.x=x0必是 F(x)的极小值点 C.x=x0必不是 F(x)的极值点 D.x=x0可以是 F(x)的极值点,也可以不是 F(x)的极值点(分数:2.00)A.B.C.D. 解析:解析 举例说明应选(D)。设 f(x)=-x2,f(0)
22、=0 为极大值设 g(x)=-x2,g(0)=0 为极大值F(x)=f(x)g(x)=x 4,F(0)为极小值所以不选(A),也不选(C)设 f(x)=-x2,g(x)=1-x 2,f(0)=0,g(0)=1 分别是 f(x)与 g(x)的极大值F(x)=f(x)g(x)=-x 2(1-x2),易见 F(0)=0,而 x0 且|x|充分小时 F(x)0,故 F(0)为极大值,不选(B)因此选(D)也可以举出例子F(x0)不是 F(x)的极值点,从而说明应选(D)例子如下:设 f(x)=1-x2+x3,f(x)=-2x+3x 2=x(-2+3x),当 x0 时 f(x)0,当 0x*时,f(x)
23、0,所以 f(0)=1为极大值又设 g(x)=-1-x2,易见 g(0)=-1为 g(x)的极大值F(x)=f(x)g(x)=(1-x 2+x3)(-1-x2)=-1-x3+x4-x5,F(x)=x 2(-3+4x-5x2),当 x0 且|x|很小时 F(x)0,故在 x=0的某去心邻域内 F(x)严格单调减少,所以 F(0)不是 F(x)的极值评注 因为本题最后的结论是可以这样,可以那样,所以只能甩例子来说明读者可能会有一个错觉,认为“极大值乘极大值必然是极大值”,直观的不一定可靠7.设 f(x)在 x=x0存在 3阶导数,f(x 0)=f“(x0)=0,f“(x 0)0则 A.f(x0)是
24、 f(x)的极大值 B.f(x0)是 f(x)的极小值 C.f(x0)是 f(x)的极大值 D.f(x0)是 f(x)的极小值(分数:2.00)A.B. C.D.解析:解析 选项(A)与(B)是讨论 f(x)的极值,为此,记 F(x)=f(x),题干条件成为 F(x)在 x=x0处存在二阶导数,F(x 0)=0,F(x 0)=0,f“(x 0)0,于是立即可知 F(x0)为 F(x)的极小值,而本题中有 f(x0)=f“(x0)=0,f“(x 0)0,则 f(x0)为 f(x)的极小值选(B)当然不选(A)评注 (1)接下来要说一下为什么不选(C)或(D)以下用到佩亚诺余项泰勒公式,方法值得考
25、生重视将f(x)在 x=x0处按佩亚诺余项勒公式展开至 o(x-x0)3),有*故知存在*当*且 xx 0时 f(x)-f(x0)0,当*,xx 0时 f(x)-f(x0)0所以 f(x0)既不是 f(x)的极小值,也不是 f(x)的极大值,(C)与(D)都不正确(2)本题题干中条件“设 f(x)在 x=x0存在 3阶导数,f(x 0)=0,f“(x 0)=0,f“(x 0)0”,除了得到 f(x0)为f(x)的极小值,以及 f(x0)不是 f(x)的极值两个结论外,还能得到什么呢?下面证明,在上述条件下,在点(x 0,f(x 0)左侧邻近曲线 y=f(x)是凸的,右侧邻近曲线 y=f(x)是
26、凹的,从而知点(x 0,f(x 0)是曲线y=f(x)的拐点证明如下:*由保号性,存在*,当*时 f“(x)与 x-x0同号,故知当 xx 0且*时 f“(x)0,曲线 y=f(x)是凸的;当 xx 0且*时 f“(x)0,曲线 y=f(x)是凹的,顺便得知点(x 0,f(x 0)是曲线 y=f(x)的拐点证毕(3)由(1)与(2)的讨论可知,当 f(x0)=0,f“(x 0)0(0)时,f(x 0)为 f(x)的极小(大)值,点(x 0,f(x 0)不是曲线 y=f(x)的拐点。当 f(x0)=0,f“(x 0)=0,f“(x 0)0(0)时,f(x 0)不是 f(x)的极值,点(x 0,f
