1、考研数学三-103 (1)及答案解析(总分：155.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.下列级数收敛的是( ) （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 f(x，y)在(0,0)处连续，且 （分数：4.00）A.B.C.D.3.曲线 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设随机变量 X 的分布函数为 F(x)=0.2F1(x)+0.8F1(2x)，其中 F1(y)是服从参数为 1 的指数分布的随机变量的分布函数，则 D(X)为( )（分数：4.00）A.0.36B.0.44C.0.64D.16.设 A 为 mn 矩
2、阵，且 r（分数：4.00）A.=mn，则下列结论正确的是( )(A)A 的任意 m 阶子式都不等于零B.A 的任意 m 个列向量线性无关C.方程组 AX=b 一定有无数个解D.矩阵 A 经过初等行变换化为7.设 ， 为四维非零的正交向量，且 A= T，则 A 的线性无关的特征向量个数为( )（分数：4.00）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个8.设随机变量 XF(m,m)，令 =PX1，=PX1，则( )（分数：4.00）A.B.C.=D., 的大小与自由度 n 有关二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.曲线 （分数：4.00）填空项 1:_10.差分方程 yx=1-3yx=2
3、3x的通解为 1（分数：4.00）填空项 1:_11.设 ，f 有一阶连续的偏导数，则 （分数：4.00）填空项 1:_12.微分方程 y“-3y+2y=2ex满足 （分数：4.00）填空项 1:_13.已知三阶方阵 A，B 满足关系式 E+B=AB，A 的三个特征值分别为 3，-3，0，则|B -1+2E|= 1（分数：4.00）填空项 1:_14.设 X1，X 2，X n为来自总体 X 的简单随机样本，其中 E(X)=，D(X)= 2，令 U= （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：99.00)15.设 ，且 g(x)的一个原函数为 1n(x+1)，求 （分数：11
4、.00）_16.设 f(x)在0，1上二阶连续可导，且 f(0)=f(1)证明：存在 (0，1)，使得 （分数：11.00）_17.设 f(x)为-a，a上的连续的偶函数且 f(x)0，令 （分数：11.00）_18.某商品产量关于价格 p 的函数为 Q=75-p2，求： ()当 p=4 时的边际需求，说明其经济意义； ()当 p=4 时的需求价格弹性，说明其经济意义； ()当 p=4 时，若价格提高 1%，总收益是增加还是减少?收益变化率是多少?（分数：11.00）_19.现有两个分别盛有 10L 浓度为 15g/L 的盐水，现同时以 2L/min 的速度向第一只桶中注入清水，搅拌均匀后以
5、2L/min 的速度注入第二只桶中，然后以 2L/min 的速度从第二只桶中排出，问 5min 后第二只桶中含盐多少克?（分数：11.00）_20.就 a，b 的不同取值情况讨论方程组 （分数：11.00）_21.设 a=(1,1,-1)T是 （分数：11.00）_22.设 X 的概率密度为 且 Px1= （分数：11.00）_23.设 X1，X 2，X n是来自总体 X 的简单随机样本，且总体 X 的密度函数为 （分数：11.00）_考研数学三-103 (1)答案解析(总分：155.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.下列级数收敛的是( ) （分数：4.
