1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 255 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.若函数 f(x)在0，+)上连续，在(0，+)内可导，且 f(0)0，f(x)k0，则在(0，+)内 f(x)（分数：2.00）A.没有零点B.至少有一个零点C.只有一个零点D.有无零点不能确定3.设 y 1 (x)、y 2 (x)为二阶变系数齐次线性方程 y“+p(x)y+q(x)y=0 的两个特解，则 C 1 y 1 (x)+C 2 y 2 (x)(C 1 ，C 2 为任意常
2、数)是该方程通解的充分条件为（分数：2.00）A.y 1 (x)y 2 (x)y 2 (x)y 1 (x)=0B.y 1 (x)y 2 (x)y 2 (x)y 1 (x)0C.y 1 (x)y 2 (x)+y 2 (x)y 1 (x)=0D.y 1 (x)y 2 (x)+y 2 (x)y 1 (x)04.设 f(x，y)在(x 0 ，y 0 )邻域存在偏导数 （分数：2.00）A.f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处可微且 d B.f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处不可微C.f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )沿 D.二、填空题(总题数：6，分数：12.00)5.1+x 2 （分数
3、：2.00）填空项 1:_6.设 y=f( （分数：2.00）填空项 1:_7.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_8.(lnlnx+ （分数：2.00）填空项 1:_9. 0 + x 7 （分数：2.00）填空项 1:_10. （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：40.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_12.求 ddx 0 (x) (x)tf(t)dt，其中 f(t)为已知的连续函数，(x)为已知的可微函数（分数：2.00）_求下列旋转体的体积 V：（分数：4.00）(1).由曲线 y=x 2 ，x=y 2 所围图形绕 x 轴旋转所成旋
4、转体；（分数：2.00）_(2).由曲线 x=a(tsint)，y=a(1cost)(0t2)，y=0 所围图形绕 y 轴旋转的旋转体（分数：2.00）_13.设 f(x)在a，b连续，在(a，b)可导，f(a)=f(b)，且 f(x)不恒为常数，求证：在(a，b)内存在一点，使得 f()0（分数：2.00）_求下列微分方程的通解：（分数：8.00）(1).(x2)dy=y+2(x2) 3 dx；（分数：2.00）_(2).y 2 dx=(x+y 2 e (y1)y )dy；（分数：2.00）_(3).(3y7x)dx+(7y3x)dy=0；（分数：2.00）_(4). （分数：2.00）_1
5、4.5kg 肥皂溶于 300L 水中后，以每分钟 10L 的速度向内注入清水，同时向外抽出混合均匀之肥皂水，问何时余下的肥皂水中只有 1kg 肥皂（分数：2.00）_15.已知 ， 不共线，证明 +=0 的充要条件是 =（分数：2.00）_16.设 u=f(xz，yz)，求 du 及 （分数：2.00）_17.求椭球面 S：x 2 +y 2 +z 2 yz1=0 上具有下列性质的点(x，y，z)的轨迹：过(x，y，z)的切平面与 Oxy，平面垂直（分数：2.00）_求下列二重积分的累次积分（分数：4.00）(1).I= 0 1 dx （分数：2.00）_(2).I= 0 R dx （分数：2.
