1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 246 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)，g(x)在 x=x 0 均不连续，则在 x=x 0 处（分数：2.00）A.f(x)+g(x)，f(x)g(x)均不连续B.f(x)+g(x)不连续，f(x)g(x)的连续性不确定C.f(x)+g(x)的连续性不确定，f(x)g(x)不连续D.f(x)+g(x)，f(x)g(x)的连续性均不确定3.设有多项式 P(x)=x 4 +a 3 x 3 +a 2 x 2 +
2、a 1 x+a 0 ，又设 x=x 0 是它的最大实根，则 P(x 0 )满足（分数：2.00）A.P(x 0 )0B.P(x 0 )0C.P(x 0 )0D.P(x 0 )04.下列函数中在1，2上定积分不存在的是 （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：5，分数：10.00)5. （分数：2.00）填空项 1:_6. 0 1 xarcsinxdx= 1（分数：2.00）填空项 1:_7.数列 1， （分数：2.00）填空项 1:_8.函数 z=1(x 2 +2y 2 )在点 M 0 ( （分数：2.00）填空项 1:_9.I= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题
3、数：17，分数：42.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_求下列极限：（分数：4.00）(1).(a，b，c 为正的常数) （分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_11. （分数：2.00）_12.过曲线 y=x 2 (x0)上某点 A 作一切线，使之与曲线及 x 轴围成图形面积为 112，求： ()切点 A的坐标； ()过切点 A 的切线方程； ()由上述图形绕 x 轴旋转的旋转体的体积（分数：2.00）_13.证明 0 （分数：2.00）_14.设 f(x)在0，1可导且 f(1)=2 0 12 （分数：2.00）_15.设 f(x)在0，b可导，f(x)
4、0( x(0，b)，t0，b，问 t 取何值时，图中阴影部分的面积最大?最小? （分数：2.00）_求下列函数的带皮亚诺余项至括号内所示阶数的麦克劳林公式：（分数：6.00）(1).f(x)=e x cosx (x 3 )；（分数：2.00）_(2).f(x)= （分数：2.00）_(3).f(x)= （分数：2.00）_确定下列无穷小量当 x0 时关于 x 的阶数：（分数：4.00）(1).f(x)=e x 1x （分数：2.00）_(2).f(x)=(1+ （分数：2.00）_16.设 f(x)，g(x)在 x=x 0 某邻域有二阶连续导数，曲线 y=f(x)和 y=g(x)有相同的凹凸性
5、求证：曲线y=f(x)和 y=g(c)在点(x 0 ，y 0 )处相交、相切且有相同曲率的充要条件是：f(x)g(x)=o(xx 0 ) 2 )(xx 0 )（分数：2.00）_17.已知 y 1 * =xe x +e 2x ，y 2 * =xe x +e x ，y 3 * =xe x +e 2x e x 是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程（分数：2.00）_18.求直线 L： （分数：2.00）_19.作自变量与因变量变换：u=x+y，v=xy，w=xyz，变换方程 （分数：2.00）_20.求曲面积分 I= （分数：2.00）_设有平面光滑曲线 l：x=x(t)
6、，y=y(t)，z=0，t，以及空间光滑曲线 L：x=x(t)，y=y(t)，z=f(x(t)，y(t)，t，t=，t= 分别是起点与终点的参数（分数：4.00）(1).试说明 l，L 及曲面 S：z=f(x，y)的关系；（分数：2.00）_(2).若 P，Q，R 连续，f(x，y)有连续的偏导数，求证： L P(x，y，z)dx+Q(x，y，z)dy+R(x，y，z)dz= l P(x，yf(x，y)+ R(x，y，f(x，y)+Q(x，y，f(x，y)+ （分数：2.00）_21.求向量的散度与旋度已知层=qr 3 r，其中 r=x，y，z，r=|r|，q 为常数，求 divE 与 rot
7、E（分数：2.00）_22.将函数 f(x)=sin(x+a)展开成 x 的幂级数，并求收敛域.（分数：2.00）_考研数学一（高等数学）模拟试卷 246 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)，g(x)在 x=x 0 均不连续，则在 x=x 0 处（分数：2.00）A.f(x)+g(x)，f(x)g(x)均不连续B.f(x)+g(x)不连续，f(x)g(x)的连续性不确定C.f(x)+g(x)的连续性不确定，f(x)g(x)不连续D.f(
8、x)+g(x)，f(x)g(x)的连续性均不确定 解析：解析：如：f(x)= 在 x=0 均不连续，但 f(x)+g(x)=1，f(x)g(x)=0 在 x=0 均连续又如：f(x)= 在 x=0 均不连续，而 f(x)+g(x)=3.设有多项式 P(x)=x 4 +a 3 x 3 +a 2 x 2 +a 1 x+a 0 ，又设 x=x 0 是它的最大实根，则 P(x 0 )满足（分数：2.00）A.P(x 0 )0B.P(x 0 )0C.P(x 0 )0D.P(x 0 )0 解析：解析：注意 P(x)在(，+)连续，又 P(x)=+ xx 0 时 P(x)0 4.下列函数中在1，2上定积分不