6、00）A.B.C. D.解析：详解 因为*且*发散，所以*发散，又因为*收敛，所以*发散； 因为*，所以*发散； 因为*单调减少(除前面有限项以外)且*收敛，选(C)； 因为*发散，所以*发散2.设 f(x，y)在(0,0)处连续，且 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：详解 由*得 f(0，0)=1，因为*，所以*，其中 为当(x,y)(0,0)时的无穷小，于是f=f(x,y)-f(0,0)=037+0y+0(*)，故 f(x,y)在(0,0)处可微，且 fx(0,0)=fy(0,0)=0，选(D)3.曲线 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：详解 *，所以曲线*无水平渐近线；
7、因为*，所以 x=0 为曲线*的铅直渐近线，又因为*，所以 x=1 为 因为*，所以 x=0 为曲线*的铅直渐近线，又因为*，所以 x=1 为曲线*的铅直渐近线； 因为*，所以曲线的斜渐近线为 y=x+2，故曲线有 3 条渐近线，选(A)4.设 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：详解 * 因为 f(x)在 x=0 处可导，所以 k-2=3，即 k=5，选(C)5.设随机变量 X 的分布函数为 F(x)=0.2F1(x)+0.8F1(2x)，其中 F1(y)是服从参数为 1 的指数分布的随机变量的分布函数，则 D(X)为( )（分数：4.00）A.0.36B.0.44 C.0.64D.1
8、解析：详解 设 X1E(1)，其密度函数为*，其分布函数为 F1(x)=*，且 E(X1)=D(X1)=1，则 E(*)=D(X1)+E(X1)2=2 * 得 D(X)=E(X2)-E(X)2=0.8-0.36=0.44，选(B)6.设 A 为 mn 矩阵，且 r（分数：4.00）A.=mn，则下列结论正确的是( )(A)A 的任意 m 阶子式都不等于零B.A 的任意 m 个列向量线性无关C.方程组 AX=b 一定有无数个解 D.矩阵 A 经过初等行变换化为解析：详解 因为 A 与*都是 m 行，所以 r(A)=r(*)m7.设 ， 为四维非零的正交向量，且 A= T，则 A 的线性无关的特征
9、向量个数为( )（分数：4.00）A.1 个B.2 个C.3 个 D.4 个解析：详解 令 AX=X，则 A2X= 2X，因为 , 正交，所以 T= T=0，A 2= T T=O，于是 2X=0，故 1= 2= 3= 4=0，因为 , 为非零向量，所以 A 为非零矩阵，故 r(A)1；又 r(A)=r( T)r(a)=1，所以 r(A)=1. 因为 4-r(0E-A)=4-r(A)=3，所以 A 的线性无关的特征向量是 3 个，选(C)8.设随机变量 XF(m,m)，令 =PX1，=PX1，则( )（分数：4.00）A.B.C.= D., 的大小与自由度 n 有关解析：详解 令 Y=*，因为
10、XF(m，m)，所以 YF(m,m). 因为*，所以 =，选(C)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.曲线 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：详解 当 t=0 时，x=3，*， 而*，将 t=0 代入得 *，于是切线的斜率为*， 于是法线为*，即法线方程为*10.差分方程 yx=1-3yx=23x的通解为 1（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解 齐次差分方程 yx+1-3yx=0 的通解为 y=A3x，设差分方程 yx+1-3yx=23x的特解为 y0(z)=cx3x，将 y0(x)=Cx3x代入方程 yx+1-3yx=23x得 C=*，
11、故原差分方程的通解为 y(x)=A3x+2x3x-111.设 ，f 有一阶连续的偏导数，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：详解 *， *12.微分方程 y“-3y+2y=2ex满足 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：详解 特征方程为 2-3+2=0，特征值为 1=1， 2=2，y“-3y+2y=0 的通解为 y=C1ex+C2e2x 令原方程的特解为 y0(x)=Axex，代入原方程为 A=-2，原方程的通解为 y=C1ex+C2e2x-2xex 由*得 y(0)=0，y(0)=1，代入通解得 C1=-3，C 2=3，特解为 y=-3ex+3e2
