1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 251 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(t)= 0 1 ln （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在但不连续C.连续但不可导D.可导3.设 f(x)在 x=a 处连续，且 （分数：2.00）A.不可导B.可导且 f(a)0C.有极大值D.有极小值4.设 z=f(x，y)= （分数：2.00）A.偏导数存在且连续B.偏导数不存在，但连续C.偏导数存在，可微D.偏导数存在，但不可微5.已知 a n 0(n=
2、1，2，)，且 (1) n1 a n 条件收敛，记 b n =2a 2n1 a 2n ，则级数 （分数：2.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛或发散取决于 a n 的具体形式二、填空题(总题数：7，分数：14.00)6. （分数：2.00）填空项 1:_7.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_8.设 y=ln(1+x 2 )，则 y (n) (0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_9.设 f(x)在a，b上连续可导，f(a)=f(b)=0，且 a b f 2 (x)dx=1，则 a b xf(x)f(x)dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_10. 0 + （分
3、数：2.00）填空项 1:_11.曲线 y 2 =2x 在任意点处的曲率为 1.（分数：2.00）填空项 1:_12.设为平面 y+z=5 被柱面 x 2 +y 2 =25 所截得的部分，则曲面积分 I= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：36.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_计算下列各题：（分数：4.00）(1).设 （分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_14.求无穷积分 J= 1 + ln(1+ （分数：2.00）_15.证明：arctanx=arcsin （分数：2.00）_16.求证：e x +e x +2cosx=
4、5 恰有两个根（分数：2.00）_17.设 f(x)在(a，+)内可导，求证： ()若 x 0 (a，+)，f(x)0(xx 0 )，则 f(x)=+； ()若 f(x)=A0，则 （分数：2.00）_18.设 f(x)在a，b二阶可导，f(x)0，f“(x)0(x(a，b)，求证： （分数：2.00）_19.设 f(x)为连续正值函数，x0，+)，若平面区域 R t =(x，y)|0xt，0yf(x)(t0)的形心纵坐标等于曲线 y=f(x)在0，t上对应的曲边梯形面积与 12 之和，求 f(x)（分数：2.00）_20.设物体 A 从点(0，1)出发，以速度大小为常数 v 沿 y 轴正方向
5、运动，物体 B 从点(1，0)与 A 同时出发，其速度大小为 2v，方向始终指向 A，任意时刻 B 点的坐标(x，y)，试建立物体 B 的运动轨迹(y 作为x 的函数)所满足的微分方程，并写出初始条件（分数：2.00）_21.设 u=yf(xy)+xg(yx)，求 x （分数：2.00）_22.设 f(x，y)在点(a，b)的某邻域具有二阶连续偏导数，且 f y (a，b)0，证明由方程 f(x，y)=0 在x=a 的某邻域所确定的隐函数 y=(x)在 x=a 处取得极值 b=(a)的必要条件是： f(a，b)=0，f x (a，b)=0， 且当 r(a，b)0 时，b=(a)是极大值；当 r
6、(a，b)0 时，b=(a)是极小值其中 （分数：2.00）_求下列二重积分（分数：4.00）(1).计算 I= （分数：2.00）_(2).计算 I= （分数：2.00）_23.设 P(x，y，z)，Q(x，y，z)，R(x，y，z)在区域 连续，：x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)是 中一条光滑曲线，起点 A，终点 B 分别对应参数 t A 与 t B ，又设在 上存在函数 u(x，y，z)，使得 du=Pdx+Qdy+Rdz(称为 Pdx+Qdy+Rdz 在 的原函数) 求证：I= Pdx+Wdy+Rdz=u| A B .（分数：2.00）_将下列函数在指定点展开成幂级数：（分数：
7、6.00）(1).f(x)=arcsinx，在 x=0 处；（分数：2.00）_(2).f(x)=lnx，在 x=1 及 x=2 处；（分数：2.00）_(3).f(x)= （分数：2.00）_24.设 a n 0，b n 0，(n=1，2，)，且满足 试证： ()若级数 a n 收敛； ()若级数 （分数：2.00）_考研数学一（高等数学）模拟试卷 251 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(t)= 0 1 ln （分数：2.00）A.极
8、限不存在B.极限存在但不连续C.连续但不可导 D.可导解析：解析：f(0)= 0 1 lnxdx=(xlnxx)| 0+ 1 =1 当 t0 时，f(t) 因 f(t)=1=f(0)，故函数 f(t)在 t=0 处连续 3.设 f(x)在 x=a 处连续，且 （分数：2.00）A.不可导B.可导且 f(a)0C.有极大值D.有极小值 解析：解析：由 f(x)在 x=a 连续 =f(a)又 根据极限的保号性 0，当0|xa| 时4.设 z=f(x，y)= （分数：2.00）A.偏导数存在且连续B.偏导数不存在，但连续C.偏导数存在，可微 D.偏导数存在，但不可微解析：解析：由偏导数定义可知 这说
