1、考研数学三-111 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数：50，分数：100.00)1.设 f(x)在 x=0的某邻域内有定义，f(0)=0，则下述条件能保证 f(0)存在的是 A 存在 B存在 C 存在 D （分数：2.00）A.B.C.D.2.设 为常数， （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 f(x)在 x=0处存在二阶导数，且 f(0)=0，f(0)=0，f“(0)0，则 = A1 B C D （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 f(x)连续，且 f(x)在 x=0处可导，f(0)=0，f(0)=1并设，且 （分数：2.00）A.
2、B.C.D.5.下列命题正确的是 A.如果 f(x)在 x=x0处不可导，则 f(x)在 x=x0处不连续 B.如果 f(x0)=0，则 f(x0)必是极值点 C.如果 f(x)在 x=x0处连续，则必存在 0，当 xU (x0)时 f(x)连续 D.如果 f(x0)0，则 f“(x0)必不为零（分数：2.00）A.B.C.D.6.设 f(x)与 g(x)在 x=x0处都可导，并且是它们的极大值点F(x)=f(x)g(x)则 A.x=x0必是 F(x)的极大值点 B.x=x0必是 F(x)的极小值点 C.x=x0必不是 F(x)的极值点 D.x=x0可以是 F(x)的极值点，也可以不是 F(x
3、)的极值点（分数：2.00）A.B.C.D.7.设 f(x)在 x=x0存在 3阶导数，f(x 0)=f“(x0)=0，f“(x 0)0则 A.f(x0)是 f(x)的极大值 B.f(x0)是 f(x)的极小值 C.f(x0)是 f(x)的极大值 D.f(x0)是 f(x)的极小值（分数：2.00）A.B.C.D.8.设 y=f(x)存在二阶导数，f(x 0)0，f“(x)0并设 y=f(x 0+x)-f(x 0)，x=dx0，dy=f(x 0)dx则 A.ydy0 B.dyy0 C.ydy0 D.dyy0（分数：2.00）A.B.C.D.9.设 f(x)在 x=0处存在 3阶导数，且 （分数
4、：2.00）A.B.C.D.10.设 f(x)在 x=x0的某邻域内有定义，则“ （分数：2.00）A.B.C.D.11.设 f(x)存在二阶导数，下述结论正确的是 A.若 f(x)只有两个零点，则 f(x)必定只有一个零点 B.若 f“(x)正好有一个零点，则 f(x)必正好有三个零点 C.若 f(x)没有零点，则 f(x)至多有一个零点。 D.若 f“(x)至多有两个零点，则 f(x)至多有四个零点（分数：2.00）A.B.C.D.12.设 f(x)在(a，b)内存在一阶导数，下述论断正确的是 A若 ，且 f(x)0，则 f(x)0(当x(a，b) B若 ，且 f(x)0，则 f(x)0(
5、当 x(a，b) C若 （分数：2.00）A.B.C.D.13. （分数：2.00）A.B.C.D.14.设 f(x)在 x=x0的某邻域内可导，且 （分数：2.00）A.B.C.D.15.设 f(x)=|x-x0|g(x)，g(x 0)及 均存在则 f(x)在 x=x0处可导的充要条件是Ag(x 0)=0 B （分数：2.00）A.B.C.D.16.设 则 Ax=0 不是 f(x)的驻点 Bx=0 是 f(x)的一个驻点，且是 f(x)的极大值点 Cx=0是 f(x)的一个驻点，且是 f(x)的极小值点 D存在 0，在 的左侧 f(x)单调减，在 （分数：2.00）A.B.C.D.17.设
6、则A 不存在，f(0)也不存在B （分数：2.00）A.B.C.D.18.设当 x(0，+)时 （分数：2.00）A.B.C.D.19.设 f(x)在有限区间(a，b)上可导，下列命题正确的是 A.若 f(x)在(a，b)上有界，则 f(x)在(a，b)上有界 B.若 f(x)在(a，b)上有界，则 f(x)在(a，b)上有界 C.若 f(x)在(a，b)上有界，则 f(x)在(a，b)上无界 D.若 f(x)在(a，b)上有界，则 f(x)在(a，b)上无界（分数：2.00）A.B.C.D.20.设 f(x)在区间(0，+)上可导，下列命题若 f(x)在(0，+)上无界，则 f(x)在(0，