6、00）_18. （分数：2.00）_19.求 （分数：2.00）_判断下列曲线积分在指定区域 D 是否与路径无关，为什么?（分数：4.00）(1). L f(x 2 +y 2 )(xdx+ydy)，其中 f(u)为连续函数，D：全平面.（分数：2.00）_(2). L （分数：2.00）_20.设 (x)在(0，+)有连续导数，()=1试确定 (x)，使积分 （分数：2.00）_21.设 f(x)是区间，上的偶函数，且满足 f( （分数：2.00）_考研数学一（高等数学）模拟试卷 255 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每
7、题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.若函数 f(x)在0，+)上连续，在(0，+)内可导，且 f(0)0，f(x)k0，则在(0，+)内 f(x)（分数：2.00）A.没有零点B.至少有一个零点C.只有一个零点 D.有无零点不能确定解析：解析：讨论函数的零点，一般要用连续函数在闭区间上的介值定理根据拉格朗日中值定理，f(x)=f(0)+f()x(0x)，得 f(x)f(0)+kx显然当 x 足够大时 f(x)0(事实上只需 xf(0)k)，又 f(0)0，这就表明在(0，x)内存在 f(x)的零点，又 f(x)0，即有 f(x)单调增加，从而零点唯一，故
8、选(C)3.设 y 1 (x)、y 2 (x)为二阶变系数齐次线性方程 y“+p(x)y+q(x)y=0 的两个特解，则 C 1 y 1 (x)+C 2 y 2 (x)(C 1 ，C 2 为任意常数)是该方程通解的充分条件为（分数：2.00）A.y 1 (x)y 2 (x)y 2 (x)y 1 (x)=0B.y 1 (x)y 2 (x)y 2 (x)y 1 (x)0 C.y 1 (x)y 2 (x)+y 2 (x)y 1 (x)=0D.y 1 (x)y 2 (x)+y 2 (x)y 1 (x)0解析：解析：根据题目的要求 y 1 (x)与 y 2 (x)应该线性无关，即 y 1 (x)y 2
9、(x)(常数)反之，若这个比值为常数，即 y 1 (x)=y 2 (x)，那么 y 1 (x)=y 2 (x)，利用线性代数的知识，就有 y 1 (x)y 2 (x)y 2 (x)，y 1 (x)=0所以，(B)成立时，y 1 (x)，y 2 (x)一定线性无关，应选(B)4.设 f(x，y)在(x 0 ，y 0 )邻域存在偏导数 （分数：2.00）A.f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处可微且 d B.f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处不可微C.f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )沿 D. 解析：解析：当 f(x，y)在(x 0 ，y 0 )邻域偏导数，而 在(x 0 ，y 0
10、)不连续时，不能确定f(x，y)在(x 0 ，y 0 )是否可微，也不能确定它在(x 0 ，y 0 )是否存在方向导数故(A)，(B)，(C)不正确，只有(D)正确 或直接考察曲线 它在点(x 0 ，y 0 ，f(x 0 ，y 0 )处的切向量是 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)5.1+x 2 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：由于 因此当 x0 时 1+x 2 6.设 y=f( （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：34）解析：解析：y=f(u)，u= u| x=0 =1 7.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案
11、：正确答案：y=3x7）解析：解析：t=2 时(x，y)=(5，8)，8.(lnlnx+ （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：xlnlnx+C）解析：解析：原式=(lnlnx+x9. 0 + x 7 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：令 x 2 =t，财原式=12 0 + t 3 e t dt令 t 3 e t dt=e t (at 3 +bt 2 +dt+e)+C， 两边求导得 t 3 e t =e t at 3 +(3ab)t 2 +(2bd)t+de， 比较两边 t 的同次幂项的系数得 a=1，b=3，d=6，e=6 于是原式=1
12、2 10. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：考察部分和三、解答题(总题数：15，分数：40.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：12.求 ddx 0 (x) (x)tf(t)dt，其中 f(t)为已知的连续函数，(x)为已知的可微函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：ddx 0 (x) (x)tf(t)dt=ddx(x) 0 (x) f(t)dt )解析：求下列旋转体的体积 V：（分数：4.00）(1).由曲线 y=x 2 ，x=y 2 所围图形绕 x 轴旋转所成旋转体；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图
13、 32，交点(0，0)，(1，1)，则所求体积为 V= 0 1 ( ) 2 (x 2 ) 2 dx= 0 1 (xx 4 )dx )解析：(2).由曲线 x=a(tsint)，y=a(1cost)(0t2)，y=0 所围图形绕 y 轴旋转的旋转体（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 33，所求体积为 V=2 0 2a yxdx=2 0 2 a(1cost)a(tsint)a(1cost)dt =2a 3 0 2 (1cost) 2 (tsint)dt =2a 3 0 2 (1cost) 2 tdt2a 3 (1cost) 2 sintdt =2a 3 0 2 (1cost) 2 td
