1、考研数学三-101 (1)及答案解析(总分：149.99，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.已知 且，f(0)=0，则 （分数：4.00）A.B.C.D.2.已知函数 f(x，y)=|x-y|g(x，y)，其中 g(x，y)在点(0，0)的某邻域内有定义，则 f(x，y)在点(0，0)处偏导数存在的充分条件是( )（分数：4.00）A.B.C.D.3.设 X1，X 2，X 3，X 4为来自总体 XN(1，1)的简单随机样本，且 服从 2(n)分布，则常数 k 和 2分布的自由度 n 分别为( )（分数：4.00）A.B.C.D.4.累次积分 f(cos，sin
2、)d 可写成( )（分数：4.00）A.B.C.D.5.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从区间(0，2)上的均匀分布，Y 服从参数为 1 的指数分布，则概率P(X+Y1)的值为( )（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 A 为 mn 矩阵，B 为 np 矩阵，则矩阵方程 AX=B 有解的充分必要条件是( )（分数：4.00）A.B.C.D.7.已知某二阶常系数线性非齐次微分方程的通解为 （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 4 阶方阵 A=1，2，3，4，B=4，3，2，1，其中 1，2，3，4 均为 4 维列向量，A 可逆，且|A|=1，又设 （分数：4.00）A.B.C
3、.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x)在点 x=0 可导，且 （分数：4.00）填空项 1:_10.差分方程 （分数：4.00）填空项 1:_11.设 D:0x1，0y1， （分数：4.00）_12.设正项级数 收敛，则级数 （分数：4.00）填空项 1:_13.设实方阵 A=(aij)44满足 aij=Aij(Aij为 aij的代数余子式，i，j=1，2，3，4)，a 44=-1，则 （分数：4.00）填空项 1:_14.设 4 重 Bernoulli 试验中，已知“成功”的概率为 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.00)对一切实数
4、 t，f(t)连续，且 f(t)0，f(-t)=f(t)，对于函数 （分数：9.99）(1).证明 F(x)单调增加；（分数：3.33）_(2).当 x 为何值时，F(x)取得最小值；（分数：3.33）_(3).若 F(x)的最小值可表示为 f(a)-a2-1，求 f(t)。（分数：3.33）_15.已知函数 z=z(x，y)满足设对函数 =(u，v)，求证 （分数：10.00）_16.曲线 y=f(x)(x0，y0)连续且单调，从其上任一点 A 作 x 轴与 y 轴的垂线，垂足分别是 B 和 C，若由直线 AC，y 轴和曲线本身包围的图形的面积等于矩形 OBAC 的面积的 （分数：10.00
5、）_17.设 D 是由 x0，yx 与 x2+(y-b)2b 2，x 2+(y-a)2a 2(0ab)所围成的平面区域，计算 （分数：10.00）_18.设在区间n，(n+1)上由曲线 y=e-xsinx 与 x 轴所围成的平面图形的面积为 Sn(n=0，1，2，)，求级数 （分数：10.00）_设 ， 为三维单位列向量，并且 T=0，记 A= T+ T，证明：（分数：11.00）(1).齐次线性方程组 Ax=0 有非零解；（分数：5.50）_(2).A 相似于矩阵 （分数：5.50）_19.已知 （分数：11.00）_设有一批产品成箱出售，每箱有产品 10 件，各箱含 1 件次品、2 件次品
6、、3 件次品的概率分别为 60%，20%和20%；顾客购买时，由售货员随意选一箱，顾客开箱任取 4 件进行检验，若发现次品不多于 1 件，则确定购买此箱产品，否则不买。（分数：11.00）_(2).若顾客共挑选 150 箱这样的产品，求确定购买产品箱数的数学期望与方差。（分数：5.50）_假设 X 是任意总体，=E(X)和 2=D(X)存在，X 1，X 2，X n是来自 X 的简单随机样本， （分数：11.00）(1).E(D)；（分数：5.50）_(2).。 （分数：5.50）_考研数学三-101 (1)答案解析(总分：149.99，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.