7、+)上有界若 f(x)在(0，+)上无界，则 f(x)在(0，+)上有界若 f(x)在(0，+)上无界，则 f(x)在(0，+)上无界若 f(x)在(0，+)上无界，则 f(x)在(0，+)上无界正确的个数 A.0个 B.1个 C.2个 D.至少 3个（分数：2.00）A.B.C.D.21.设 f(x)=x2|x|，则 f(n)(0)存在的最大 n= A.1 B.2 C.3 D.4（分数：2.00）A.B.C.D.22.设 f(x)在(0，+)内可导，论断正确的是 A若 ，则 B若 ，则 C若，则 D若 ，则 （分数：2.00）A.B.C.D.23.曲线 y=ln(1+ex)的渐近线的条数为
8、A.0条 B.1条 C.2条 D.3条（分数：2.00）A.B.C.D.24.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，并且 f(a)f(b)，又设 y=f(x)不是一条直线下述命题至少存在一点 1(a，b)使 至少存在一点 2(a，b)使 至少存在一点 3(a，b)使 （分数：2.00）A.B.C.D.25.设 f(x)在a，b上可导，且 f(a)f(b)0，则下述命题至少存在一点 x0(a，b)使 f(x0) f(a)至少存在一点 x0(a，b)使 f(x0)f(b)至少存在一点 x0(a，b)使 f(x0)=0至少存在一点 x0(a，b)使 （分数：2.00）A.B.C.D.26.
9、设 f(x)在 x=x0的某邻域内存在二阶导数，且 （分数：2.00）A.B.C.D.27.设 f(x)在 x=a的某邻域内连续，且 f(a)为其极小值则存在 0，当 x(a-，a+)且 xa 时， A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.28.设 f(x)在 x=0处可导，则 F(x)=f(x)(1+|sinx|)在 x=0处可导的充要条件是 A.f(0)=0 B.f(0)=0 C.f(0)+f(0)=0， D.f(0)-f(0)=0（分数：2.00）A.B.C.D.29.设 f(x)在 x=a处连续且 （分数：2.00）A.B.C.D.30.设 f(x)=(x2-3)|x-4|则
10、曲线 y=f(x)有拐点 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个（分数：2.00）A.B.C.D.31.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内存在二阶导数且 f(a) 0，f(b)0，f(x)0则 f(x)在(a，b)内 A.没有零点 B.正好有 1个零点 C.正好有 2个零点 D.有多于 2个零点。（分数：2.00）A.B.C.D.32.设 f(x)在 x=1的某邻域内连续，且（分数：2.00）A.B.C.D.33.曲线 （分数：2.00）A.B.C.D.34.下列命题正确的是 A.设|f(x)|在 x=x0处可导，则 f(x)在 x=x0亦可导 B.设 f(x)在 x=x0处可导，则|
11、f(x)|在 x=x0亦可导 C.设|f(x)|在 x=x0处连续，则 f(x)在 x=x0亦连续 D.设 f(x)在 x=x0处连续，则|f(x)|在 x=x0亦连续（分数：2.00）A.B.C.D.35.设 f(x)在 x=a处可导，则|f(x)|在 x=a处不可导的充分必要条件是 A.f(a)=0且 f(a)=0 B.f(a)=0但 f(a)0 C.f(a)0 但 f(a)=0 D.f(a)0 且 f(a)0（分数：2.00）A.B.C.D.36.设 f(x)具有二阶连续导数，f(0)=0，f(0)=0，f“(x)0并且在曲线 y=f(x)上任意一点(x，f(x)(x0)作此曲线的切线，
