1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 248 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)= （分数：2.00）A.0B.1C.2D.33.设 f(x)= （分数：2.00）A.a=0，b=0B.a=1，b=1C.a 为D.a 为4.积分 a a+2 cosxln(2+cosx)dx 的值（分数：2.00）A.与 a 有关B.是与 a 无关的负数C.是与 a 无关的正数D.为零5.若级数 （分数：2.00）A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.敛散性不能确
2、定二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_7. 0 2 sin n xcos m xdx(自然数 n 或 m 为奇数)= 1（分数：2.00）填空项 1:_8.已知(x1)y“xy+y=0 的一个解是 y 1 =x，又知 （分数：2.00）填空项 1:_9.过曲面 z=4x 2 y 2 上点 P 处的切平面于 2x+2y+z1=0，则 P 点的坐标为 1.（分数：2.00）填空项 1:_10.设 I 1 = （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：40.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设
3、 x n+1 =ln(1+x n )，x 1 0，（分数：4.00）(1).求 （分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_12. （分数：2.00）_13.设 f(x)为非负连续函数，且满足 f(x) 0 x f(xt)dt=sin 4 x，求 f(x)在0，2上的平均值（分数：2.00）_14.设 f(x)在0，1连续，且对任意 x，y0，1均有|f(x)f(y)|M|xy|，M 为正的常数，求证：| 0 1 f(x)dx （分数：2.00）_15.求函数 y= （分数：2.00）_16.设 ba0，f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，f(a)f(b)，求证：存在 ，(a，b
4、)使得f()= （分数：2.00）_17.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，证明： (a，b)使得 f(b)2f( （分数：2.00）_18.设 p(x)在(a，b)连续，p(x)dx 表示 p(x)的某个原函数，C 为任意常数，证明：y=Ce p(x)dx 是方程 y+p(x)y=0 的所有解（分数：2.00）_直线 L 1 ：x1= （分数：4.00）(1).若 L 1 L 2 ，求 ；（分数：2.00）_(2).若 L 1 与 L 2 相交，求 （分数：2.00）_19.求曲线 （分数：2.00）_20.求 z=2x+y 在区域 D：x 2 + （分数：2.00）_求下
5、列二重积分（分数：6.00）(1).计算 I= （分数：2.00）_(2).计算 I= （分数：2.00）_(3).设 a0 为常数，求积分 I= （分数：2.00）_21.设曲面 S 是上半球面 x 2 +y 2 +z 2 =a 2 (z0，a0)被柱面 x 2 +y 2 =ax 所割下部分，求 S 的面积（分数：2.00）_求下列空间中的曲线积分（分数：4.00）(1).I= L yzdx+3zxdyxydx，其中 L 是曲线 （分数：2.00）_(2).I= (x 2 yz)dx+(y 2 xz)dy+(z 2 xy)dz，其中 f 是沿螺旋线x=acos，y=asin，z=h2从 A(
6、a，0，0)到 B(a，0，h)的有向曲线（分数：2.00）_22.已知 a n x n 的收敛半径 R=R 0 0，求证：级数 （分数：2.00）_考研数学一（高等数学）模拟试卷 248 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)= （分数：2.00）A.0B.1C.2D.3 解析：解析：f(x)= ，x=0，1 是 f(x)的间断点，按题意，要逐一判断这些间断点的类型计算可得 由于 f(0+0)与 f(00)存在但不相等，故 x=0 是
7、f(x)的跳跃间断点 x=1 是 f(x)的可去间断点，3.设 f(x)= （分数：2.00）A.a=0，b=0 B.a=1，b=1C.a 为D.a 为解析：解析：首先，f(x)在 x=0 连续 f(x)=f(0)，即 b=0 然后，f(x)在 x=0 可导 f + (0)=f (0) 4.积分 a a+2 cosxln(2+cosx)dx 的值（分数：2.00）A.与 a 有关B.是与 a 无关的负数C.是与 a 无关的正数 D.为零解析：解析：由于被积函数 ln(2+cosx)cosx 是以 2 为周期的偶函数，因此 原式= 0 2 ln(2+cosx)cosxdx= ln(2+cosx)
8、cosxdx =2 0 ln(2+cosx)cosxdx=2 0 ln(2+cosx)d(sinx) =2sinxln(2+cosx)| 0 0 sinxdln(2+cosx)=2 0 5.若级数 （分数：2.00）A.条件收敛B.绝对收敛 C.发散D.敛散性不能确定解析：解析： a n t n ，t=x1，在 t=2 处收敛 R2，x=2 时 t=1(R，R) a n t n 在 t=1 即 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(，1)(1，+)）解析：解析：初等函数(单一表达式)没有定义的点(附近有定义)是
9、间断点；对分段函数的分界点，要用连续的定义予以讨论对非分界点，就不同段而言，在各自的区间内可以按初等函数看待 注意到 x=0 为分界点因为 又 f(0)=3，因此7. 0 2 sin n xcos m xdx(自然数 n 或 m 为奇数)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：由周期函数的积分性质得 I n，m = 8.已知(x1)y“xy+y=0 的一个解是 y 1 =x，又知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：C 1 x+C 2 e x x 2 1，其中 C 1 ，C 2 为任意常数）解析：解析：由非齐次方程(x1)y“xy+y=
10、(x1) 2 的两个特解 与 y * 可得它的相应齐次方程的另一特解 9.过曲面 z=4x 2 y 2 上点 P 处的切平面于 2x+2y+z1=0，则 P 点的坐标为 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(1，1，2)）解析：解析：P(x，y，z)处一个法向量 n=2x，2y，1，平面 2x+2y+z1=0 的法向量 n 0 =2，2，1，由 n=n 0 x=，y=，=1 10.设 I 1 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：I 3 ；I 1 ；I 2）解析：解析：比较 I 1 与 I 2 ，被积函数是相同的连续非负函数，积分区域圆域(x 2