27、(x 0)是曲线的拐点在点(x0,f(x 0)的左侧邻近随线 y=f(x)是凸(凹)的,在点(x 0,f(x 0)的右侧邻近曲线 y=f(x)是凹(凸)的这个结论可以记住8.设 y=f(x)存在二阶导数,f(x 0)0,f“(x)0并设 y=f(x 0+x)-f(x 0),x=dx0,dy=f(x 0)dx则 A.ydy0 B.dyy0 C.ydy0 D.dyy0(分数:2.00)A. B.C.D.解析:解析 dy=f(x 0)x0,y-dy=f(x 0+x)-f(x 0)-f(x0)x=f()x-f(x 0)z=(f)-f(x 0)/x=f“( 1)(-x 0)x0,其中 x0 1x证毕本题
28、也可用拉格朗日余项泰勒公式展开至(x) 2项*9.设 f(x)在 x=0处存在 3阶导数,且 (分数:2.00)A.B.C.D. 解析:解析 方法一 将 f(x)按佩亚诺余项泰勒公式展开至 o(x3),有*代入极限式的分子,其分母用等价无穷小替换:*于是*所以 f(0)=0,f(0)=0,f“(0)=0,f“(0)=3选(D)方法二 用洛必达法则由于 f(x)在 x=0处存在 3阶导数,所以存在*,当*时,f“(x)与 f“(x)都存在,并且 f“(x)在 x=0处连续*因上述极限存在,所以*由洛必达法则*若*,则上述右边为,矛盾,所以*再用洛必达法则,*若*,则上述右边为,矛盾,故*于是*由
29、题设 I=1,所以 f“(0)=3选(D)评注 上面最后计算*时,不能再使用洛必达法则,其理由是,仅设 f(x)在 x=0处存在 3阶导数,而未设存在*,当 x*时 f(x)存在 3阶导数对比方法一与方法二可见,方法一比方法二方便不少10.设 f(x)在 x=x0的某邻域内有定义,则“ (分数:2.00)A.B.C.D. 解析:解析 实际上,在仅设“f(x)在 x=x0的某邻域内有定义”的条件下,“*存在等于 A”与“f(x0)存在等于 A”毫无因果关系举例说明如下:例如,设*当 x0 时 f(x)=1,f(x)=0,*但 f(x)在 x=0处不连续,所以 f(0)不存在所以“*存在等于 A”
30、不是“f(x 0)=A”的充分条件又如,设*有 *f(0)存在等于 0,而*不存在可见“*存在等于 A”不是“f(x 0)=A”的必要条件评注 “设 f(x)在 x=x0处连续在 x=x0的某去心邻域内可导,并设*存在等于 A,则 f(x0)亦存在且等于 A”今给予征明如下:由 f(x)在 x=x0处连续,所以*,极限*为“*”型,满足洛必达法则条件(1)又因在 x=x0的某去心邻域 f(x)可导,故满足洛必达法则条件(2)又*存在等于 A,满足洛必达法则条件(3),所以*即 f(x0)=A。证毕此证明中,条件“设 f(x)在 x=x0处连续”十分重要不然,得不出“f(x 0)存在且等于 A”
31、的结论11.设 f(x)存在二阶导数,下述结论正确的是 A.若 f(x)只有两个零点,则 f(x)必定只有一个零点 B.若 f“(x)正好有一个零点,则 f(x)必正好有三个零点 C.若 f(x)没有零点,则 f(x)至多有一个零点。 D.若 f“(x)至多有两个零点,则 f(x)至多有四个零点(分数:2.00)A.B.C.D. 解析:解析 若 f“(x)至多有 2个零点,而如果 f(x)至少有 5个零点,则由罗尔定理知,f(x)至少有 4个零点,f“(x)至少有 3个零点,与 f“(x)至多有 2个零点矛盾故(D)正确,选(D)评注 关于零点存在性,由罗尔定理可得下述结论:设以下所提到的导数
32、存在,如果 f(x)有 k(k2)个零点,则 f(x)至少有(k-1)个零点,f (k-1)(x)至少有 1个零点关于至多有几个零点,有下述结论:设以下所提到的导数存在,如果 f(x)没有零点。则 f(x)至多有 1个零点;如果 f(x)至多有 1个零点,则 f(x)至多有 2个零点;如果 f(x)至多有 k个零点,则f(x)至多有 k+1个零点;如果 f“(x)没有零点,则 f(x)至多有 1个零点,f(x)至多有 2个零点,依此类推以上结论应记住12.设 f(x)在(a,b)内存在一阶导数,下述论断正确的是 A若 ,且 f(x)0,则 f(x)0(当x(a,b) B若 ,且 f(x)0,则