12、此切线在 x轴上的截距为 u，则 = A B1 C （分数：2.00）A.B.C.D.37.设函数 y=f(x)连续，除 x=a外均二阶可导，其一阶导函数 y=f(x)的图形如下图所示，则 y=f(x)（分数：2.00）A.B.C.D.38.下述论断正确的是 A.设 f(x)在(-，+)上有定义，除 x=0外均可导，且 f(x)0，则 f(x)在(-，+)上是严格单调增加的 B.设 f(x)为偶函数且 x=0是 f(x)的极值点，则 f(0)=0 C.设 f(x)在 x=x0处二阶可导，且 f“(x0)0，则 x=x0是 f(x)的极小值点 D.设 f(x)在 x=x0处三阶可导，且 f(x0
13、)=0，f“(x 0)=0，f“(x 0)0，则 x=x0一定不是 f(x)的极值点（分数：2.00）A.B.C.D.39.设 为函数 f(x)=arcsinx在区间0，b上使用拉格朗日中值定理中的“中值”，则极限 = A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.40.设 f(x)在 x=a处具有二阶导数，则 = A0 Bf“(a) C （分数：2.00）A.B.C.D.41.设 f(x)与 g(x)在 x=x0处存在二阶导数，f(x 0)=g(x0)=0，f(x 0)g(x0)0则对于 F(x)=f(x)g(x)， A.x0必不是 F(x)的驻点 B.x0是 F(x)的驻点，但不是它的
14、极值点 C.x0是 F(x)的极小值点 D.x0是 F(x)的极大值点（分数：2.00）A.B.C.D.42.设 （分数：2.00）A.B.C.D.43.f(x)=(1-2x)ex+x的零点个数为 A.0个 B.1个 C.2个 D.多于 2个（分数：2.00）A.B.C.D.44.设 f(x)对任意 x均满足 f(1+x)=af(x)，且 f(0)=b，其中 a与 b都是常数，则 f(x)在 x=1处 A.不可导。 B.可导，f(1)=a C.可导，f(1)=b D.可导，f(1)=ab（分数：2.00）A.B.C.D.45.在下列式子的右边有定义处，这些等式中正确的是A . B .C （分数
15、：2.00）A.B.C.D.46.设 （分数：2.00）A.B.C.D.47.设函数 y=f(x)在区间-1，3上的图形如图： 则 的图形为 A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.48.设 ，P= （分数：2.00）A.B.C.D.49.设 f(x)为已知的连续函数，t0，s0 均与积分变量 x无关，则积分 （分数：2.00）A.B.C.D.50.设 （分数：2.00）A.B.C.D.考研数学三-111 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数：50，分数：100.00)1.设 f(x)在 x=0的某邻域内有定义，f(0)=0，则下述条件能保
16、证 f(0)存在的是 A 存在 B存在 C 存在 D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 本题是(A)、(B)、(C)、(D)4 个极限式中，哪个存在能保证 f(0)存在因此应将 f(0)的定义式用所给的极限式表示例如对于(A)，将(A)的那个极限值记为 A，于是*所以 f(0)存在等于-A(A)的存在保证了 f(0)存在，选(A)评注 下面说明(B)、(C)、(D)的存在，不能保证 f(0)存在讨论如下：设(B)存在，其极限值记为 B，*看起来，好象(B)的存在也保证了 f(0)存在其实不然，由于*，所以 x0，所以从上述讨论看出，只保证*存在即 f+(0)存在，并不能保证 f(
17、0)存在(B)不充分设(C)存在，其极限值记为 C，*而 *不能保证*存在对于(D)留给读者去讨论或举例说明(D)的存在不能保证*存在2.设 为常数， （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 按要求计算 f+(0)及 f(x)即可当 x0 时*而 *可见，当 1 时 f+(0)不存在，当 1 时 f+(0)=0当 2 时*=0=f +(0)于是知(C)正确3.设 f(x)在 x=0处存在二阶导数，且 f(0)=0，f(0)=0，f“(0)0，则 = A1 B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 由于 f“(0)存在，故在 x=0的某邻域 f(x)存在，且在 x=0处