9、存在的是 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：显然，(A)，(B)，(C)中的 f(x)在1，2均有界，至多有一个或两个间断点，因而 f(x)在1，2均可积，即 1 2 f(x)dx选(D)二、填空题(总题数：5，分数：10.00)5. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：当 x0 时，(23) x 1，于是有 6. 0 1 xarcsinxdx= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析： 其中 0 1 7.数列 1， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3 13 ）解析：解析：考察函数 f(
10、x)=x 1x (x1)，求 f(x)在1，+)上的最大值由 8.函数 z=1(x 2 +2y 2 )在点 M 0 ( （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：M 0 在曲线 C 上，C 在 M 0 点的内法线方向 n=grad(x 2 +2y 2 1)=(2x，4y) 单位内法向以 n 0 =n|n|= 按方向导数计算公式 9.I= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：16）解析：解析：区域如图 92 所示，由对称性与奇偶性 其中 D 0 ：0y1x，0x1 三、解答题(总题数：17，分数：42.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过
11、程或演算步骤。_解析：求下列极限：（分数：4.00）(1).(a，b，c 为正的常数) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：属 1 型极限原极限=e A ，而 )解析：(2). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：被积函数中含有参数 x，把因子 提到积分号外后，易见所求极限为“”型未定式应当想到洛必达法则， )解析：11. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x=asint(|t|2)，则 )解析：12.过曲线 y=x 2 (x0)上某点 A 作一切线，使之与曲线及 x 轴围成图形面积为 112，求： ()切点 A的坐标； ()过切点 A 的切线方程； ()由上述图形绕
12、x 轴旋转的旋转体的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 39(I)设点 A(x 0 ，x 0 2 )，点 A 处的切线方程 y=x 0 2 +2x 0 (xx 0 )，即 y=2x 0 xx 0 2 令 y=0 截距 x=x 0 2按题意 解得 x 0 =1 A(1，1) (II)过 A 点的切线 y=2x1 ()旋转体体积 V= 0 1 (x 2 ) 2 dx )解析：13.证明 0 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：使用和差化积公式由于 sin2nx=sin2xsin2x+sin4xsin4x+sin(2n2)xsin(2n2)x+sin2nx =sin2x+2co
13、s3xsinx+2cos5xsinx+2cos(2n3)xsinx+2cos(2n1)xsinx， 所以 I=2 0 cosx+cos3x+cos5x+cos(2n1)xdx=0)解析：14.设 f(x)在0，1可导且 f(1)=2 0 12 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)= f(x)，则 F(x)在0，1可导，且 F(1)=e 1 f(1)=2e 1 0 12 f()=F()，0，12 因此，由罗尔定理， (0，) (0，1)，使得 )解析：15.设 f(x)在0，b可导，f(x)0( x(0，b)，t0，b，问 t 取何值时，图中阴影部分的面积最大?最小? （分数：
14、2.00）_正确答案：(正确答案：由于 S(t)= 0 t f(t)f(x)dx+ t b f(x)f(t)dx =tf(t) 0 t f(x)dx+ t b f(x)dx+(tb)f(t) 在0，b可导，且 S(t)=tf(t)+f(t)f(t)f(t)+f(t)+(tb)f(t) 则 S(t)在0，b2“”，在b2，b“ ”，因此 t=b2 时，S(t)取最小值 S(0)= 0 b f(x)dxbf(0)，S(b)=bf(b) 0 b f(x)dx， S(b)S(0) )解析：求下列函数的带皮亚诺余项至括号内所示阶数的麦克劳林公式：（分数：6.00）(1).f(x)=e x cosx (x
15、 3 )；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)=e x cosx f(x)=e x (cosxsinx)，f“(x)=2sinxe x ，f“(x)=2e x (sinx+cosx) f(0)=1，f(0)=1，f“(0)=0，f“(0)=2 因此 f(x)=f(0)+f(0)x+ f“(0)x 2 + f“(0)x 3 +o(x 3 ) =1+x )解析：(2).f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)=131x+x 2 x 3 (1+2x+(2x) 2 +(2x) 3 )+o(x 3 ) =13(3x3x 2 9x 3 )+o(x 3 )=xx 2 3x
16、 3 +o(x 3 )解析：(3).f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：确定下列无穷小量当 x0 时关于 x 的阶数：（分数：4.00）(1).f(x)=e x 1x （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用待定阶数法(洛必达法则)确定无穷小的阶。 确定 n 使得下面的极限而不为零：e x 1x )解析：(2).f(x)=(1+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用待定阶数法(洛必达法则)确定无穷小的阶 确定 n 使得下面的极限且不为零因此，cosx+ )解析：16.设 f(x)，g(x)在 x=x 0 某邻域有二阶连续导数，曲线 y=f(x)和 y=g
