1、考研数学三-103 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：34，分数：100.00)1.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.50）_2.设二次方程 x 2 -Xx+Y=0的两个根相互独立，且都在(0，2)上服从均匀分布，分别求 X与 Y的概率密度 （分数：2.50）_3.设 X，Y 是相互独立的随机变量，它们都服从参数为 n，p 的二项分布，证明：Z=X+Y 服从参数为 2n，p的二项分布 （分数：2.50）_4.设 ， 是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知 的分布律为 （分数：2.50）_5.设随机变量 X与 Y相互独立，都服从均匀分
2、布 U(0，1)求 Z=|X-Y|的概率密度及 （分数：2.50）_6.设(X，Y)的概率密度为 （分数：2.50）_7.设随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.50）_8.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，且 X i 服从参数为 i 的指数分布，其密度为 （分数：2.50）_9.设 X关于 Y的条件概率密度为 而 Y的概率密度为 求 （分数：2.50）_10.设(X，Y)服从 G=(x，y)|x 2 +y 2 1上的均匀分布，试求给定 Y=y的条件下 X的条件概率密度函数f X|Y (x|y) （分数：2.50）_11.设随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.50
3、）_12.设试验成功的概率为 ，失败的概率为 （分数：2.50）_13.有 20位旅客乘民航的送客车自机场开出，旅客有 10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以 X表示停车的次数，求 EX(设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车是相互独立的) （分数：2.50）_14.市场上有两种股票，股票 A的价格为 60元/股，每股年收益为 R 1 元，其均值为 7，方差为 50股票B的价格为 40元/股，每股年收益为 R 2 元，其均值为 3.2，方差为 25，设 R 1 和 R 2 互相独立某投资者有 10000元，拟购买 s 1 股股票 A，s 2 股股票 B，剩下
4、的 s 3 元存银行，设银行 1年期定期存款利率为 5%，投资者希望该投资策略的年平均收益不少于 800元，并使投资收益的方差最小，求这个投资策略(s 1 ，s 2 ，s 3 )，并计算该策略的收益的标准差 （分数：2.50）_15.设随机变量服从几何分布，其分布律为 PX=k=(1-p) k-1 p，0p1，k=1，2，求 EX与 DX （分数：2.50）_设随机变量 X的概率密度为 已知 EX=2， （分数：5.00）(1).a，b，c 的值；（分数：2.50）_(2).随机变量 Y=e X 的数学期望和方差（分数：2.50）_16.设(X，Y)的概率密度为 求 （分数：2.50）_17.
5、在长为 L的线段上任取两点，求两点距离的期望和方差 （分数：2.50）_18.设 X，Y 是两个相互独立且均服从正态分布 （分数：2.50）_设随机变量 X与 Y独立同分布，均服从正态分布 N(， 2 )，求：（分数：5.00）(1).maxX，Y的数学期望；（分数：2.50）_(2).minX，Y的数学期望（分数：2.50）_19.设 X，Y 相互独立同分布，均服从几何分布 PX=k=q k-1 p，k=1，2，求 E(maxX，Y) （分数：2.50）_设连续型随机变量 X的所有可能值在区间a，b之内，证明：（分数：5.00）(1).aEXb；（分数：2.50）_(2). （分数：2.50
6、）_20.对三台仪器进行检验，各台仪器产生故障的概率分别为 p 1 ，p 2 ，p 3 ，求产生故障仪器的台数 X的数学期望和方差 （分数：2.50）_21.一商店经销某种商品，每周进货量 X与顾客对该种商品的需求量 Y是相互独立的随机变量，且都服从区间10，20上的均匀分布商店每售出一单位商品可得利润 1000元；若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利润 500元，试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值 （分数：2.50）_22.袋中有 n张卡片，分别记有号码 1，2，n，从中有放回地抽取 k张，以 X表示所得号码之和。求EX，DX （分数：2.50）_23
7、.设 X与 Y为具有二阶矩的随机变量，且设 Q(a，b)=EY-(a+bX) 2 ，求 a，b 使 Q(a，b)达到最小值Qmin，并证明： （分数：2.50）_24.设 X，Y，Z 是三个两两不相关的随机变量，数学期望全为零，方差都是 1，求 X-Y和 Y-Z的相关系数 （分数：2.50）_将数字 1，2，n 随机地排列成新次序，以 X表示经重排后还在原位置上的数字的个数（分数：5.00）(1).求 X的分布律；（分数：2.50）_(2).计算 EX和 DX（分数：2.50）_设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：5.00）(1).方差 D(XY)；（分数：2.50）_(2).协方差