7、00)1.已知 且，f(0)=0，则 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：详解 记*为常数，于是有 Af(x)=8，即*两边积分得 f(x)=*由 f(0)=0，得 C=0，从而*于是*故*应选(D)。2.已知函数 f(x，y)=|x-y|g(x，y)，其中 g(x，y)在点(0，0)的某邻域内有定义，则 f(x，y)在点(0，0)处偏导数存在的充分条件是( )（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 因为 f(x，y)含有绝对值且已知只给出 g(x，y)在点(0，0)的某邻域内有定义，所以，利用偏导数定义讨论偏导数的存在性。详解 因为*所以 fx(0，0)与 fy(0，0)存在的
8、充要条件是极限*存在且都等于零。因此，当 g(x，y)在点(0，0)处连续，且 g(0，0)=0 时，有*即*故应选(D)。评注 本题考查二元函数偏导数、极限、连续的概念。*反之则不然，所以，(D)是充分条件而不是必要条件。3.设 X1，X 2，X 3，X 4为来自总体 XN(1，1)的简单随机样本，且 服从 2(n)分布，则常数 k 和 2分布的自由度 n 分别为( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：详解 因*从而*故*即选(C)。4.累次积分 f(cos，sin)d 可写成( )（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 先将积分区域 D 用极坐标表示，再转化为用直角坐标表示
9、，然后可表示成直角坐标下的二次积分形式。详解 *其图形如图 6，由图形即可看出*可知应选(D)。评注 一般都是由直角坐标化为极坐标，反过来，由极坐标转换为直角坐标也应熟悉。5.设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从区间(0，2)上的均匀分布，Y 服从参数为 1 的指数分布，则概率P(X+Y1)的值为( )（分数：4.00）A. B.C.D.解析：详解 X 与 Y 的联合密度为f(x，y)=f X(x)fY(y)*6.设 A 为 mn 矩阵，B 为 np 矩阵，则矩阵方程 AX=B 有解的充分必要条件是( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：详解 设 A= 1， 2， n，X=x
10、 1，x 2，x p，B= 1， 2， 3，则矩阵方程AX=B 有解*Ax j= j有解(j=1，2，p)。*故应选(B)。7.已知某二阶常系数线性非齐次微分方程的通解为 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：分析 先由通解确定特征方程，从而求出对应齐次线性方程，再由特解找出右端函数项即可。详解 由题设，对应齐次线性方程的通解为 y=C1ex+C2e-x，特征方程为(-1)(+1)=0，即 2=1=0可见，对应齐次方程为 y“-y=f(x)，则将特解*代入，得*即所求方程为 y“-y=sin2x，故应选(D)。8.设 4 阶方阵 A=1，2，3，4，B=4，3，2，1，其中 1，2，3，4
11、 均为 4 维列向量，A 可逆，且|A|=1，又设 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：详解 显然矩阵 B 是经 A 的列重排后所得的矩阵，而 P1是交换 E 的第 1，4 两列后所得的初等矩阵，P 2是交换 E 的第 2、3 列后所得的初等矩阵，于是 B=AP2P1，从而B*=|B|B-1，|B|=| 4， 3， 2， 1|=-| 1， 3， 2， 4|=| 1， 2， 3， 4=|A|=1，*于是*故应选(C)。二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x)在点 x=0 可导，且 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：详解 由 f(x)在点 x=0 可导
12、且*于是*10.差分方程 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 特征根为*可设特解为*详解 特征方程为*得*设特解为*代入原方程得*故所求通解为：*评注 大纲要求掌握求一阶线性非齐次差分方程 yx+1+ayx=f(x)的通解，其中 f(x)为形如 Pn(x)bx的函数。11.设 D:0x1，0y1， （分数：4.00）_解析：详解 设 D1=(x，y)|xy，(x，y)D12.设正项级数 收敛，则级数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：绝对收敛）解析：分析 由已知 ln(1+an)0，即 a n0，由该正项级数收敛知*即 a n0(n)又*所以，级数*有相同
13、的敛散性，再由*由比较判别法即可得到结果。详解 因为正项级数*收敛，所以，a n0，且 an0(n)。又*于是正项级数*有相同的敛散性，即*收敛，且*也收敛。又*级数*收敛，所以，由比较判别法，级数*绝对收敛。评注 本题考查了级数收敛的必要条件及判别法，一般地，对于正项级数*若 un与 vn是同阶或等价无穷小(n)，则*有相同的敛散性。13.设实方阵 A=(aij)44满足 aij=Aij(Aij为 aij的代数余子式，i，j=1，2，3，4)，a 44=-1，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：(0，0，0，-1) T）解析：详解 由题设，A T=A*，于是|A|=|A T|=
