1、考研数学三-102 (1)及答案解析(总分：155.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.n 元线性方程组 Ax=b 有唯一解的充要条件是( )（分数：4.00）A.A 为可逆的方阵B.齐次线性方程组 AX=0 只有零解C.A 的行向量组线性无关D.矩阵 A 的列向量线性无关，且向量 b 可由 A 的列向量组线性表示2.设连续型随机变量 X 的分布函数 F(x)严格递增，YU(0，1)，则 Z=F-1(Y)的分布函（分数：4.00）A.可导B.连续但不一定可导且与 X 分布相同C.只有一个间断点D.有两个以上的间断点3.设常数 a0，正项级数 收敛，则 （分
2、数：4.00）A.B.C.D.4.若 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 f“(x)在 x=0 处连续，且 （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 D 为 xOy 平面上的有界闭区域，z=f(x，y)在 D 上连续，在 D 内可偏导且满足 + （分数：4.00）A.B.C.D.7.对三阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*先交换第一行与第三行，然后将第二列的-2 倍加到第三列得-E，且|A|0，则 A 等于( ) （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 X1，X 2，X 3，X n是来自正态总体 N(， 2)的简单随机变量，又是样本均值，记 = 则服从自由度为 n-1 的 t 分布的随机量为(
3、 ) （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.若当 x0 时，(1+2x) x-cosxax 2，则 a=_（分数：4.00）填空项 1:_10.设 F(u，v)一阶连续可偏导，且由 确定 z 为 x，y 的隐函数，则 （分数：4.00）填空项 1:_11. （分数：4.00）填空项 1:_12.设函数 y=y(x)在(0，+)上满足 （分数：4.00）填空项 1:_13.设矩阵 （分数：4.00）填空项 1:_14.设随机变量 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：99.00)15.计算二重积分 （分数：11.00）_16.()
4、设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f“(x)0，x 0a，b，证明： f(x)f(x 0)+f(x0)(x-x0)， 等号成立当且仅当 x=x0，并证明 f(x)在(a，b)内是上凸的函数； ()设 f(x)C0，1且 f(x)0，证明： （分数：11.00）_17.设生产某种产品需投入两种生产要素，x，y 分别为两种生产要素的投入量，Q 为产品的产量，设生产函数 Q=2x y ，其中 0，0 且 +=1设两种生产要素的价格分别为 p1及 p2，问当产量为 12时，两种生产要素投入多少可使投入总费用最少?（分数：11.00）_18.求幂级数 的收敛半径、收敛域及和函数，并求 （分数：11.0
5、0）_19.当陨石穿过大气层向地面高速坠落时，陨石表面与空气摩擦产生的高温使陨石燃烧并不断挥发，实验证明，陨石挥发的速率(即体积减少的速率)与陨石表面积成正比，现有一陨石是质量均匀的球体，且在坠落过程中始终保持球状若它在进入大气层开始燃烧的前 3s 内，减少了体积的 （分数：11.00）_20.设 （分数：11.00）_21.设二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX 经过正交变换化为标准形 f= （分数：11.00）_22.设(X，Y)的联合密度函数为 ()求常数 k； ()求 X 的边缘密度； ()求当 （分数：11.00）_23.设随机变量 X1，X 2，X m+n(mn)独立同分布
6、，其方差为 2，令 （分数：11.00）_考研数学三-102 (1)答案解析(总分：155.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.n 元线性方程组 Ax=b 有唯一解的充要条件是( )（分数：4.00）A.A 为可逆的方阵B.齐次线性方程组 AX=0 只有零解C.A 的行向量组线性无关D.矩阵 A 的列向量线性无关，且向量 b 可由 A 的列向量组线性表示 解析：详解 矩阵 A 可逆是方程组 AX=b 有唯一解的充分不必要条件，(A)不对； 若 AX=0 只有零解，则 r(A)=n，但不能由此推出 r(A)=r(*)=n，(B)不对； A 的行向量组线性无关