14、t 2a 3 1cos(u+) 2 (u+)du =2a 3 (1+cos) 2 udu+2 2 a 3 (1+cosu) 2 du =4 2 a 3 0 2 (1+cosu) 2 du=4 2 a 3 0 2 (1+2cosu+cos 2 u)du =4 2 a 3 (+ )解析：13.设 f(x)在a，b连续，在(a，b)可导，f(a)=f(b)，且 f(x)不恒为常数，求证：在(a，b)内存在一点，使得 f()0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若不然 x(a，b)，f(x)0 f(x)在a，b单调不增 xa，b，f(a)f(x)f(b) )解析：求下列微分方程的通解：（分数：8
15、.00）(1).(x2)dy=y+2(x2) 3 dx；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原方程改写成 =2(x2) 2 (一阶线性方程) 积分得 =(x2) 2 +C )解析：(2).y 2 dx=(x+y 2 e (y1)y )dy；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原方程改写成 (以 y 为自变量，是一阶线性的) 通解 x= )解析：(3).(3y7x)dx+(7y3x)dy=0；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原方程改写成 积分得17(ln|1u| 2 +ln|1+u| 5 )=ln|x|+C 1 ， )解析：(4). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案
16、：这是伯努利方程将原方程改写成 故通解为 )解析：14.5kg 肥皂溶于 300L 水中后，以每分钟 10L 的速度向内注入清水，同时向外抽出混合均匀之肥皂水，问何时余下的肥皂水中只有 1kg 肥皂（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 t 时刻水中含的肥皂量为 Q(t)kg，任取t，t+dt，这段时间内肥皂含量的减少量=抽出水的肥皂含量，即 解此初值问题得 )解析：15.已知 ， 不共线，证明 +=0 的充要条件是 =（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设+=0 +=0 =0 =同理，由 +=0+=0 = 设 =，则 (+)=+=0， (+)=+=0， (+)=+=0， 均与 +
17、，共线 )解析：16.设 u=f(xz，yz)，求 du 及 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：u 是 u=f(s，t)与 s=xz，t=yz 复合而成的 x，y，z 的三元函数 先求du由一阶全微分形式不变性及全微分四则运算法则，得 du=f 1 d(xz)+f 2 d(yz) )解析：17.求椭球面 S：x 2 +y 2 +z 2 yz1=0 上具有下列性质的点(x，y，z)的轨迹：过(x，y，z)的切平面与 Oxy，平面垂直（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：椭球面 S 上 点(x，y，z)处的法向量 n=2x，2yz，2zy 点(x，y，z)处切平面Oxy 平面，则 nk
18、=0，即 2zy=0 又(x，y，z)在 S 上 x 2 +y 2 +z 2 yz1=0 因此所求点的轨迹： 它是圆柱面 x 2 + )解析：求下列二重积分的累次积分（分数：4.00）(1).I= 0 1 dx （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 915 所示 = 0 1 sinyy(yy 2 )dy= 0 1 sinydy+ 0 1 ydcosy =cosy| 0 1 +cos1 0 1 cosydy=1siny| 0 1 =1sin1 )解析：(2).I= 0 R dx （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 916 所示 =4R 2 ln(1+R 2 )R 2 +ln
19、(1+R 2 ) =4(1+R 2 )ln(1+R 2 )R 2 )解析：18. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： ：1z1+ ，(x，y)D xy 如图 921(a) 它是由半球面：(z1) 2 =1x 2 y 2 (z1)与平面 z=1 所围成的 y0 部分 作球坐标变换z=1 对应=1cos，半球面对应 =2cos 的球坐标表示(如图 921(b) )解析：19.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 L 表成参数方程的形式，即 x=Rcos，y=Rsin(02)，于是 注意到右端积分存在且为一常数，所以 )解析：判断下列曲线积分在指定区域 D 是否与路径无关，为什么
20、?（分数：4.00）(1). L f(x 2 +y 2 )(xdx+ydy)，其中 f(u)为连续函数，D：全平面.（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x 2 +y 2 )(xdx+ydy)=f(x 2 +y 2 )d12(x 2 +y 2 ) =d12( 0 u f(t)dt )解析：(2). L （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 109，L= L Pdx+Qdy，则 ，(x，y)D D 为单连通区域，因此积分在 D 与路径无关 )解析：20.设 (x)在(0，+)有连续导数，()=1试确定 (x)，使积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 I= Pdx+Qdy，在单连通区域 D：x0 上该积分与路径无关 两边乘 (x) x(x)=cosx+C 由 ()=1 得 C=1，因此 (x)= 下求积分值 I注意 =(x)，代入得 )解析：21.设 f(x)是区间，上的偶函数，且满足 f( （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 f(x)为偶函数，所以 a 2n =2 0 f(x)cos(2nx)dx=2 0 2 f(x)cos(2nx)dx+ 2 f(x)cos(2nx)dx 对于右端前一个积分，令 x= t，后一个积分，令 x= +t，则 根据假设 f( )解析：