11、+y 2 1)包含在正方形区域(|x|1，|y|1)中 I 1 I 2 比较 I 1 与 I 3 ，积分区域相同，被积函数均是连续的，比较它们知 x 4 +y 4 2x 2 y 2 三、解答题(总题数：16，分数：40.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：设 x n+1 =ln(1+x n )，x 1 0，（分数：4.00）(1).求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：注意：xln(1+x) (x0)，于是 x n+1 x n =ln(1+x n )x n 0 (n=1，2，3，) 极限 )解析：(2). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析
12、：12. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用定积分的分段积分法与推广的牛顿莱布尼兹公式得 )解析：13.设 f(x)为非负连续函数，且满足 f(x) 0 x f(xt)dt=sin 4 x，求 f(x)在0，2上的平均值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 xt=u，则 0 x f(xt)dt= 0 x f(u)du于是 f(x) 0 x f(u)du=sin 4 x，d 0 x f(u)du 2 =2sin 4 xdx 两边积分( 0 2 )得 0 2 f(u)du 2 =2 0 2 sin 4 xdx 故 f(x)在0，2上的平均值为 )解析：14.设 f(x)在0，1
13、连续，且对任意 x，y0，1均有|f(x)f(y)|M|xy|，M 为正的常数，求证：| 0 1 f(x)dx （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 0 1 f(x)dx 与 1n f(kn)分别表示成 0 1 f(x)dx 代入不等式左端，然后利用定积分性质与已知条件得 )解析：15.求函数 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：定义域：x1 单调增区间(0，1)；单调减区间(，0)(1，+)；极小值点 x=0 )解析：16.设 ba0，f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，f(a)f(b)，求证：存在 ，(a，b)使得f()= （分数：2.00）_正确答案：(正确答
14、案：因为 f(x)在a，b上满足拉格朗日中值定理条件，故至少存在 (a，b)，使 令 g(x)=x 2 ，由柯西中值定理知，(a，b)，使 将式入式，即得 )解析：17.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，证明： (a，b)使得 f(b)2f( （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在 x= 处展开成 由导函数的中间值定理 在 1 ， 2 之间(a，b)，使得 )解析：18.设 p(x)在(a，b)连续，p(x)dx 表示 p(x)的某个原函数，C 为任意常数，证明：y=Ce p(x)dx 是方程 y+p(x)y=0 的所有解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为对
15、任意常数 C，y=Ce p(x)dx 是原方程的解，又设 y 是原方程的任意一个解，则 ye p(x)dx =e p(x)dx y+p(x)y=0， 即存在常数 C，使得 ye p(x)dx =C，即 y=Ce p(x)dx )解析：直线 L 1 ：x1= （分数：4.00）(1).若 L 1 L 2 ，求 ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1，2，1，1，1=0 1+2+=0= )解析：(2).若 L 1 与 L 2 相交，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：L 1 通过点(1，1，1)，以(1，2，)为方向向量，L 2 通过点(1，1，0)，以(1，1，1)为方向向量，
16、 则 L 1 与 L 2 共面 )解析：19.求曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.求 z=2x+y 在区域 D：x 2 + （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x，y，)=2x+y+(x 2 + 1)，解方程组 由，得 y=2x，代入得 x= 因为 z 在 D 存在最大、最小值 z 在 D 的最大值为 2 ，最小值为2 )解析：求下列二重积分（分数：6.00）(1).计算 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D 关于 x，y 轴均对称，它在第一象限部分记为 D 1 ，如图 98 =8 0 1 x 2 dx 0 1x x 2 dy =8 0
17、 2 x 2 (1x)dx )解析：(2).计算 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：极坐标变换 x=rcos，y=rsinD：02，0r 于是 )解析：(3).设 a0 为常数，求积分 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D 是圆域(如图 910)：(x ) 2 +y 2 (a2) 2 作极坐标变换x=rcos，y=rsin，并由 D 关于 x 轴对称，x 轴上方部分为 D 1 ：02，0racos 于是 I=2 xy 2 dxdy=2 0 2 d 0 acos rcosr 2 sin 2 rdr =2 0 2 sin 2 cosd 0 acos r 4 dr =25
18、 0 2 sin 2 cosa 5 cos 5 d =25a 5 0 2 (1cos 2 )cos 6 d )解析：21.设曲面 S 是上半球面 x 2 +y 2 +z 2 =a 2 (z0，a0)被柱面 x 2 +y 2 =ax 所割下部分，求 S 的面积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：S：z= ，(x，y)D xy ：(x ) 2 +y 2 (a2) 2 ，如图 931 )解析：求下列空间中的曲线积分（分数：4.00）(1).I= L yzdx+3zxdyxydx，其中 L 是曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：写出 L 的参数方程后代人公式直接计算L 为 )解析：(
19、2).I= (x 2 yz)dx+(y 2 xz)dy+(z 2 xy)dz，其中 f 是沿螺旋线x=acos，y=asin，z=h2从 A(a，0，0)到 B(a，0，h)的有向曲线（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：易求得 (x 2 yx)dx+(y 2 xz)dy+(x 2 xy)dz =d( )解析：22.已知 a n x n 的收敛半径 R=R 0 0，求证：级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：即证 ，幂级数 a n n!x n 均收敛任取|x 0 |R 0 ，x 0 0，考察|a n n!x n |与|a n x 0 n |的关系并利用比较判别法 有界，即 1n!|xx 0 | n M(n=0，1，2，)，M0 为某常数，于是 |a n n!x n |M|a n x 0 n | 由幂级数在收敛区间内绝对收敛 |a n x 0 n |收敛 )解析：