18、 f(x)连续因此*为“*”型但不能用洛必达法则，因为用洛必达法则要求在 x=0的某去心邻域内(xf(x)=f(x)+xf“(x)存在，对于现在这种情形，应采用凑二阶导数的办法如下： * 而 * * 所以 *，选(B) 评注 如果按下述办法做：由洛必达法则， * 读者考虑一下，哪些地方错了?条件应添加到什么程度，上述运算才合理?4.设 f(x)连续，且 f(x)在 x=0处可导，f(0)=0，f(0)=1并设，且 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 *为“*”型，而 F(x)为变限函数，用洛必达法则来处理此极限最为方便，正好将变限积分中的积分号消除但 F(x)中除了变限中有 x外，
19、被积表达式中也含有 x，宜采取下述办法之一或几个办法综合应用以使积分号内的 x搬到积分号外：(1)拆项；(2)将 x从积分号内搬到积分号外(因积分是对 t做的，x 视为常数)；(3)作积分变量变换，将 f( )中的 x转化到 f( )外边去才能按上述(1)、(2)处理作积分变量变换，命 x2-t2=u，于是-2tdt=du*由于 f(x)在 x=0处可导，所以*所以要使*存在且不为零，其充要条件是 n=4，从而*选(B)评注 经常会遇到下述问题：“设*存在且不为零，n 应等于几?”答案是 n=0以后遇到类似的情况，可立即作答5.下列命题正确的是 A.如果 f(x)在 x=x0处不可导，则 f(
20、x)在 x=x0处不连续 B.如果 f(x0)=0，则 f(x0)必是极值点 C.如果 f(x)在 x=x0处连续，则必存在 0，当 xU (x0)时 f(x)连续 D.如果 f(x0)0，则 f“(x0)必不为零（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 由于 f(x)在 x=x0处连续，所以存在 0，当 xU (x0)时 f(x)均存在由 f(x)存在推知在 U (x0)内 f(x)连续(C)正确评注 可以举例说明(A)、(B)、(D)均不正确(A)的反例：*，f(0)不存在，但 f(x)在 x=0处连续请读者注意：若 f(x)在 x=x0处可导，则 f(x)在 x=x0处必连续，不连
21、续必不可导但不能推出不可导必不连续(B)的反例：f(x)=x 3，f(0)=0，但 x=0不是 f(x)的极值点(D)的反例：f(x)=sinx，f(x)=cosx，f“(x)=-sinxf(0)=10，但 f“(0)=06.设 f(x)与 g(x)在 x=x0处都可导，并且是它们的极大值点F(x)=f(x)g(x)则 A.x=x0必是 F(x)的极大值点 B.x=x0必是 F(x)的极小值点 C.x=x0必不是 F(x)的极值点 D.x=x0可以是 F(x)的极值点，也可以不是 F(x)的极值点（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 举例说明应选(D)。设 f(x)=-x2，f(0)
22、=0 为极大值设 g(x)=-x2，g(0)=0 为极大值F(x)=f(x)g(x)=x 4，F(0)为极小值所以不选(A)，也不选(C)设 f(x)=-x2，g(x)=1-x 2，f(0)=0，g(0)=1 分别是 f(x)与 g(x)的极大值F(x)=f(x)g(x)=-x 2(1-x2)，易见 F(0)=0，而 x0 且|x|充分小时 F(x)0，故 F(0)为极大值，不选(B)因此选(D)也可以举出例子F(x0)不是 F(x)的极值点，从而说明应选(D)例子如下：设 f(x)=1-x2+x3，f(x)=-2x+3x 2=x(-2+3x)，当 x0 时 f(x)0，当 0x*时，f(x)