7、只能保证 A 行满秩，从而方程组 AX=b 一定有解，但不能保证有唯一解，(C)不对； 若矩阵 A 的列向量组线性无关，则 r(A)=n，又若 b 可由 A 的列向量组线性表示，则 r(A)=r(*)=n，于是方程组 AX=b 有唯一解，选(D)2.设连续型随机变量 X 的分布函数 F(x)严格递增，YU(0，1)，则 Z=F-1(Y)的分布函（分数：4.00）A.可导B.连续但不一定可导且与 X 分布相同 C.只有一个间断点D.有两个以上的间断点解析：详解 因为 YU(0，1)，所以 Y 的分布函数为 FY(y)=*，则 Z=F-1(Y)的分布函数为 FZ(z)=PZz=PF -1(Y)z=
8、PYF(z)=F YF(z)， 因为 0F(x)1，所以 FZ(z)=F(z)，即 Z 与 X 分布相同，选(B)3.设常数 a0，正项级数 收敛，则 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：详解 因为*， 又因为*都收敛，所以*收敛，根据比较审敛法得*绝对收敛，选(C)4.若 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：详解 当 x0 时，*， * 故 k=2，a=-2，选(A)5.设 f“(x)在 x=0 处连续，且 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：详解 由*得 f“(0)=0，由极限保号性，存在 0，当|x| 时，* 当 x(-，0)时，因为 1n(1+x)0，所以 f“(x)
9、0；当 x(0，)时，因为 1n(1+x)0，所以 f“(x)0，于是(0，f(0)为 y=f(x)的拐点，选(C)6.设 D 为 xOy 平面上的有界闭区域，z=f(x，y)在 D 上连续，在 D 内可偏导且满足 + （分数：4.00）A. B.C.D.解析：详解 因为 f(x，y)在 D 上连续，所以 f(x，y)在 D 上一定取到最大值与最小值，不妨设 f(x,y)在 D 上的最大值 M 在 D 内的点(x 0,y0)处取到，即 f(x0y 0)=M0，此时*=*矛盾，即 f(x，y)在 D 上的最大值 M 不可能在 D 内取到，同理 f(x，y)在 D 上的最小值 m 不可能在 D 内
10、取到，选(A)7.对三阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*先交换第一行与第三行，然后将第二列的-2 倍加到第三列得-E，且|A|0，则 A 等于( ) （分数：4.00）A. B.C.D.解析：详解 由-E=E 13A*E23(-2)得 A*=-*(-2)=-E13E23(2)，因为|A*|=|A| 2=1 且|A|0，所以|A|=1，于是 A*=A-1，故 A=(A*)-1=*=-E23(-2)E13=*，选(A)8.设 X1，X 2，X 3，X n是来自正态总体 N(， 2)的简单随机变量，又是样本均值，记 = 则服从自由度为 n-1 的 t 分布的随机量为( ) （分数：4.00）A.B. C.
11、D.解析：详解 令* *与*相互独立，由 t 分布的定义，*，选(B)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.若当 x0 时，(1+2x) x-cosxax 2，则 a=_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：详解 因为当 x0 时，(1+2x) x-1=exln(1+2x)-1xln(1+2x)2x 2， 所以*10.设 F(u，v)一阶连续可偏导，且由 确定 z 为 x，y 的隐函数，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：z）解析：详解 *两边对 x 求偏导得 * *=0 两边对 Y 求偏导得* 故*11. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：
12、 ）解析：详解 *， 令 S(x)=*，收敛域为-1，1，S(x)=*， *12.设函数 y=y(x)在(0，+)上满足 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：x(1-cosx)）解析：详解 由可微的定义，函数 y=y(x)在(0，+)内可微，且 y=*+xsinx 或 y-*=xsinx，由一阶非齐次线性微分方程的通解公式得 *， 由*得 C=1，所以 y=x(1-cosx)13.设矩阵 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解 *，B -1=B*A+A 高边左乘 B 得 E=2A+BA，即(B+2E)A=E，则 A=(CB+2E)-1=*14.设随机变量 （分数