8、 Cov(3X+Y，X-2Y)（分数：2.50）_设随机变量 U在-2，2上服从均匀分布，记随机变量 （分数：5.00）(1).Cov(X，Y)，并判定 X与 Y的独立性；（分数：2.50）_(2).DX(1+Y)（分数：2.50）_25.设随机变量 X在(0，3)内随机取值，而随机变量 Y在(X，3)内随机取值，求协方差 Cov(X，Y) （分数：2.50）_26.设 X为随机变量，E(|X| r (r0)存在，试证明：对任意 0 有 （分数：2.50）_27.若 DX=0.004，利用切比雪夫不等式估计概率 P|X-EX|0.2 （分数：2.50）_28.用切比雪夫不等式确定，掷一均质硬币
9、时，需掷多少次，才能保证正面出现的频率在 0.4至 0.6之间的概率不小于 0.9 （分数：2.50）_考研数学三-103 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：34，分数：100.00)1.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】由 f(x，y)的表达式知，X 与 Y相互独立，且它们的概率密度都为 记 u=g(x)=x 2 ，它在 f(x)0 的区间(0,1)内单调可导，且反函数为 (0u1)，所以 U=X 2 的概率密度 同样地，V=Y 2 的概率密度为 由 X与 Y相互独立知 X 2 与 Y 2 相互独立，从而
10、(X 2 ，Y 2 )的概率密度为 2.设二次方程 x 2 -Xx+Y=0的两个根相互独立，且都在(0，2)上服从均匀分布，分别求 X与 Y的概率密度 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】设二次方程的两个根为 X 1 ，X 2 则它们的概率密度都为 记 X的概率密度为 f X (x)，则由 X=X 1 +X 2 得 其中 即 f(t)f(x-t)仅在如图 1的带阴影的平行四边形中取值为 在 tOx平面的其余部分取值为零因此， 当 x0 或 x4 时，f X (x)=0； 当 0x2 时， 当 2x4 时， 即 记 Y的概率密度为 f Y (y)，则由 Y=X 1 X 2 得 其中 即
11、 仅在图 2的带阴影的三角形中取值为 在 tOy平面的其余部分取值都为零因此， 当 y0 或 y4 时，f Y (y)=0； 当 0y4 时， 即 图 13.设 X，Y 是相互独立的随机变量，它们都服从参数为 n，p 的二项分布，证明：Z=X+Y 服从参数为 2n，p的二项分布 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【证】 4.设 ， 是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知 的分布律为 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】X 的可能值为 1，2，3，Y 的可能值为 1，2，3 以此类推可求出(X，Y)的分布律及边缘分布列如下： 5.设随机变量 X与 Y相互独立，都服从均匀分布
12、 U(0，1)求 Z=|X-Y|的概率密度及 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】U=X-Y 的密度为 当 u-1 或 u1 时，f U (u)=0； 当-1u0 时， 当 0u1 时， 即 所以，Z=|X-Y|=|U|的密度为 从而 6.设(X，Y)的概率密度为 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】边缘密度为 7.设随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】设 Z的分布函数为 F Z (z)，则 故 8.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，且 X i 服从参数为 i 的指数分布，其密度为 （分数：2.50）_正确答案：()
13、解析：【解】方法一 PX 1 =minX 1 ，X 2 ，X n =PX 1 minX 2 ，X 3 ，X n ，记Y=minX 2 ，X 3 ，X n ，则有 (X 1 ，Y)的概率密度为 f(x，y)=f 1 (x)f Y (y) 方法二 利用连续型的全概率公式 9.设 X关于 Y的条件概率密度为 而 Y的概率密度为 求 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】(X，Y)的概率密度为 如下图所示，则 10.设(X，Y)服从 G=(x，y)|x 2 +y 2 1上的均匀分布，试求给定 Y=y的条件下 X的条件概率密度函数f X|Y (x|y) （分数：2.50）_正确答案：()解析：【
