1、考研数学三-101 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：40，分数：100.00)1.一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为 （分数：2.50）2.将一枚硬币重复掷五次，则正面、反面都至少出现两次的概率为 1 （分数：2.50）3.设对于事件 A，B，C 有 ，P(AB)=P(BC)=0， （分数：2.50）4.已知每次试验“成功”的概率为 p，现进行 n 次独立试验，则在没有全部失败的条件下，“成功”不止一次的概率为 1 （分数：2.50）5.设 X 服从参数为 的指数分布，对 X 作三次独立重复观察，至少有一次观测值大于 2 的概率
2、为 （分数：2.50）6.设随机变量 X 的分布函数为 （分数：2.50）7.设随机变量 X 服从泊松分布，且 PX1=4PX=2，则 PX=3= 1 （分数：2.50）8.设随机变量 X 服从正态分布，其概率密度为 f(x)=ke -x2+2x-1 (-x+)，则常数 k= 1 （分数：2.50）9.设随机变量 X 服从(0，2)上的均匀分布，则随机变量 Y=X 2 在(0，4)内的密度函数为 f Y (y)= 1. （分数：2.50）10.设二维随机变量(X，Y)在区域 （分数：2.50）11.设二维随机变量(X，Y)在 上服从均匀分布，则条件概率 （分数：2.50）12.设二维随机变(X
3、，Y)的概率密度 （分数：2.50）13.设二维随机变量的分布律为 （分数：2.50）14.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从参数为 1 的指数分布，则随机变量 （分数：2.50）15.一台设备由三个部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率分别为 0.10，0.20，0.30，设备部件状态相互独立，以 X 表示同时需要调整的部件数，则 X 的方差 DX 为 1 （分数：2.50）16.设随机变量 X 的概率密度为 则 （分数：2.50）17.设随机变量 Y 服从参数为 1 的指数分布，记 （分数：2.50）18.已知离散型随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布，即 （分数：2.50
4、）19.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 100 独立同分布，且 EX i =0，DX i =10，i=1，2，100，令 则 （分数：2.50）20.设随机变量 X 和 Y 均服从 （分数：2.50）21.设(X，Y)的概率密度为 （分数：2.50）22.已知随机变量 XN(-3，1)，YN(2，1)，且 X，Y 相互独立，设随机变量 Z=X-2Y+7，则 Z 1 （分数：2.50）23.若 X 1 ，X 2 ，X 3 两两不相关，且 DX i =1(i=1，2，3)，则 D(X 1 +X 2 +X 3 )= 1 （分数：2.50）24.设相互独立的两个随机变量 X，Y 具有同一分布律，且
5、 X 的分布律为： （分数：2.50）25.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立，且 （分数：2.50）26.设随机变量 X 与 Y 的分布律为 且相关系数 （分数：2.50）27.设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且 XN(0，3)，YN(0，4)，相关系数 XY = （分数：2.50）28.设二维随机变量(X，Y)的分布律为 （分数：2.50）29.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.50）30.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.50）31.设随机变量 X 的数学期望 EX=75，方差 DX=5，由切比雪夫不等式估计得 P|X-75|k0.
6、05，则 k= 1 （分数：2.50）32.设 X 1 ，X 2 ，X n ，是相互独立的随机变量序列，且都服从参数为 的泊松分布，则 （分数：2.50）33.设总体 XP()，X 1 ，X 2 ，X n 是来自 X 的简单随机样本，它的均值和方差分别为 和S 2 ，则 （分数：2.50）34.设总体 X 和 Y 相互独立，且分别服从正态分布 N(0，4)和 N(0，7)，X 1 ，X 2 ，X 8 和 Y 1 ，Y 2 ，Y 14 分别来自总体 X 和 Y 的简单随机样本，则统计量 （分数：2.50）35.设 X 1 ，X 2 ，X 3 是来自总体 N(0， 2 )的简单随机样本，记 U=X
7、 1 +X 2 与 V=X 2 +X 3 ，则(U，V)的概率密度为 1 （分数：2.50）36.设 X 1 ，X 2 是来自总体 N(0， 2 )的简单随机样本，则查表得概率 （分数：2.50）37.设总体 X 的概率密度为 （分数：2.50）38.设 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 是来自正态总体 XN(， 2 )的样本，则统计量 （分数：2.50）39.设总体 XN(a，2)，YN(b，2)，且独立，由分别来自总体 X 和 Y 的容量分别为 m 和 n 的简单随机样本得样本方差 则统计量 （分数：2.50）40.设总体 X 的密度函数为 （分数：2.50）考研数学三-101 答案解