13、：4.00）填空项 1:_ （正确答案：略）解析：详解 E(x)=*，E(Y)=*，由 Cov(X，Y)=E(XY)E(X)E(Y)=E(XY)-*，得 E(XY)=*，因为XY 的可能取值为 0，1，所以 XY* 由 PX=1=PX=1，Y=0)+PX=1，Y=1)，得 PX=1，Y=0)=*，再 PY=0=P(X=0，Y=0+PX=1，Y=0)=*，得 PX=0，Y=0)=*，则(X，Y)的联合分布律为 *三、解答题(总题数：9，分数：99.00)15.计算二重积分 （分数：11.00）_正确答案：(令 D1=(x，y)|x 2+y21，x0，y0，D 2=D/D1， )解析：16.()设
14、 f(x)在a，b上二阶可导，且 f“(x)0，x 0a，b，证明： f(x)f(x 0)+f(x0)(x-x0)， 等号成立当且仅当 x=x0，并证明 f(x)在(a，b)内是上凸的函数； ()设 f(x)C0，1且 f(x)0，证明： （分数：11.00）_正确答案：()由泰勒公式得 ，其中 位于 x0与 x 之间 因为 f“(x)0，所以 f(x)f(x 0)+f(x0)(x-x0)，等号成立当且仅当 x=x0 任取 x1，x 2a，b且 x1x 2，取 ，因为 f(x)0，所以 f(x)f(x 0)+f(x0)(x-x0)。等号成寺当日仅当 x=x0，于是， 两式相加得 ，由凹凸性定义
15、得 f(x)在(a，b)内是上凸的函数 ()令 ，所以 (t)(t 0)+(t 0)(t-t0)，于是 f(x)(t 0)+(t 0)f(x)-t0，两边积分得 )解析：17.设生产某种产品需投入两种生产要素，x，y 分别为两种生产要素的投入量，Q 为产品的产量，设生产函数 Q=2x y ，其中 0，0 且 +=1设两种生产要素的价格分别为 p1及 p2，问当产量为 12时，两种生产要素投入多少可使投入总费用最少?（分数：11.00）_正确答案：(投入费用函数为 Cp1x+p2y 令 F(x，y，)=p 1x+p2y+(2x y -12) 由 ， 故当 )解析：18.求幂级数 的收敛半径、收敛
16、域及和函数，并求 （分数：11.00）_正确答案：(由 得收敛半径为 R=1 当|x|1 时，幂级数绝对收敛；当|x|1 时，幂级数发散，当 x=1 时，因为 为收敛的交错级数，故幂级数 的收敛域为-1，1 因为 S1(0)=0，所以 S1(z)=S1(x)S 1(0)= (x)dx=arctanz，故 S(x)=xarctanx(-1)x1) )解析：19.当陨石穿过大气层向地面高速坠落时，陨石表面与空气摩擦产生的高温使陨石燃烧并不断挥发，实验证明，陨石挥发的速率(即体积减少的速率)与陨石表面积成正比，现有一陨石是质量均匀的球体，且在坠落过程中始终保持球状若它在进入大气层开始燃烧的前 3s
17、内，减少了体积的 （分数：11.00）_正确答案：(设陨石体积为 V，表面积为 S，半径为 r，它们都是时间 t 的函数， 因为 ，所以 由题设得 ，其中 V0为燃烧前的体积解得 ，得 ，所以 )解析：20.设 （分数：11.00）_正确答案：(令 X=( 1， 2， 3)，B=( 1， 2， 3)，矩阵方程化为 A( 1， 2， 3)=( 1， 2， 3)，即 当 a=1，b=2，c=-2 时，矩阵方程有解， 此时 )解析：21.设二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTAX 经过正交变换化为标准形 f= （分数：11.00）_正确答案：(显然 A 的特征值为 1=2， 2=-1， 3=-1
18、，|A|=2，伴随矩阵 A*的特征值为 1=1， 2=-2， 3=-2由 A*= 得 AA*=A，即 A=2，即 =(1，1，-1) T是矩阵 A 的对应于特征值 1=2 的特征向量 令 =(x 1，x 2，x 3)T为矩阵 A 的对应于特征值 2=-1， 3=-1 的特征向量，因为 A 为实对称矩阵，所以 T=0，即 x1+x2-x3=0，于是 2=-1， 3=-1 对应的线性无关的特征向量为 令 = () 再令 ， 则 )解析：22.设(X，Y)的联合密度函数为 ()求常数 k； ()求 X 的边缘密度； ()求当 （分数：11.00）_正确答案：()由 ， 故 () 当 x0 或 x 时，fx(x)=0； 当 0x 时， ， 于是 () )解析：23.设随机变量 X1，X 2，X m+n(mn)独立同分布，其方差为 2，令 （分数：11.00）_正确答案：()因为 X1，X 2，X m+n相互独立， 所以 ()Cov(Y，Z)=Cov(X 1+Xm)+(Xm+1+Xn)，X m+1+Xm+n=Cov(X1+Xm，X m+1+Xm+n)+Cov(Xm+1+Xn，X m+1+Xm+n)=D(Xm+1+Xn)+Cov(Xm+1+Xn，X n+1+Xm+n)=(n-m) 2，则 )解析：