23、0，所以 f(0)=1为极大值又设 g(x)=-1-x2，易见 g(0)=-1为 g(x)的极大值F(x)=f(x)g(x)=(1-x 2+x3)(-1-x2)=-1-x3+x4-x5，F(x)=x 2(-3+4x-5x2)，当 x0 且|x|很小时 F(x)0，故在 x=0的某去心邻域内 F(x)严格单调减少，所以 F(0)不是 F(x)的极值评注 因为本题最后的结论是可以这样，可以那样，所以只能甩例子来说明读者可能会有一个错觉，认为“极大值乘极大值必然是极大值”，直观的不一定可靠7.设 f(x)在 x=x0存在 3阶导数，f(x 0)=f“(x0)=0，f“(x 0)0则 A.f(x0)是
24、 f(x)的极大值 B.f(x0)是 f(x)的极小值 C.f(x0)是 f(x)的极大值 D.f(x0)是 f(x)的极小值（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 选项(A)与(B)是讨论 f(x)的极值，为此，记 F(x)=f(x)，题干条件成为 F(x)在 x=x0处存在二阶导数，F(x 0)=0，F(x 0)=0，f“(x 0)0，于是立即可知 F(x0)为 F(x)的极小值，而本题中有 f(x0)=f“(x0)=0，f“(x 0)0，则 f(x0)为 f(x)的极小值选(B)当然不选(A)评注 (1)接下来要说一下为什么不选(C)或(D)以下用到佩亚诺余项泰勒公式，方法值得考
25、生重视将f(x)在 x=x0处按佩亚诺余项勒公式展开至 o(x-x0)3)，有*故知存在*当*且 xx 0时 f(x)-f(x0)0，当*，xx 0时 f(x)-f(x0)0所以 f(x0)既不是 f(x)的极小值，也不是 f(x)的极大值，(C)与(D)都不正确(2)本题题干中条件“设 f(x)在 x=x0存在 3阶导数，f(x 0)=0，f“(x 0)=0，f“(x 0)0”，除了得到 f(x0)为f(x)的极小值，以及 f(x0)不是 f(x)的极值两个结论外，还能得到什么呢?下面证明，在上述条件下，在点(x 0，f(x 0)左侧邻近曲线 y=f(x)是凸的，右侧邻近曲线 y=f(x)是
26、凹的，从而知点(x 0，f(x 0)是曲线y=f(x)的拐点证明如下：*由保号性，存在*，当*时 f“(x)与 x-x0同号，故知当 xx 0且*时 f“(x)0，曲线 y=f(x)是凸的；当 xx 0且*时 f“(x)0，曲线 y=f(x)是凹的，顺便得知点(x 0，f(x 0)是曲线 y=f(x)的拐点证毕(3)由(1)与(2)的讨论可知，当 f(x0)=0，f“(x 0)0(0)时，f(x 0)为 f(x)的极小(大)值，点(x 0，f(x 0)不是曲线 y=f(x)的拐点。当 f(x0)=0，f“(x 0)=0，f“(x 0)0(0)时，f(x 0)不是 f(x)的极值，点(x 0，f
27、(x 0)是曲线的拐点在点(x0，f(x 0)的左侧邻近随线 y=f(x)是凸(凹)的，在点(x 0，f(x 0)的右侧邻近曲线 y=f(x)是凹(凸)的这个结论可以记住8.设 y=f(x)存在二阶导数，f(x 0)0，f“(x)0并设 y=f(x 0+x)-f(x 0)，x=dx0，dy=f(x 0)dx则 A.ydy0 B.dyy0 C.ydy0 D.dyy0（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 dy=f(x 0)x0，y-dy=f(x 0+x)-f(x 0)-f(x0)x=f()x-f(x 0)z=(f)-f(x 0)/x=f“( 1)(-x 0)x0，其中 x0 1x证毕本题
28、也可用拉格朗日余项泰勒公式展开至(x) 2项*9.设 f(x)在 x=0处存在 3阶导数，且 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 方法一 将 f(x)按佩亚诺余项泰勒公式展开至 o(x3)，有*代入极限式的分子，其分母用等价无穷小替换：*于是*所以 f(0)=0，f(0)=0，f“(0)=0，f“(0)=3选(D)方法二 用洛必达法则由于 f(x)在 x=0处存在 3阶导数，所以存在*，当*时，f“(x)与 f“(x)都存在，并且 f“(x)在 x=0处连续*因上述极限存在，所以*由洛必达法则*若*，则上述右边为，矛盾，所以*再用洛必达法则，*若*，则上述右边为，矛盾，故*于是*由