8、析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：40，分数：100.00)1.一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为 （分数：2.50）解析：解析 独立重复试验至少命中一次的对立事件是四次都没有命中四次都没有命中的概率是所以该射手的命中率为2.将一枚硬币重复掷五次，则正面、反面都至少出现两次的概率为 1 （分数：2.50）解析： 解析 这是独立重复试验概型，设 X=掷五次硬币，正面出现的次数，则 X 而Y=5-X 为 5 次中反面出现的次数 记 A=正面、反面都至少出现两次，则 3.设对于事件 A，B，C 有 ，P(AB)=P(BC)=0， （分数：2.5
9、0）解析： 解析 4.已知每次试验“成功”的概率为 p，现进行 n 次独立试验，则在没有全部失败的条件下，“成功”不止一次的概率为 1 （分数：2.50）解析： 解析 这是独立重复试验概型，记 A=成功，则 P(A)=p，X=n 次试验中 A 发生的次数，则 XB(n,p)，“在没有全部失败的条件下，成功不止一次”的概率为 5.设 X 服从参数为 的指数分布，对 X 作三次独立重复观察，至少有一次观测值大于 2 的概率为 （分数：2.50）解析： 解析 记 A=X2，Y=对 X 作三次独立重复观察 A 发生的次数，YB(3，p)， 由题意 于是 又 p=e -2 ，所以 6.设随机变量 X 的
10、分布函数为 （分数：2.50）解析：1，0 解析 由 F(x)右连续的性质得 即 A+B=1又 7.设随机变量 X 服从泊松分布，且 PX1=4PX=2，则 PX=3= 1 （分数：2.50）解析： 解析 PX1=PX=0+PX=1=e - +e - ， 由 PX1=4PX=2知 e - +e - =2 2 e - ，即 2 2 -1=0，解得 =1，故 8.设随机变量 X 服从正态分布，其概率密度为 f(x)=ke -x2+2x-1 (-x+)，则常数 k= 1 （分数：2.50）解析： 解析 方法一 因为 所以， 方法二 9.设随机变量 X 服从(0，2)上的均匀分布，则随机变量 Y=X
11、2 在(0，4)内的密度函数为 f Y (y)= 1. （分数：2.50）解析： 解析 当 Y=X 2 在(0，4)内时 10.设二维随机变量(X，Y)在区域 （分数：2.50）解析： 解析 D 如下图阴影部分所示，它的面积 所以(X，Y)的概率密度为 从而 11.设二维随机变量(X，Y)在 上服从均匀分布，则条件概率 （分数：2.50）解析：1 解析 G 如下图的OAB，它的面积 所以(X，Y)的概率密度为 由于关于 Y 的边缘概率密度 其中 D 如下图带阴影的三角形 又 所以 12.设二维随机变(X，Y)的概率密度 （分数：2.50）解析： 解析 由 f(x，y)的表达式知 X 与 Y 相
12、互独立，且关于 X 与关于 Y 的边缘概率密度分别为 由此可知，当 x0 时，由 f X (x)0 知 13.设二维随机变量的分布律为 （分数：2.50）解析： 解析 Z 全部可能取值为 0，1，2，3，且 所以 Z 的分布律为 14.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从参数为 1 的指数分布，则随机变量 （分数：2.50）解析： 解析 X 的概率密度为 其中 所以 15.一台设备由三个部件构成，在设备运转中各部件需要调整的概率分别为 0.10，0.20，0.30，设备部件状态相互独立，以 X 表示同时需要调整的部件数，则 X 的方差 DX 为 1 （分数：2.50）解析：0.46 解析
13、 X 的全部可能取值为 0，1，2，3，且 PX=0=(1-0.10)(1-0.20)(1-0.30)=0.504， PX=1=(1-0.10)(1-0.20)0.30+(1-0.10)(1-0.30)0.20+(1-0.20)(1-0.30)0.10-0.398， PX=2=(1-0.10)0.200.30+(1-0.20)0.100.30+(1-0.30)0.100.20=0.092， PX=3=0.100.200.30=0.006 所以 EX=00.504+10.398+20.092+30.006=0.6， E(X 2 )=0 2 0.504+1 2 0.398+2 2 0.092+3
14、2 0.006=0.82 DX=E(X 2 )-(EX) 2 =0.82-(0.6) 2 =0.4616.设随机变量 X 的概率密度为 则 （分数：2.50）解析：解析 17.设随机变量 Y 服从参数为 1 的指数分布，记 （分数：2.50）解析：解析 所以18.已知离散型随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布，即 （分数：2.50）解析：4解析 EZ=3EX-2=419.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 100 独立同分布，且 EX i =0，DX i =10，i=1，2，100，令 则 （分数：2.50）解析：990 解析 故 20.设随机变量 X 和 Y 均服从 （分数：2.50）解