17、(x)有相同的凹凸性求证：曲线y=f(x)和 y=g(c)在点(x 0 ，y 0 )处相交、相切且有相同曲率的充要条件是：f(x)g(x)=o(xx 0 ) 2 )(xx 0 )（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：相交与相切即 f(x 0 )=g(x 0 )，f(x 0 )=g(x 0 )若又有曲率相同，即 亦即|f“(x 0 )|=|g“(x 0 )| 由二阶导数的连续性及相同的凹凸性得，或 f“(x 0 )=g“(x 0 )=0或 f“(x 0 )与 g“(x 0 )同号，于是 f“(x 0 )=g“(x 0 )因此，在所设条件下，曲线 y=f(x)，y=g(x)在(x 0 ，y 0
18、 )处相交、相切且有相同曲率 (x 0 )g(x 0 )=0，f(x 0 )g(x 0 )=0，f“(x 0 )g“(x 0 )=0 f(x)g(x)=f(x 0 )g(x 0 )+f(x)g(x) (xx 0 ) + f(x)g(x)“ )解析：17.已知 y 1 * =xe x +e 2x ，y 2 * =xe x +e x ，y 3 * =xe x +e 2x e x 是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：易求得该微分方程相应的齐次方程的两个特解 y 1 * y 3 * =e x ，y 2 * y 3 * =2e x e
19、2x 进一步又可得该齐次方程的两个特解是 y 1 =e x ，y 2 =2(y 1 * y 3 * )(y 2 * y 3 * )=e 2x ， 它们是线性无关的为简单起见，我们又可得该非齐次方程的另一个特解 y 4 * =y 1 * y 2 =xe x 因此该非齐次方程的通解是 y=C 1 e x +C 2 e 2x +xe x ，其中 C 1 ，C 2 为任意常数 由通解结构易知，该非齐次方程是：二阶线性常系数方程 y“+py+gy=f(x) 它的相应特征根是 1 =1， 2 =2，于是特征方程是 (+1)(2)=0，即 2 2=0 因此方程为y“y2y=f(x) 再将特解 y 4 * =
20、xe x 代入得 (x+2)e x (x+1)e x 2xe x =f(x)，即 f(x)=(12x)e x 因此方程为 y“y2y=(12x)e x )解析：18.求直线 L： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记所得旋转面为， 取点 M(x，y，z)，它是直线 L 上某点(x 0 ，y 0 ，z 0 )绕 z 轴旋转而得，于是 x 0 ，y 0 ，z 0 满足 x 0 =2，y 0 =23x 0 ，代入得 x 2 +y 2 =4+ z 2 反之，若(x，y，z)满足，则它必是 L 上的点(2，23z，z)绕 z 轴旋转而得因此，的方程是 x 2 +y 2 =4+ )解析：19.作自
21、变量与因变量变换：u=x+y，v=xy，w=xyz，变换方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 z=xyw，则 )解析：20.求曲面积分 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 平面 S 的单位法向量 n=(cos，cos，cos)= (1，1，1)，由第一、二类曲面积分的关系，可得 下面求 I 2 投影到 xy 平面上化为二重积分S 的投影区域为 D xy ，如图 926，则有 I 2 = cosy(z x )+cos(x+y)(z y )+cosxdxdy 其中由 z=(x+y)得 z x =1，z y =1由于 D xy 关于 y=x 对称，则有 于是 cosxd
22、xdy= 0 dy 0 y cosxdx= 0 sinx| 0 y dy= 0 sinydy=2， )解析：设有平面光滑曲线 l：x=x(t)，y=y(t)，z=0，t，以及空间光滑曲线 L：x=x(t)，y=y(t)，z=f(x(t)，y(t)，t，t=，t= 分别是起点与终点的参数（分数：4.00）(1).试说明 l，L 及曲面 S：z=f(x，y)的关系；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：l 是 L 在 xy 平面上的投影曲线，定向相同以 l 为准线，母线平行于 z 轴的柱面与曲面 S 相交得曲线 L)解析：(2).若 P，Q，R 连续，f(x，y)有连续的偏导数，求证： L P
23、(x，y，z)dx+Q(x，y，z)dy+R(x，y，z)dz= l P(x，yf(x，y)+ R(x，y，f(x，y)+Q(x，y，f(x，y)+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：按线积分化定积分公式得 L P(x，y，z)dx= P(x(t)，y(t)，f(x(t)，y(t)x(t)dt= l P(x，y，f(x，y)dx L P(x，y，z)dy= Q(x(t)，y(t)，f(x(t)，y(t)y(t)dt= l Q(x，y，f(x，y)dy L P(x，y，z)dz )解析：21.求向量的散度与旋度已知层=qr 3 r，其中 r=x，y，z，r=|r|，q 为常数，求 divE 与 rotE（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E=qr 3 x，y，z， )解析：22.将函数 f(x)=sin(x+a)展开成 x 的幂级数，并求收敛域.（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：sin(x+a)=sinxcosa+cosxsina由 sinx 与 cosx 的展开式得 其中m=0，1，2，3， 因此 sin(x+a) )解析：