9、明 f x (0，0)存在且为 0，同理 f y (0，0)存在且为 0 5.已知 a n 0(n=1，2，)，且 (1) n1 a n 条件收敛，记 b n =2a 2n1 a 2n ，则级数 （分数：2.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散 D.收敛或发散取决于 a n 的具体形式解析：解析：由已知条件 (1) n1 a n =a 1 a 2 +a 3 a 4 +a 2n1 a 2n + = (a 2n1 a 2n ) (收敛级数的结合律) (*) a 2n1 +(a 2n1 a 2n )， 而 a 2n1 发散， (a 2n1 a 2n )收敛，故由级数性质知 二、填空题(总题数：7，
10、分数：14.00)6. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：7.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：f(x)是 2014 个因式的乘积，如果直接使用导数定义求导或者先求导再代值，都比较麻烦其实，当把 x=1 代入每个因式后，只有第一项 tan 1=0，而其余所有项都不等于 0记 g(x)=(2013)!，于是8.设 y=ln(1+x 2 )，则 y (n) (0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：y 为偶函数 y (5) (x)为奇函数 9.设 f(x)在a，b上
11、连续可导，f(a)=f(b)=0，且 a b f 2 (x)dx=1，则 a b xf(x)f(x)dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：05）解析：解析：因f 2 (x)2=f(x)f(x)，所以 a b xf(x)f(x)dx= a b xdf 2 (x)2xf 2 (x)2| a b 10. 0 + （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：11.曲线 y 2 =2x 在任意点处的曲率为 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：用曲率计算公式 由 y 2 =2x 2yy=2，y=1y，y“=1y
12、 2 y=1y 3 . 12.设为平面 y+z=5 被柱面 x 2 +y 2 =25 所截得的部分，则曲面积分 I= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：125*）解析：解析：用的方程简化被积表达式得 其中 xdS=0，因为关于 yz 平面对称，被积函数x 对 x 为奇函数 的一个单位法向量 n=(cos，cos，cos) 因此 I=5的面积=125三、解答题(总题数：15，分数：36.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：计算下列各题：（分数：4.00）(1).设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2). （分数：2.00）
13、_正确答案：(正确答案： )解析：14.求无穷积分 J= 1 + ln(1+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：J= 1 + ln(1+x)lnx dx，而 )解析：15.证明：arctanx=arcsin （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=arctanxarcsin ，则 f(x)为常数又 f(0)=0 f(x)0，x(，+) )解析：16.求证：e x +e x +2cosx=5 恰有两个根（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：即证 f(x)=e x +e x +2cosx5 在(，+)恰有两个零点由于 f(x)=e x e x 2sinx， f“(x)=
14、e x +e x 2cosx22cosx0 (x0)， f(x)在(，+) f(x)在(，0单调下降，在0，+)单调上升 又 f(0)=10， )解析：17.设 f(x)在(a，+)内可导，求证： ()若 x 0 (a，+)，f(x)0(xx 0 )，则 f(x)=+； ()若 f(x)=A0，则 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() xx 0 ，由拉格朗日中值定理， (x 0 ，x)， f(x)=f(x 0 )+f()(xx 0 )f(x 0 )+(xx 0 )， 又因 ()因 f(x)=AA20，由极限的不等式性质 x 0 (a，+)，当 xx 0 时 f(x)A20，由题()得
15、 )解析：18.设 f(x)在a，b二阶可导，f(x)0，f“(x)0(x(a，b)，求证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：联系 f(x)与 f“(x)的是泰勒公式 x 0 a，b，f(x 0 )= f(x)将f(x 0 )在 xa，b展开，有 f(x 0 )=f(x)+f(x)(x 0 x)+ f“()(x 0 x) 2 ( 在 x 0 与 x 之间)f(x)+f(x)(x 0 x)/( a，b，xx 0 ) 两边在a，b上积分得 a b f(x 0 )dx a b f(x)dx+ a b f(x)(x 0 x)dx= a b f(x)dx+ a b (x 0 x)df(x) =