15、析：1 解析 由题设 于是有 21.设(X，Y)的概率密度为 （分数：2.50）解析：0 解析 由于 D：0|y|x1 是由 y=-x，y=x，x=1 三条线围成的，关于 x 轴对称，所以 22.已知随机变量 XN(-3，1)，YN(2，1)，且 X，Y 相互独立，设随机变量 Z=X-2Y+7，则 Z 1 （分数：2.50）解析：N(0，5) 解析 Z 服从正态分布， EZ=E(X-2Y+7)=EX-2EY+7=3-4+7=0， DZ=D(X-2Y+7)=DX+2 2 DY=1+4=523.若 X 1 ，X 2 ，X 3 两两不相关，且 DX i =1(i=1，2，3)，则 D(X 1 +X
16、2 +X 3 )= 1 （分数：2.50）解析：3 解析 因为 X 1 ，X 2 ，X 3 两两不相关，所以 Cov(X i ，X j )=0(ij)，于是 D(X 1 +X 2 +X 3 )=D(X 1 +X 2 )+X 3 =D(X 1 +X 2 )+DX 3 +2Cov(X 1 +X 2 ，X 3 ) =DX 1 +DX 2 +DX 3 +2Cov(X 1 ，X 2 )+2Cov(X 1 ，X 3 )+2Cov(X 2 ，X 3 ) =DX 1 +DX 2 +DX 3 =324.设相互独立的两个随机变量 X，Y 具有同一分布律，且 X 的分布律为： （分数：2.50）解析：解析 25.设
17、随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立，且 （分数：2.50）解析： 解析 26.设随机变量 X 与 Y 的分布律为 且相关系数 （分数：2.50）解析： 解析 设(X，Y)的分布律为 (X，Y)的边缘分布律也表示于表中)， 则 E(XY)=p 11 ，从而有 由此得 所以(X，Y)的分布律为 27.设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且 XN(0，3)，YN(0，4)，相关系数 XY = （分数：2.50）解析： 解析 28.设二维随机变量(X，Y)的分布律为 （分数：2.50）解析： 解析 关于 X 与关于 Y 的边缘分布律分别为 所以， 此外， 于是 29.设二维随机变量(
18、X，Y)的概率密度为 （分数：2.50）解析： 解析 Cov(U，V)=Cov(X+2Y，-X)=-DX-2Cov(XY) =-DX-2E(XY)+2EXEY， 其中 关于 X 的边缘概率密度：为 所以 将代入得 30.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.50）解析： 解析 DZ=DX+DY-2Cov(X，Y) =DX+DY-2E(XY)+2EXEY， 其中 D=(x,y)|0x1，0yx如下图阴影部分所示 关于 X 的边缘概率密度为 关于 Y 的边缘概率密度为 将代入得 31.设随机变量 X 的数学期望 EX=75，方差 DX=5，由切比雪夫不等式估计得 P|X-75|k0.0
19、5，则 k= 1 （分数：2.50）解析：10解析 于是由题设得32.设 X 1 ，X 2 ，X n ，是相互独立的随机变量序列，且都服从参数为 的泊松分布，则 （分数：2.50）解析：(x)解析 由列维-林德伯格中心极限定理即得33.设总体 XP()，X 1 ，X 2 ，X n 是来自 X 的简单随机样本，它的均值和方差分别为 和S 2 ，则 （分数：2.50）解析：解析 34.设总体 X 和 Y 相互独立，且分别服从正态分布 N(0，4)和 N(0，7)，X 1 ，X 2 ，X 8 和 Y 1 ，Y 2 ，Y 14 分别来自总体 X 和 Y 的简单随机样本，则统计量 （分数：2.50）解析
20、： 解析 由 知 于是 35.设 X 1 ，X 2 ，X 3 是来自总体 N(0， 2 )的简单随机样本，记 U=X 1 +X 2 与 V=X 2 +X 3 ，则(U，V)的概率密度为 1 （分数：2.50）解析： 解析 由(X 1 ，X 2 ，X 3 )服从三维正态分布知，X 1 ，X 2 ，X 3 的线性函数组成的二维随机变量(U，V)也服从二维正态分布，记为 其中 所以(U，V)的概率密度为 36.设 X 1 ，X 2 是来自总体 N(0， 2 )的简单随机样本，则查表得概率 （分数：2.50）解析：9 解析 (X 1 ，X 2 )服从二维正态分布，所以(X 1 +X 2 ，X 1 -X
21、 2 )也服从二维正态分布，并且由 X 1 +X 2 N(0，2 2 )，X 1 -X 2 N(0，2 2 )知 Cov(X 1 +X 2 ，X 1 -X 2 )=D(X 1 )-D(X 2 )=0，即 X 1 +X 2 与 X 1 -X 2 相互独立此外， 所以， 于是， 37.设总体 X 的概率密度为 （分数：2.50）解析： 解析 似然函数为 解似然方程得 的极大似然估计值为 38.设 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 是来自正态总体 XN(， 2 )的样本，则统计量 （分数：2.50）解析：t(2) 解析 因为 XN(， 2 )，所以 X 3 -X 4 N(0，2 2 )， 又 故 所以 39.设总体 XN(a，2)，YN(b，2)，且独立，由分别来自总体 X 和 Y 的容量分别为 m 和 n 的简单随机样本得样本方差 则统计量 （分数：2.50）解析： 2 (m+n-2) 解析 因为 40.设总体 X 的密度函数为 （分数：2.50）解析： 解析 似然函数为 取对数得 令 得