14、|A*|=|A|4-1，|A|(1-|A| 2)=0，由此得 |A|=0 或1将|A|按第 4 行展开，并注意 a44=-1，得*于是|A|=1，且有 a4j=0(j=1，2，3)，同理有 a i4=0(i=1，2，3)。从而*的解为*14.设 4 重 Bernoulli 试验中，已知“成功”的概率为 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解 设 X 表示 4 重 Bernoulli 试验中“成功”的次数，则*于是，所求概率为*三、解答题(总题数：9，分数：94.00)对一切实数 t，f(t)连续，且 f(t)0，f(-t)=f(t)，对于函数 （分数：9.99）(1).证
15、明 F(x)单调增加；（分数：3.33）_正确答案：(因*则*令 t=-u，则*故*因此 F(x)单调增加。)解析：(2).当 x 为何值时，F(x)取得最小值；（分数：3.33）_正确答案：(令 F(x)=0，得 x=0(由于 f(x)0)，所以 x=0 是 F(x)的唯一驻点，又 F“(0)=2f(0)0，故x=0 时，*为最小值。)解析：(3).若 F(x)的最小值可表示为 f(a)-a2-1，求 f(t)。（分数：3.33）_正确答案：(令*两边对 a 求导，得 2af(a)=f(a)-2a，则令 a=0。可得 f(0)=1，这表明 f(t)是微分方程y-2ty=2t 的满足 y(0)
16、=1 的解，容易解出 y=f(t)=*。)解析：分析 F(x)的被积函数中含有绝对值，应分段积分，求出 F(x)的表达式后，可直接求导，确定相应的极值与最值。评注 本题涉及定积分、极值与微分方程等多个知识点。15.已知函数 z=z(x，y)满足设对函数 =(u，v)，求证 （分数：10.00）_正确答案：(由*解得*这样*便是 u，v 的复合函数，对 u 求偏导数得*利用*和 z(x，y)满足等式，有*)解析：分析 本题实质上是二元复合函数求偏导数的问题，反解出 x，y 作为 u，v 的函数即可。16.曲线 y=f(x)(x0，y0)连续且单调，从其上任一点 A 作 x 轴与 y 轴的垂线，垂
17、足分别是 B 和 C，若由直线 AC，y 轴和曲线本身包围的图形的面积等于矩形 OBAC 的面积的 （分数：10.00）_正确答案：(1) 如图 7 所示，当 f(x)单调增加时，在曲线上任取点 A(a，f(a)，由题意得*即*两边对 a 求导得3f(a)=2f(a)+2af(a)化简得*积分得*于是所求曲线方程为*(其中 c 为任意不为零常数).(2) 如图 8 所示，当 f(x)单调减少时，有*化简求导得*积分得*于是所求曲线方程为*(c 为任意不为零常数)。)解析：17.设 D 是由 x0，yx 与 x2+(y-b)2b 2，x 2+(y-a)2a 2(0ab)所围成的平面区域，计算 （
18、分数：10.00）_正确答案：(令 x=rcos，y=rsin，则*于是*)解析：18.设在区间n，(n+1)上由曲线 y=e-xsinx 与 x 轴所围成的平面图形的面积为 Sn(n=0，1，2，)，求级数 （分数：10.00）_正确答案：(当 n 为偶数时，y=e -xsinx0；当 n 为奇数时，y=e -xsinx0。所以*则*得*又*所以*)解析：分析 首先，对 n 取奇、偶数进行讨论，求面积 Sn，再构造幂级数求正项级数*的和。评注 本题综合了面积问题、定积分计算及无穷级数求和问题。设 ， 为三维单位列向量，并且 T=0，记 A= T+ T，证明：（分数：11.00）(1).齐次线
19、性方程组 Ax=0 有非零解；（分数：5.50）_正确答案：(因为 A 为 3 阶方阵，且 r( T)=1，r( T)=1，于是r(A)=r( T+ T)r( T)+r( T)=23故 Ax=0 有非零解)解析：(2).A 相似于矩阵 （分数：5.50）_正确答案：(由()知|A|=0，从而 A 有零特征值 1=0，Ax=0 的非零解 x0即为 1=0 对应的特征向量。又 A=( T+ T)=( T)+( T)=+0=，A=( T+ T)=( T)+( T)=0+=，且 0，0，故 2=1 为 A 的特征值， 为对应的特征向量另外，由 T=0 可知 ， 为两个正交的非零向量，从而线性无关所以，
20、x 0为 A 的 3 个线性无关的特征向量， 2=1 为 A 的2 重特征值， 1=0 为 A 的单重特征值，记 P=(，x 0)，则*即 A 相似于矩阵*)解析：19.已知 （分数：11.00）_正确答案：(因为*故 B 的特征值为 1=1， 2=2， 3=-1，从而 B 可以对角化为*分别求 1， 2， 3所对应的特征向量，得*令 P1=( 1， 2， 3)，有*由 AB 得 A，B 有相同特征值，tr(A)=tr(B)，故 a+3+(-6)=1+2+(-1)，即 a=5再由|E-A|=0，|2E-A|=0 得 b=-2，c=2，于是*分别求 A 的对应于特征值 1，2，-1 的特征向量得
21、*令 P2=( 1， 2， 3)，有*因此*则 P 可逆，且 P-1AP=B。)解析：设有一批产品成箱出售，每箱有产品 10 件，各箱含 1 件次品、2 件次品、3 件次品的概率分别为 60%，20%和20%；顾客购买时，由售货员随意选一箱，顾客开箱任取 4 件进行检验，若发现次品不多于 1 件，则确定购买此箱产品，否则不买。（分数：11.00）_解析：(2).若顾客共挑选 150 箱这样的产品，求确定购买产品箱数的数学期望与方差。（分数：5.50）_正确答案：(设 X 表示顾客挑选 150 箱后确定购买的箱数，则易知 X 服从二项分布*故*)解析：假设 X 是任意总体，=E(X)和 2=D(X)存在，X 1，X 2，X n是来自 X 的简单随机样本， （分数：11.00）(1).E(D)；（分数：5.50）_正确答案：(由于 X1，X 2，X n独立同分布，*而且*可得*)解析：(2).。 （分数：5.50）_正确答案：(*)解析：