12、x-2xex13.已知三阶方阵 A，B 满足关系式 E+B=AB，A 的三个特征值分别为 3，-3，0，则|B -1+2E|= 1（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：-8）解析：详解 因为 A 的特征值为 3，-3，0，所以 AE 的特征值为 2，-4，-1，从而 A-E 可逆，由E+B=AB 得(A-E)B=E，即 B 与 A-E 互为逆阵，则 B 的特征值为*，-1，B-1 的特征值为 2，-4，-1，从而B-1+2E 的特征值为 4，-2，1，于是|B -1+2E|=-814.设 X1，X 2，X n为来自总体 X 的简单随机样本，其中 E(X)=，D(X)= 2，令 U= （
13、分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：详解 由*得 *三、解答题(总题数：9，分数：99.00)15.设 ，且 g(x)的一个原函数为 1n(x+1)，求 （分数：11.00）_正确答案：( ，)解析：16.设 f(x)在0，1上二阶连续可导，且 f(0)=f(1)证明：存在 (0，1)，使得 （分数：11.00）_正确答案：(令 F(x)= ，则 F(x)三阶连续可导且 F(x)=f(x)，由泰勒公式得 因为 f“(x)C 1， 2，所以 f“(x)在 1， 2上取到最大值 M 和最小值 m， 于是 ， 由介值定理，存在 1， 2 (0，1)，使得 ， 故有 )解析：17.设
14、 f(x)为-a，a上的连续的偶函数且 f(x)0，令 （分数：11.00）_正确答案：( 因为 F“(x)=2f(x)0，所以 F(x)为单调增加的函数 ()因为 为偶函数，所以 F(0)=0，又因为 F“(0)0，所以 x=0 为 F(x)的唯一极小点，也为最小点 故最小值为 ()由 =f(a)-a2-1 两边求导得2af(a)=f(a)-2a 于是 f(x)-2xf(x)=2x， 解得 ， 在 中令 a=0 得 f(0)=1，则 C=2，于是 f(x)= )解析：18.某商品产量关于价格 p 的函数为 Q=75-p2，求： ()当 p=4 时的边际需求，说明其经济意义； ()当 p=4
15、时的需求价格弹性，说明其经济意义； ()当 p=4 时，若价格提高 1%，总收益是增加还是减少?收益变化率是多少?（分数：11.00）_正确答案：()边际需求函数为 当 p=4 时，边际需求为 其经济意义在于，在价格为 p=4 时，若价格提高一个单位，则需求量减少 8 个单位 ()需求价格弹性函数为 当 P=4 时，需求价格弹性为 其经济意义在于，在价格 P=4 的基础上，若价格提高 1%，则产品的需求量就减少 0.54% ()当 p=4 时，若价格提高 1%，因为 ，该商品缺乏弹性，企业的收益是增加的 因为 )解析：19.现有两个分别盛有 10L 浓度为 15g/L 的盐水，现同时以 2L/
16、min 的速度向第一只桶中注入清水，搅拌均匀后以 2L/min 的速度注入第二只桶中，然后以 2L/min 的速度从第二只桶中排出，问 5min 后第二只桶中含盐多少克?（分数：11.00）_正确答案：(设 t 时刻第一、二只桶中所含盐的质量分别为 m1(t)，m 2(t)，则有 ， 由 得 ，再由 m1(0)=150 得 C1=150，故 m1(t)= 再由 ， 则 ，由 m2(0)=150 得 C2=150，于是，5 分钟后第二只桶含盐 )解析：20.就 a，b 的不同取值情况讨论方程组 （分数：11.00）_正确答案：( 1)当 a-1，a6 时，方程组只有唯一解； 2)当 a=-1 时
17、， 当 a=-1，b36 时，方程组无解； 当 a=-1，b=36 时，方程组有无数个解， 方程组的通解为 3)当 a=6，b 为任意取值时， 因为 r(A)=r( )=34，所以方程组有无数个解，通解为 )解析：21.设 a=(1,1,-1)T是 （分数：11.00）_正确答案：()由 )解析：22.设 X 的概率密度为 且 Px1= （分数：11.00）_正确答案：()由 ， 又由 ， 解得 ()当 x-2 时，F(x)=0；当-2x-1 时，F(x)= ； 当-1x0 时，F(x)= ； 当-x0 时， ； 当 x0 时， ， 于是 ()F Y(y)=PX3y， 当 y-8 时，F Y(y)=0； 当-8y-1 时，F Y(y)=PX ； 当-1y0 时，F Y(y)=PX ； 当 y0 时，F Y(y)=PX ， )解析：23.设 X1，X 2，X n是来自总体 X 的简单随机样本，且总体 X 的密度函数为 （分数：11.00）_正确答案：() ，则 的矩估计量为 () ， ， 令 ，得 的极大似然估计值为 ， 的极大似然估计量为 )解析：