16、 a b f(x)dx(bx 0 )f(b)(x 0 a)f(a)+ a b f(x)dx 2 a b f(x)dx 因此 f(x 0 )(ba)2 a b f(x)dx，即 )解析：19.设 f(x)为连续正值函数，x0，+)，若平面区域 R t =(x，y)|0xt，0yf(x)(t0)的形心纵坐标等于曲线 y=f(x)在0，t上对应的曲边梯形面积与 12 之和，求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()列方程按平面图形的形心公式，形心的纵坐标为 而相应的曲边梯形的面积 0 t f(x)dx见图 62按题意 即 0 t f 2 (x)dx=2 0 t f(x)dx 2 +
17、0 t f(x)dx (x0) ()转化将方程两边求导，则 方程 f 2 (t)=4f(t) 0 t f(x)dx+f(t) f(t)=4 0 t f(x)dx+1 (中令 x=0，等式自然成立，不必另加条件) f(x)实质上是可导的，再将方程两边求导，并在中令 t=0 得 ()求解等价的微分方程的初值问题这是一阶线性齐次方程的初值问题，两边乘 (t)=e 4dt )解析：20.设物体 A 从点(0，1)出发，以速度大小为常数 v 沿 y 轴正方向运动，物体 B 从点(1，0)与 A 同时出发，其速度大小为 2v，方向始终指向 A，任意时刻 B 点的坐标(x，y)，试建立物体 B 的运动轨迹(
18、y 作为x 的函数)所满足的微分方程，并写出初始条件（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：规定 A 出发的时刻 t=0 列方程t 时刻 A 位于(0，1+vt)t 时刻 B 位于点(x(t)，y(t)，B 点的速度 =(x，1+vty)同向(见图 63) 进一步消去 t，可得 y 作为 x 的函数满足的微分方程将式两边对 x 求导得 将它代入得 y=y(x)满足的微分方程为 初始条件 y| x=1 =0，dydx| x=1 =1(x=1 时 )解析：21.设 u=yf(xy)+xg(yx)，求 x （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.设 f(x，y)在点(a，b)的某
19、邻域具有二阶连续偏导数，且 f y (a，b)0，证明由方程 f(x，y)=0 在x=a 的某邻域所确定的隐函数 y=(x)在 x=a 处取得极值 b=(a)的必要条件是： f(a，b)=0，f x (a，b)=0， 且当 r(a，b)0 时，b=(a)是极大值；当 r(a，b)0 时，b=(a)是极小值其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：y=(x)在 x=a 处取得极值的必要条件是 (a)=0按隐函数求导法，(x)满足 f x (x，(x)+f y (x，(x)(x)=0 (*) 因 b=(a)，则有 f(a，b)=0，(a)=f x (a，b)f y (a，b)=0， 于是 f
20、 x (a，b)=0 将(*)式两边对 x 求导得 f“ xx (x，(x)+f“ xy (x，(x)(x)+ )解析：求下列二重积分（分数：4.00）(1).计算 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：y=lnx 与 y=(e+1)x 的交点是(e，1)，D 如图 95 所示，在 Oxy 坐标系中选择先x 后 y 的积分顺序(D 不必分块)得 )解析：(2).计算 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D 如图 96 所示，D 关于 y 轴对称，被积函数对 x 为偶函数 其中 D 1 =Dx0选择先 x 后 y 的积分顺序 )解析：23.设 P(x，y，z)，Q(x，y，
21、z)，R(x，y，z)在区域 连续，：x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)是 中一条光滑曲线，起点 A，终点 B 分别对应参数 t A 与 t B ，又设在 上存在函数 u(x，y，z)，使得 du=Pdx+Qdy+Rdz(称为 Pdx+Qdy+Rdz 在 的原函数) 求证：I= Pdx+Wdy+Rdz=u| A B .（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 du=Pdx+Qdy+Rdz 由曲线积分化定积分公式 再由复合函数求导公式得)解析：将下列函数在指定点展开成幂级数：（分数：6.00）(1).f(x)=arcsinx，在 x=0 处；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f
22、(x)= 又 (1+t) 12 令 t=x 2 f(x)=(1x 2 ) 12 f(x)=f(0)+ 0 x f(t)dt )解析：(2).f(x)=lnx，在 x=1 及 x=2 处；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(t)=ln(1+t)= t n (1t1)， f(x)=ln(1+x1)= (x1) n (0x2)， f(x)=ln(2+x2)=ln2+ln(1+ ) )解析：(3).f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.设 a n 0，b n 0，(n=1，2，)，且满足 试证： ()若级数 a n 收敛； ()若级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 b n+1 这样， 根据比较判别法即知：当 )解析：