33、 f(x)0(当 x(a,b) C若 (分数:2.00)A.B. C.D.解析:解析 若 f(x)0,则 f(x)在(a,b)内严格单调减少,又若*,故在(a,b)内 f(x)0所以(B)正确 评注 (1)容易举例说明,(A)、(C)、(D)是不正确的,请读者完成 (2)对于区间(a,b)上的可导函数 f(x),要证明当 x(a,b)时 f(x)0,有很多方法其中一个重要且常用的方法是用单调性证定理如下: 设 f(x)在区间(a,b)上可导, 如果*,且 f(x)0 当 x(a,b),则 f(x)0(当x(a,b); 如果*,且 f(x)0 当 x(a,b),则 f(x)0(当 x(a,b);
34、 如果*,且 f(x)0 当 x(a,c);如果*,且 f(x)0 当 x(c,b),则当 x(a,b)时 f(x)013. (分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析 要讨论零点个数,免不了要考虑单调性,先求导数: * 当 0xe 时 f(x)0;当xe 时 f(x)0所以 f(e)=1-1+1=10 为唯一极大值,即最大值将区间(0,+)划为两个(0,e与e,+) * 且当 0xe(或写成 0xe 亦可),f(x)严格单调增,所以在区间(0,e)(或写成(0,e亦可)上 f(x)有唯一零点又 * 且当 ex+(或写成 ex+亦可),f(x)严格单调减,所以在区间(e,+)(或写成e,+
35、)亦可)上 f(x)亦有唯一零点所以在(0,+)上有且仅有 2个零点选(C) 评注 (1)讨论可导函数在区间上零点个数一般就按本题办法,第一步:划分单调区间;第二步:在每一严格单调的区间上用连续函数零点定理,分别考虑两端点处 f(x)的符号(同号无零点,反号存在唯一零点),考虑端点处符号时,在无穷区间上,用极限代替例如,如果*,就认为负号 (2)前面(注)中, * 而 * 所以*下面几个常用的极限可以类似地处理,其结果可以记住 *14.设 f(x)在 x=x0的某邻域内可导,且 (分数:2.00)A.B. C.D.解析:解析 由*及保号性知,存在*,当*时 f(x)与(x-x 0)同号于是推知
36、当 xx 0且*时 f(x)0,当 xx 0且*时,f(x)0并且由 f(x0)存在,故 f(x)在 x=x0处连续,于是由极值第一充分条件知,f(x 0)为 f(x)的极小值选(B)评注 类似地有下述结论,请读者自己证明之:(1)设 f(x)在 x=x0的某邻域内存在二阶导数,且*,则曲线 y=f(x)在点(x 0,f(x 0)左侧邻近为凸,右侧邻近为凹(2)设 f(x)在 x=x0处连续,在某去心邻域*内可导,且*,则在 U (x0)内 f(x)为严格单调增(3)设 f(x)在 x=x0处存在 3阶导数,且*,则曲线 y=f(x)在点(x 0,f(x 0)的左侧邻近是凸的,右侧邻近是凹的1
37、5.设 f(x)=|x-x0|g(x),g(x 0)及 均存在则 f(x)在 x=x0处可导的充要条件是Ag(x 0)=0 B (分数:2.00)A.B. C.D.解析:解析 按导数定义,讨论 f(x)=|x-x0|g(x)在 x=x0处的可导性*所以 f(x0)存在的充要条件是*又由题设*存在,所以*=*于是推知 f(x0)存在的充要条件是*,即*选(B)16.设 则 Ax=0 不是 f(x)的驻点 Bx=0 是 f(x)的一个驻点,且是 f(x)的极大值点 Cx=0是 f(x)的一个驻点,且是 f(x)的极小值点 D存在 0,在 的左侧 f(x)单调减,在 (分数:2.00)A.B.C.