29、题设 I=1，所以 f“(0)=3选(D)评注 上面最后计算*时，不能再使用洛必达法则，其理由是，仅设 f(x)在 x=0处存在 3阶导数，而未设存在*，当 x*时 f(x)存在 3阶导数对比方法一与方法二可见，方法一比方法二方便不少10.设 f(x)在 x=x0的某邻域内有定义，则“ （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 实际上，在仅设“f(x)在 x=x0的某邻域内有定义”的条件下，“*存在等于 A”与“f(x0)存在等于 A”毫无因果关系举例说明如下：例如，设*当 x0 时 f(x)=1，f(x)=0，*但 f(x)在 x=0处不连续，所以 f(0)不存在所以“*存在等于 A”
30、不是“f(x 0)=A”的充分条件又如，设*有 *f(0)存在等于 0，而*不存在可见“*存在等于 A”不是“f(x 0)=A”的必要条件评注 “设 f(x)在 x=x0处连续在 x=x0的某去心邻域内可导，并设*存在等于 A，则 f(x0)亦存在且等于 A”今给予征明如下：由 f(x)在 x=x0处连续，所以*，极限*为“*”型，满足洛必达法则条件(1)又因在 x=x0的某去心邻域 f(x)可导，故满足洛必达法则条件(2)又*存在等于 A，满足洛必达法则条件(3)，所以*即 f(x0)=A。证毕此证明中，条件“设 f(x)在 x=x0处连续”十分重要不然，得不出“f(x 0)存在且等于 A”
31、的结论11.设 f(x)存在二阶导数，下述结论正确的是 A.若 f(x)只有两个零点，则 f(x)必定只有一个零点 B.若 f“(x)正好有一个零点，则 f(x)必正好有三个零点 C.若 f(x)没有零点，则 f(x)至多有一个零点。 D.若 f“(x)至多有两个零点，则 f(x)至多有四个零点（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 若 f“(x)至多有 2个零点，而如果 f(x)至少有 5个零点，则由罗尔定理知，f(x)至少有 4个零点，f“(x)至少有 3个零点，与 f“(x)至多有 2个零点矛盾故(D)正确，选(D)评注 关于零点存在性，由罗尔定理可得下述结论：设以下所提到的导数
32、存在，如果 f(x)有 k(k2)个零点，则 f(x)至少有(k-1)个零点，f (k-1)(x)至少有 1个零点关于至多有几个零点，有下述结论：设以下所提到的导数存在，如果 f(x)没有零点。则 f(x)至多有 1个零点；如果 f(x)至多有 1个零点，则 f(x)至多有 2个零点；如果 f(x)至多有 k个零点，则f(x)至多有 k+1个零点；如果 f“(x)没有零点，则 f(x)至多有 1个零点，f(x)至多有 2个零点，依此类推以上结论应记住12.设 f(x)在(a，b)内存在一阶导数，下述论断正确的是 A若 ，且 f(x)0，则 f(x)0(当x(a，b) B若 ，且 f(x)0，则
33、 f(x)0(当 x(a，b) C若 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 若 f(x)0，则 f(x)在(a，b)内严格单调减少，又若*，故在(a，b)内 f(x)0所以(B)正确 评注 (1)容易举例说明，(A)、(C)、(D)是不正确的，请读者完成 (2)对于区间(a，b)上的可导函数 f(x)，要证明当 x(a，b)时 f(x)0，有很多方法其中一个重要且常用的方法是用单调性证定理如下： 设 f(x)在区间(a，b)上可导， 如果*，且 f(x)0 当 x(a，b)，则 f(x)0(当x(a，b)； 如果*，且 f(x)0 当 x(a，b)，则 f(x)0(当 x(a，b)；
34、 如果*，且 f(x)0 当 x(a，c)；如果*，且 f(x)0 当 x(c，b)，则当 x(a，b)时 f(x)013. （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 要讨论零点个数，免不了要考虑单调性，先求导数： * 当 0xe 时 f(x)0；当xe 时 f(x)0所以 f(e)=1-1+1=10 为唯一极大值，即最大值将区间(0，+)划为两个(0，e与e，+) * 且当 0xe(或写成 0xe 亦可)，f(x)严格单调增，所以在区间(0，e)(或写成(0，e亦可)上 f(x)有唯一零点又 * 且当 ex+(或写成 ex+亦可)，f(x)严格单调减，所以在区间(e，+)(或写成e，+
35、)亦可)上 f(x)亦有唯一零点所以在(0，+)上有且仅有 2个零点选(C) 评注 (1)讨论可导函数在区间上零点个数一般就按本题办法，第一步：划分单调区间；第二步：在每一严格单调的区间上用连续函数零点定理，分别考虑两端点处 f(x)的符号(同号无零点，反号存在唯一零点)，考虑端点处符号时，在无穷区间上，用极限代替例如，如果*，就认为负号 (2)前面(注)中， * 而 * 所以*下面几个常用的极限可以类似地处理，其结果可以记住 *14.设 f(x)在 x=x0的某邻域内可导，且 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 由*及保号性知，存在*，当*时 f(x)与(x-x 0)同号于是推知
36、当 xx 0且*时 f(x)0，当 xx 0且*时，f(x)0并且由 f(x0)存在，故 f(x)在 x=x0处连续，于是由极值第一充分条件知，f(x 0)为 f(x)的极小值选(B)评注 类似地有下述结论，请读者自己证明之：(1)设 f(x)在 x=x0的某邻域内存在二阶导数，且*，则曲线 y=f(x)在点(x 0，f(x 0)左侧邻近为凸，右侧邻近为凹(2)设 f(x)在 x=x0处连续，在某去心邻域*内可导，且*，则在 U (x0)内 f(x)为严格单调增(3)设 f(x)在 x=x0处存在 3阶导数，且*，则曲线 y=f(x)在点(x 0，f(x 0)的左侧邻近是凸的，右侧邻近是凹的1
37、5.设 f(x)=|x-x0|g(x)，g(x 0)及 均存在则 f(x)在 x=x0处可导的充要条件是Ag(x 0)=0 B （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 按导数定义，讨论 f(x)=|x-x0|g(x)在 x=x0处的可导性*所以 f(x0)存在的充要条件是*又由题设*存在，所以*=*于是推知 f(x0)存在的充要条件是*，即*选(B)16.设 则 Ax=0 不是 f(x)的驻点 Bx=0 是 f(x)的一个驻点，且是 f(x)的极大值点 Cx=0是 f(x)的一个驻点，且是 f(x)的极小值点 D存在 0，在 的左侧 f(x)单调减，在 （分数：2.00）A.B.C.
38、D.解析：解析 按选项考虑之当 x0 时，*；当 x=0时， * 所以 x=0是 f(x)的一个驻点，不选(A)再进一步考察*内 f(x)的符号由 x0 时 f(x)的表达式知， * 而*在-1 与+1 之间振荡，故在*内 f(x)时正、时负在*的左侧与在*的右侧 f(x)并不分别单调，不选(D) 事实上，由极值的定义可知，当 x0 时 f(x)0故 f(0)为极小值，结合前面已证 f(0)=0，故选(C)17.设 则A 不存在，f(0)也不存在B （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 按题意，应分别考察 f(x)(当 x0)与 f(0)当 x0 时，f(x)=3x 2sin*-2c
39、os*+1，*不存在，而*故不选(A)，也不选(B)由 f(x)的表达式知，*，而*在-2 与 2之间振荡，所以 f(x)在*内不保持确定的符号，不选(C)，答案(D)18.设当 x(0，+)时 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 *，所以存在 0，当 0x 时 f(x)有界又因*，所以存在 X0，当 Xx+时 f(x)有界又因 f(x)在区间，X上连续，所以 f(x)在，X上有界综合之，f(x)在(0，+)上有界 *，函数*在区间(0，1)上无界，所以 f(x)在区间(0，+)上无界选(C)19.设 f(x)在有限区间(a，b)上可导，下列命题正确的是 A.若 f(x)在(a，b