14、解】因为(X，Y)服从 G=(x,y)|x 2 +y 2 1上的均匀分布，所以 故 所以，当-1y1 时，有 11.设随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】如下图所示， 12.设试验成功的概率为 ，失败的概率为 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】设 X表示“所需试验次数”，则 X的可能取值为 2，3，于是 从而 13.有 20位旅客乘民航的送客车自机场开出，旅客有 10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以 X表示停车的次数，求 EX(设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车是相互独立的) （分数：2.50）_正
15、确答案：()解析：【解】引入随机变量 则 X=X 1 +X 2 +X 10 ，由 知 进而 14.市场上有两种股票，股票 A的价格为 60元/股，每股年收益为 R 1 元，其均值为 7，方差为 50股票B的价格为 40元/股，每股年收益为 R 2 元，其均值为 3.2，方差为 25，设 R 1 和 R 2 互相独立某投资者有 10000元，拟购买 s 1 股股票 A，s 2 股股票 B，剩下的 s 3 元存银行，设银行 1年期定期存款利率为 5%，投资者希望该投资策略的年平均收益不少于 800元，并使投资收益的方差最小，求这个投资策略(s 1 ，s 2 ，s 3 )，并计算该策略的收益的标准差
16、 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】设投资策略为(s 1 ，s 2 ，s 3 )，则该投资策略的收益为 平均收益及方差为： 问题为求 的最小值 约束条件为：ES=s 1 7+s 2 3.2+(10000-60s 1 -40s 2 )5%800 用拉格朗日乘数法求解该问题，令 其中 是待定系数，最优解应满足的一阶条件为： 解此方程组得：s 1 =63.56股，s 2 =38.14股，s 3 =4660.8元该投资策略的方差和标准差分别为：DS=5063.56 2 +2538.14 2 238360， 15.设随机变量服从几何分布，其分布律为 PX=k=(1-p) k-1 p，0p1，
17、k=1，2，求 EX与 DX （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】 其中 q=1-p 设随机变量 X的概率密度为 已知 EX=2， （分数：5.00）(1).a，b，c 的值；（分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】 解方程组 得 (2).随机变量 Y=e X 的数学期望和方差（分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】16.设(X，Y)的概率密度为 求 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】17.在长为 L的线段上任取两点，求两点距离的期望和方差 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】以线段的左端点为原点建立坐标系，任取两点的坐标分别为 X，Y，则它们均在0
18、，L上服从均匀分布，且 X，Y 相互独立 所以 18.设 X，Y 是两个相互独立且均服从正态分布 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】设 Z=X-Y，则 ZN(0，1)故 所以 设随机变量 X与 Y独立同分布，均服从正态分布 N(， 2 )，求：（分数：5.00）(1).maxX，Y的数学期望；（分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】设 则 U和 V独立同服从正态分布 N(0，1) X=U 十 ，Y=V+，maxX，Y=(maxU，V)+， 而 所以 又 U-VN(0，2)，故 所以 (2).minX，Y的数学期望（分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】由上小题得：min
19、X，Y=(minU，V)+，而 则 19.设 X，Y 相互独立同分布，均服从几何分布 PX=k=q k-1 p，k=1，2，求 E(maxX，Y) （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】 设连续型随机变量 X的所有可能值在区间a，b之内，证明：（分数：5.00）(1).aEXb；（分数：2.50）_正确答案：()解析：【证】因为 aXb，所以 EaEXEb，即 aEXb(2). （分数：2.50）_正确答案：()解析：【证】因为对于任意的常数 C有 DXE(X-C) 2 ， 取 则有 20.对三台仪器进行检验，各台仪器产生故障的概率分别为 p 1 ，p 2 ，p 3 ，求产生故障仪器的