38、D.解析:解析 按选项考虑之当 x0 时,*;当 x=0时, * 所以 x=0是 f(x)的一个驻点,不选(A)再进一步考察*内 f(x)的符号由 x0 时 f(x)的表达式知, * 而*在-1 与+1 之间振荡,故在*内 f(x)时正、时负在*的左侧与在*的右侧 f(x)并不分别单调,不选(D) 事实上,由极值的定义可知,当 x0 时 f(x)0故 f(0)为极小值,结合前面已证 f(0)=0,故选(C)17.设 则A 不存在,f(0)也不存在B (分数:2.00)A.B.C.D. 解析:解析 按题意,应分别考察 f(x)(当 x0)与 f(0)当 x0 时,f(x)=3x 2sin*-2c
39、os*+1,*不存在,而*故不选(A),也不选(B)由 f(x)的表达式知,*,而*在-2 与 2之间振荡,所以 f(x)在*内不保持确定的符号,不选(C),答案(D)18.设当 x(0,+)时 (分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析 *,所以存在 0,当 0x 时 f(x)有界又因*,所以存在 X0,当 Xx+时 f(x)有界又因 f(x)在区间,X上连续,所以 f(x)在,X上有界综合之,f(x)在(0,+)上有界 *,函数*在区间(0,1)上无界,所以 f(x)在区间(0,+)上无界选(C)19.设 f(x)在有限区间(a,b)上可导,下列命题正确的是 A.若 f(x)在(a,b
40、)上有界,则 f(x)在(a,b)上有界 B.若 f(x)在(a,b)上有界,则 f(x)在(a,b)上有界 C.若 f(x)在(a,b)上有界,则 f(x)在(a,b)上无界 D.若 f(x)在(a,b)上有界,则 f(x)在(a,b)上无界(分数:2.00)A.B. C.D.解析:解析 证明(B)正确因 f(x)在(a,b)上有界,故知存在 M0,对于(a,b)上的一切 x,|f(x)|M对于(a,b)上任意的 x及固定的 x0,用拉格朗日中值定理,有f(x)=f(x0)+f()(x-x 0),|f(x)|f(x 0)|+M(b-a)其中 f(x0)为一定值,故存在 N,当 x(a,b)时
41、,|f(x)|N说明 f(x)在(a,b)上有界评注 (1)证明 f(x)有界的关键点是 f(x)有界并且区间(a,b)的长度有限(2)下面举例说明(A)、(C)、(D)不正确(A)的反例*,x(0,1)(C)的反例:f(x)=x,x(a,b),|f(x)|max|a|,|b|,f(x)在(a,b)上有界f(x)=1 在(a,b)上不是无界(C)不正确由于(B)正确,(D)当然不正确(3)在有限区间上,f(x)或 f(x)中以有界作为条件,那么只有(B)是正确的即:设 f(x)在(a,b)上有界,则 f(x)在(a,b)上有界在有限区间上,f(x)或 f(x)中以无界作为条件,那么也只有下述命
42、题是正确的:设 f(x)在(a,b)上无界,则 f(x)在(a,b)上必无界事实上,本命题就是上述命题的逆否命题20.设 f(x)在区间(0,+)上可导,下列命题若 f(x)在(0,+)上无界,则 f(x)在(0,+)上有界若 f(x)在(0,+)上无界,则 f(x)在(0,+)上有界若 f(x)在(0,+)上无界,则 f(x)在(0,+)上无界若 f(x)在(0,+)上无界,则 f(x)在(0,+)上无界正确的个数 A.0个 B.1个 C.2个 D.至少 3个(分数:2.00)A. B.C.D.解析:解析 举例说明没有一个是正确的的反例:f(x)=e x,x(0,+),f(x)在(0,+)上
43、无界,f(x)=e x在(0,+)上并不有界,不正确f(x)=e x在(0,+)上无界,f(x)=e x在(0,+)上并不有界*(有界函数乘无穷小量)*所以 f(x)在(0,+)上无界但*,因*,*在 x=0附近振荡于 1与-1 之间,所以 f(x)有界,所以不正确f(x)=2xcosx 2,在(0,+)上无界,f(x)=sinx 2在(0,+)上有界由以上 4个例子说明,在无穷区间(0,+)上,以 f(x)无界为条件,推不出 f(x)在(0,+)上必有界或必无界;在无穷区间(0,+)上,以 f(x)无界为条件,也推不出 f(x)在(0,+)上必有界或必无界21.设 f(x)=x2|x|,则
44、f(n)(0)存在的最大 n= A.1 B.2 C.3 D.4(分数:2.00)A.B. C.D.解析:解析 将 f(x)写成分段表达式: * 在 x0 处按普通求导数法,在分界点处按导数定义求导数,有 * 再按上述办法处理,得 * 即 f“(x)=6|x|可知 f“(0)不存在,因此在 x=0处可求最高阶导数为2阶选(B)22.设 f(x)在(0,+)内可导,论断正确的是 A若 ,则 B若 ,则 C若,则 D若 ,则 (分数:2.00)A.B.C.D. 解析:解析 由*,于是对于任意 M0,存在 X0,当 xX 时 f(x)M在区间X,x上用拉格朗日中值定理,有 f(x)=f(X)+f()(x-X),xX f(X)+M(x-X) 命 x,从而推知 f(x)+证毕 评注 (A)的反例:* (B)的反例:* (C)的反例:* *不存在23.曲线 y=ln(1+ex)的渐近线的条数为 A.0条 B.1条 C.2条 D.3条(分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析 因为没有那种 x0,使*,所以没有铅直渐近线又因*,*所以 y=x是它 x+方向的一条斜渐近线(注)还可以按照下述办法计算此极限: