1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 245 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.f(x)=xsinx（分数：2.00）A.在(，+)内有界B.当 x+时为无穷大C.在(，+)内无界D.当 x时有极限3.若极限 （分数：2.00）A.不一定可导B.不一定可导，但 f + (a)=AC.不一定可导，但 f (a)=AD.可导，且 f(a)=A4.设 f(x)为连续函数，I=t 0 st f(tx)dx，其中 t0，s0，则，的值（分数：2.00）A.依赖于 s
2、和 tB.依赖于 s，t，xC.依赖于 t，x，不依赖于 sD.依赖于 s，不依赖于 t二、填空题(总题数：6，分数：12.00)5. （分数：2.00）填空项 1:_6. 0 2 （分数：2.00）填空项 1:_7.曲线 y=914x 13 (x 2 7)(x+)的拐点是 1（分数：2.00）填空项 1:_8.设 x=x(y，z)，y=y(z，x)，z=z(x，y)都是由方程 F(x，y，z)=0 所确定的隐函数，并且 E(x，y，z)满足隐函数存在定理的条件，则 （分数：2.00）填空项 1:_9.设 D 为 y=x 3 及 x=1，y=1 所围成的区域，则 I= （分数：2.00）填空项
3、 1:_10.设 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：40.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_求下列极限：（分数：4.00）(1). （分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_12. （分数：2.00）_13.求双纽线 r 2 =a 2 cos2(a0)绕极轴旋转所成的旋转面的面积（分数：2.00）_14.证明| n n+p sin(x 2 )dx|1n，其中 p0（分数：2.00）_15.设 0x 1 x 2 ，f(x)在x 1 ，x 2 可导，证明：在(x 1 ，x 2 )内至少一个 c，使得 （分数：2.00）_设有参数方程
4、（分数：6.00）(1).求证该参数方程确定 y=y(x)，并求定义域；（分数：2.00）_(2).讨论 y=y(x)的可导性与单调性；（分数：2.00）_(3).讨论 y=y(x)的凹凸性（分数：2.00）_16.要建一个圆柱形无盖水池，使其容积为 V 0 m 3 底的单位面积造价是周围的两倍，问底半径 r 与高h 各是多少，才能使水池造价最低?（分数：2.00）_求下列函数的带皮亚诺余项的麦克劳林公式：（分数：4.00）(1).f(x)=sin 3 x；（分数：2.00）_(2).f(x)=xln(1x 2 )（分数：2.00）_17.设 f(x)在 x=a 处四阶可导，且 f(a)=f“
5、(a)=f“(a)=0，但 f (4) (a)0，求证：当 f (4) (a)0(0)时 x=a 是 f(x)的极小(大)值点（分数：2.00）_18.设函数 f(t)在0，+)上连续，且满足方程 f(t)= （分数：2.00）_19.求点 M 1 (2，1，3)到平面 ：2x2y+z3=0 的距离与投影（分数：2.00）_20.若可微函数 z=f(x，y)在极坐标系下只是 的函数。求证：x （分数：2.00）_21.设 S 为柱面 x 2 +y 2 =a 2 (0zh)的外侧，满足 x0 的部分，求 I= （分数：2.00）_求下列区域 的体积：（分数：4.00）(1).：由 z=x 2 +
6、y 2 ，x+y+z=1 所围成；（分数：2.00）_(2).：由曲面 z=y 2 (y0)，z=4y 2 (y0)，z=x，z=2x，z=4 所围成（分数：2.00）_22.选择 a，b，使 Pdx+Qdy 在区域 D=(x，y)|x 2 +y 2 0内为某函数 u(x，y)的全微分，其中 （分数：2.00）_考研数学一（高等数学）模拟试卷 245 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.f(x)=xsinx（分数：2.00）A.在(，+)内有界B.当
7、 x+时为无穷大C.在(，+)内无界 D.当 x时有极限解析：解析：取 x n =2n+ (，+)(n=1，2，3，)，则 f(x n )=(2n+ 3.若极限 （分数：2.00）A.不一定可导 B.不一定可导，但 f + (a)=AC.不一定可导，但 f (a)=AD.可导，且 f(a)=A解析：解析：只有极限 存在并不能保证极限4.设 f(x)为连续函数，I=t 0 st f(tx)dx，其中 t0，s0，则，的值（分数：2.00）A.依赖于 s 和 tB.依赖于 s，t，xC.依赖于 t，x，不依赖于 sD.依赖于 s，不依赖于 t 解析：解析：I= 0 st f(tx)dtx 二、填空
8、题(总题数：6，分数：12.00)5. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：本题属“0 0 ”型未定式利用基本极限 x x =1 及重要极限 sinxx=1 即得 6. 0 2 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：原式= 0 2 =ln(1+e t )| 0 1 =ln 7.曲线 y=914x 13 (x 2 7)(x+)的拐点是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(0，0)）解析：解析：8.设 x=x(y，z)，y=y(z，x)，z=z(x，y)都是由方程 F(x，y，z)=0 所确定的隐函数，并
9、且 E(x，y，z)满足隐函数存在定理的条件，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：由隐函数求导法知 (如，由 e(x，y，z)=0 确定 x=x(y，z)，将方程对 y 求偏导数得其余类似)将这三式相乘得9.设 D 为 y=x 3 及 x=1，y=1 所围成的区域，则 I= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：D 如图 91 所示添加辅助线 y=x 3 (x0)，将 D 分解成 D=D 1 D 2 ，其中 D 1 关于y 轴对称，D 2 关于 x 轴对称，被积函数对 x，y 均为奇函数 10.设 （分数：2.00）填空
10、项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：考察 b n t n (t=x 2 ) 三、解答题(总题数：16，分数：40.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：求下列极限：（分数：4.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：属型 )解析：(2). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x=1t，则 )解析：12. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：13.求双纽线 r 2 =a 2 cos2(a0)绕极轴旋转所成的旋转面的面积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：双纽线如图 34 所示由对称性，只需考察 0，4面积
11、 S=22 0 4 r()sin d 由 r 2 =a 2 cos2 2rr=2a 2 sin2，r=a 2 sin2r，r 2 +r 2 =a 4 r 2 )解析：14.证明| n n+p sin(x 2 )dx|1n，其中 p0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： n n+p sin(x 2 )dx | n n+p sin(x 2 )dx| 注由此不等式可知 )解析：15.设 0x 1 x 2 ，f(x)在x 1 ，x 2 可导，证明：在(x 1 ，x 2 )内至少一个 c，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 要证 f(x)f(x)+k 在(x 1 ，x 2 )零点 e
12、 x f(x)f(x)+k=e x (f(x)k)在(x 1 ，x 2 )零点 令 F(x)=e x f(x)k，则 F(x)在x 1 ，x 2 可导考察 F(x 1 )F(x 2 ) 因此，由罗尔定理 )解析：设有参数方程 （分数：6.00）(1).求证该参数方程确定 y=y(x)，并求定义域；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：dxdt=3cos 2 t(sint)0，(t0，)，仅当 t=0，2， 时为零 x 是 t 的单调(减)函数，反函数 t=t(x) )解析：(2).讨论 y=y(x)的可导性与单调性；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 当 t0，2， 时 dxdtt
13、0 反函数 t=t(x)可导 y=y(茗)可导 注意 y=y(x)在1，1连续，t 与 x 的对应关系： 0x1 时 y(x)单调下降，1x0时 y(x)单调上升 )解析：(3).讨论 y=y(x)的凹凸性（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： y=y(x)在1，0，0，1均是凹的y=y(x)的图形如图 42 )解析：16.要建一个圆柱形无盖水池，使其容积为 V 0 m 3 底的单位面积造价是周围的两倍，问底半径 r 与高h 各是多少，才能使水池造价最低?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求出水池总造价的表达式设水池周围单位面积造价为 a 元m 2 ，水池总造价为 y，则 y=2
14、rha+2ar 2 又知 V 0 =r 2 h，代入上式得 y=2a( +r 2 )，0r+ 现求 y(r)在(0，+)上的最小值点求 y(r)： 因此，当 )解析：求下列函数的带皮亚诺余项的麦克劳林公式：（分数：4.00）(1).f(x)=sin 3 x；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2).f(x)=xln(1x 2 )（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.设 f(x)在 x=a 处四阶可导，且 f(a)=f“(a)=f“(a)=0，但 f (4) (a)0，求证：当 f (4) (a)0(0)时 x=a 是 f(x)的极小(大)值点（分数：2.0
15、0）_正确答案：(正确答案：f(x)f(a)=f(a)(xa)+ f“(a)(xa) 2 + f“(a)(xa) 3 + f (4) (a)(xa) 4 +o(xa) 4 ) =14!f (4) (a)(xa) 4 +o(xa) 4 )=(xa) 4 14!f (4) (a)+o(1) 其中 o(1)为无穷小量(xa 时)，因此， 0，当 0|xa| 时 f(x)f(a)=(xa) 4 14!f (4) (a)+o(1) )解析：18.设函数 f(t)在0，+)上连续，且满足方程 f(t)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先用极坐标变换将二重积分转化为定积分 = 0 2 d 0 2
16、t f(12r)rdr (t0)=2 0 2t f(12r)rdr 代入原方程得 两边对 t 求导得 在前一个方程中令t=0 得 f(0)=1 求 f(t)转化为求解初值问题+这是一阶线性方程，两边乘 由 f(0)=1 得C=1因此 f(t)= )解析：19.求点 M 1 (2，1，3)到平面 ：2x2y+z3=0 的距离与投影（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：点 M 1 到平面 的距离 平面 的法向量 n=2，2，1，过 M 1 点以 n方向向量的直线 L 的方程为 )解析：20.若可微函数 z=f(x，y)在极坐标系下只是 的函数。求证：x （分数：2.00）_正确答案：(正确答案
17、：由 z=f(rcos，rsin)与 r 无关 =0 )解析：21.设 S 为柱面 x 2 +y 2 =a 2 (0zh)的外侧，满足 x0 的部分，求 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：S 如图 925，S 垂直 xy 平面，于是 ydxdy=0， I= zdydz+xyzdzdx 投影到 yz 平面直接计算较为方便S 表示为 x= ，(y，z)D yz ， 其中 D yz ：0zh，aya 代公式得 )解析：求下列区域 的体积：（分数：4.00）(1).：由 z=x 2 +y 2 ，x+y+z=1 所围成；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 消去 z 得 x 2 +x
18、+y 2 +y=1，即 于是 在 Oxy 平面上的投影区域(如图 928)是 围成 区域的上曲面是 z=1xy，下曲面是 z=x 2 +y 2 ，因此 的体积 )解析：(2).：由曲面 z=y 2 (y0)，z=4y 2 (y0)，z=x，z=2x，z=4 所围成（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 929，=(x，y，z)| ，(z，x)D zx ， D zx =(z，x)|z2xz，0z4 的体积为 或 也可表示成(如图 930)：=(x，y，z)|z2xz，(y，z)D yz ， )解析：22.选择 a，b，使 Pdx+Qdy 在区域 D=(x，y)|x 2 +y 2 0内为某
19、函数 u(x，y)的全微分，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先确定 a，b，使 ，(x，y)D =1(x 2 +y 2 ) 4 (2y+2x)(x 2 +y 2 ) 2 2(x 2 +y 2 )2y(y 2 +2xy+ax 2 ) =2(x 2 +y 2 ) 2 (x+y)(x 2 +y 2 )2y(y 2 +2xy+ax 2 )， =1(x 2 +y 2 ) 4 (2x+2y)(x 2 +y 2 ) 2 2(x 2 +y 2 )2x(x 2 +2xy+by 2 ) =2(x 2 +y 2 ) 3 (x+y)(x 2 +y 2 )+2x(x 2 +2xy+by 2 )， (x+
20、y)(x 2 +y 2 )2y(y 2 +2xy+ax 2 ) =(x+y)(x 2 +y 2 )+2x(x 2 +2xy+by 2 ) 2(x 2 +xy 2 +yx 2 +y 2 )2y 3 4xy 2 2ax 2 y=2x 3 +4x 2 y+2bxy 2 2xy 2 +2(1a)x 2 y=4x 2 y+2bxy 2 2(b+1)xy 2 2(a+1)x 2 y=0 a=1，b=1 此时 因 D 不是单连通的， 在 D 成立不足以保证 Pdx+Qdy 原函数 进一步讨论是否可直接求出原函数取特殊路径如图 1011 及 u(x，y)= 0 x P(x，1)dx+ 1 y Q(x，y)dy (第二个积分中 x 为常量)，将 因此 u= )解析：