40、)上有界，则 f(x)在(a，b)上有界 B.若 f(x)在(a，b)上有界，则 f(x)在(a，b)上有界 C.若 f(x)在(a，b)上有界，则 f(x)在(a，b)上无界 D.若 f(x)在(a，b)上有界，则 f(x)在(a，b)上无界（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 证明(B)正确因 f(x)在(a，b)上有界，故知存在 M0，对于(a，b)上的一切 x，|f(x)|M对于(a，b)上任意的 x及固定的 x0，用拉格朗日中值定理，有f(x)=f(x0)+f()(x-x 0)，|f(x)|f(x 0)|+M(b-a)其中 f(x0)为一定值，故存在 N，当 x(a，b)时
41、，|f(x)|N说明 f(x)在(a，b)上有界评注 (1)证明 f(x)有界的关键点是 f(x)有界并且区间(a，b)的长度有限(2)下面举例说明(A)、(C)、(D)不正确(A)的反例*，x(0，1)(C)的反例：f(x)=x，x(a，b)，|f(x)|max|a|，|b|，f(x)在(a，b)上有界f(x)=1 在(a，b)上不是无界(C)不正确由于(B)正确，(D)当然不正确(3)在有限区间上，f(x)或 f(x)中以有界作为条件，那么只有(B)是正确的即：设 f(x)在(a，b)上有界，则 f(x)在(a，b)上有界在有限区间上，f(x)或 f(x)中以无界作为条件，那么也只有下述命
42、题是正确的：设 f(x)在(a，b)上无界，则 f(x)在(a，b)上必无界事实上，本命题就是上述命题的逆否命题20.设 f(x)在区间(0，+)上可导，下列命题若 f(x)在(0，+)上无界，则 f(x)在(0，+)上有界若 f(x)在(0，+)上无界，则 f(x)在(0，+)上有界若 f(x)在(0，+)上无界，则 f(x)在(0，+)上无界若 f(x)在(0，+)上无界，则 f(x)在(0，+)上无界正确的个数 A.0个 B.1个 C.2个 D.至少 3个（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 举例说明没有一个是正确的的反例：f(x)=e x，x(0，+)，f(x)在(0，+)上
43、无界，f(x)=e x在(0，+)上并不有界，不正确f(x)=e x在(0，+)上无界，f(x)=e x在(0，+)上并不有界*(有界函数乘无穷小量)*所以 f(x)在(0，+)上无界但*，因*，*在 x=0附近振荡于 1与-1 之间，所以 f(x)有界，所以不正确f(x)=2xcosx 2，在(0，+)上无界，f(x)=sinx 2在(0，+)上有界由以上 4个例子说明，在无穷区间(0，+)上，以 f(x)无界为条件，推不出 f(x)在(0，+)上必有界或必无界；在无穷区间(0，+)上，以 f(x)无界为条件，也推不出 f(x)在(0，+)上必有界或必无界21.设 f(x)=x2|x|，则
44、f(n)(0)存在的最大 n= A.1 B.2 C.3 D.4（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 将 f(x)写成分段表达式： * 在 x0 处按普通求导数法，在分界点处按导数定义求导数，有 * 再按上述办法处理，得 * 即 f“(x)=6|x|可知 f“(0)不存在，因此在 x=0处可求最高阶导数为2阶选(B)22.设 f(x)在(0，+)内可导，论断正确的是 A若 ，则 B若 ，则 C若，则 D若 ，则 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 由*，于是对于任意 M0，存在 X0，当 xX 时 f(x)M在区间X，x上用拉格朗日中值定理，有 f(x)=f(X)+f()(x-X)，xX f(X)+M(x-X) 命 x，从而推知 f(x)+证毕 评注 (A)的反例：* (B)的反例：* (C)的反例：* *不存在23.曲线 y=ln(1+ex)的渐近线的条数为 A.0条 B.1条 C.2条 D.3条（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 因为没有那种 x0，使*，所以没有铅直渐近线又因*，*所以 y=x是它 x+方向的一条斜渐近线(注)还可以按照下述办法计算此极限：