20、台数 X的数学期望和方差 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】X 的分布为 X 0 1 2 3 P (1-p 1 )(1-p 2 )(1-p 3 ) p 1 (1-p 2 )(1-p 3 )+ (1-p 1 )p 2 (1-p 3 )+ (1-p 1 )(1-p 2 )p 3 p 1 p 2 (1-p 3 )+ p 1 (1-p 2 )p 3 + (1-p 1 )p 2 p 3 p 1 p 2 p 3 由此计算 EX和 DX相当麻烦，我们利用期望的性质进行计算 设 X i 的分布如下： 于是 EX i =p i ，DX i =p i (1-p i )，i=1，2，3 故 21.一商店
21、经销某种商品，每周进货量 X与顾客对该种商品的需求量 Y是相互独立的随机变量，且都服从区间10，20上的均匀分布商店每售出一单位商品可得利润 1000元；若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利润 500元，试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】设 T为一周内所得利润，则 其中 所以 22.袋中有 n张卡片，分别记有号码 1，2，n，从中有放回地抽取 k张，以 X表示所得号码之和。求EX，DX （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】设 X i 为“第 i张的号码”，i=1，2，k，则 X i 的分布为 则
22、所以 23.设 X与 Y为具有二阶矩的随机变量，且设 Q(a，b)=EY-(a+bX) 2 ，求 a，b 使 Q(a，b)达到最小值Qmin，并证明： （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】 解方程组 得 此时 24.设 X，Y，Z 是三个两两不相关的随机变量，数学期望全为零，方差都是 1，求 X-Y和 Y-Z的相关系数 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】Cov(X-Y，Y-Z)=Cov(X，Y)-Cov(X，Z)-Cov(Y，Y)+Cov(Y，Z)=-DY=-1， D(X-Y)=D(Y-Z)=2 所以 X-Y与 Y-Z的相关系数为 将数字 1，2，n 随机地排列成新次序，
23、以 X表示经重排后还在原位置上的数字的个数（分数：5.00）(1).求 X的分布律；（分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】记 A i =数字 i在原位置上，i=1，2，n，则 表示至少有一个数字在原位置上则 显然有 (2).计算 EX和 DX（分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】令 则有 而 最后得 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：5.00）(1).方差 D(XY)；（分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】D(XY)=E(X 2 Y 2 )-E(XY) 2 ， 其中 所以， (2).协方差 Cov(3X+Y，X-2Y)（分数：2.50）_正确答案：()解析：
24、【解】 (X，Y)关于 X的边缘概率密度 由此得到 于是 设随机变量 U在-2，2上服从均匀分布，记随机变量 （分数：5.00）(1).Cov(X，Y)，并判定 X与 Y的独立性；（分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】X，Y 的全部可能取值都为-1，1，且 所以(X，Y)的分布律及边缘分布律为 从而 (2).DX(1+Y)（分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】DX(1+Y)=D(X+XY)=DX+D(XY)+2Cov(X，XY) =DX+D(XY)+2E(X 2 Y)-2EXE(XY) 其中 此外，由于 XY及 X 2 Y的分布律分别为 所以 将代入得 25.设随机变量 X在(
25、0，3)内随机取值，而随机变量 Y在(X，3)内随机取值，求协方差 Cov(X，Y) （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】X 的概率密度 在 X=x(0，3)的条件下， 于是(X，Y)的概率密度为 由此可得 其中 D如下图所示 由于 所以 所以， 26.设 X为随机变量，E(|X| r (r0)存在，试证明：对任意 0 有 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【证】若 X为离散型，其概率分布为 PX=x i =p i ，i=1，2，则 若 X为连续型，其概率密度为 f(x)，则 27.若 DX=0.004，利用切比雪夫不等式估计概率 P|X-EX|0.2 （分数：2.50）_正确答案：()解析：【解】由切比雪夫不等式28.用切比雪夫不等式确定，掷一均质硬币时，需掷多少次，才能保证正面出现的频率在 0.4至 0.6之间的概率不小于 0.9 （分数：2.50）_正确答案：()解析：
