1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 244 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：2，分数：4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设数列 x n ，y n 满足 （分数：2.00）A.若 x n 发散，则 y n 必发散B.若 x n 无界，则 y n 必有界C.若 x n 有界，则 y n 必为无穷小D.若 1x n 为无穷小，则 y n 必为无穷小二、填空题(总题数：6，分数：12.00)3.arctan(xlnxsinx)= 1 （分数：2.00）填空项 1:_4. 0 4 （分数：2.00）填空项
2、1:_5.曲线 y=3x+ （分数：2.00）填空项 1:_6.设 f(x，y)有连续偏导数，满足 f(1，2)=1，f x (1，2)=2，f y (1，2)=3，(x)=f(x，2f(x，2f(x，2x)，则 (1)= 1（分数：2.00）填空项 1:_7.设 D 为两个圆 x 2 +y 2 1 及(x2) 2 +y 2 4 的公共部分，则 I= （分数：2.00）填空项 1:_8.设级数 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：18，分数：44.00)9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_求下列极限：（分数：4.00）(1). （分数：2.00）_(2). （分
3、数：2.00）_10.设 f(x)在0，+)连续， f(x)=A0，证明： （分数：2.00）_计算下列各题：（分数：6.00）(1).由方程 x y =y x 确定 x=x(y)，求 dxdy；（分数：2.00）_(2).方程 y x e y =1 确定 y=y(x)，求 y“(x)；（分数：2.00）_(3).设 2xtan(xy)= 0 xy sec 2 tdt，求 d 2 ydx 2 .（分数：2.00）_11.设 f(x)连续且 （分数：2.00）_12. （分数：2.00）_13.设两点 A(1，0，0)与 B(0，1，1)的连线 （分数：2.00）_14.证明： () 0 2 l
4、nsinxdx= 0 2 lncosxdx； () 0 2 lnsin2xdx= 0 2 lnsinxdx； () 0 2 lnsinxdx= （分数：2.00）_15.设 ae，0xy2，求证：a y a x (cosxcosy)a x lna（分数：2.00）_设 f(x)=nx(1x) n (n 为自然数)，（分数：4.00）(1).求 （分数：2.00）_(2).求证： （分数：2.00）_16.求圆 x 2 +y 2 =1 的一条切线，使此切线与抛物线 y=x 2 2 所围面积取最小值，并求此最小值（分数：2.00）_17.设 f(x)在 x=a 处 n(n2)阶可导，且当 xa 时
5、 f(x)是 xa 的 n 阶无穷小，求证：f(x)的导函数 f(x)当xa 时是 xa 的 n1 阶无穷小（分数：2.00）_18.设有微分方程 y2y=(x)，其中 (x)= （分数：2.00）_19.求点 M 1 (1，2，3)到直线 L：x1= （分数：2.00）_20.设 y=f(x，t)，且方程 F(x，y，t)=0 确定了函数 t=t(x，y)，求 dydx（分数：2.00）_21.计算曲面积分 （分数：2.00）_求下列区域 的体积：（分数：4.00）(1).：x 2 +y 2 a 2 ，z0，zmx(m0)；（分数：2.00）_(2).：由 y 2 =a 2 az，x 2 +
6、y 2 =ax，z=0(a0)围成；（分数：2.00）_22.求 Pdx+Qdy 在指定区域 D 上的原函数，其中P，Q=1 （分数：2.00）_考研数学一（高等数学）模拟试卷 244 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：2，分数：4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设数列 x n ，y n 满足 （分数：2.00）A.若 x n 发散，则 y n 必发散B.若 x n 无界，则 y n 必有界C.若 x n 有界，则 y n 必为无穷小D.若 1x n 为无穷小，则 y n 必为无穷小 解析：
7、解析：举例说明(A)，(B)，(C)不正确 x n ：0，1，0，2，0，3，发散，y n ：0，0,0，0，0，0，收敛， x n y n =0(A)不正确 x n ：0，1，0，2，0，3，无界，y n ：1，0，2，0，3，0，无界， x n y n =0(B)不正确 x n ：0，1，0，1，0，1，有界，y n ：1，0，1，0，1，0，不是无穷小， 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)3.arctan(xlnxsinx)= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：xlnxsinx=x(1 sinx)，由于 x+时，lnxx0，sinx 有界
8、，故 lnxxsinx0，xlnxsinx+，于是4. 0 4 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2e 2 +2）解析：解析：原式 0 2 e t 2tdt=2 0 2 tde t 5.曲线 y=3x+ （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=3x+1）解析：解析：只有间断点 x=0， x=0 为垂直渐近线又 有斜渐近线 y=3x+16.设 f(x，y)有连续偏导数，满足 f(1，2)=1，f x (1，2)=2，f y (1，2)=3，(x)=f(x，2f(x，2f(x，2x)，则 (1)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：
9、302）解析：解析：(x)=f(x，u(x)，u(x)=2f(x，v(x)，v(x)=2f(x，2x)， v(1)=2f(1，2)=2，u(1)=2f(1，v(1)=2f(1，2)=2， (1)=f 1 (1，2)+f 2 (1，2)u(1)=2+3u(1)， u(1)=2f 1 (1，2)+f 2 (1，2)v(1)=22+3v(1)， v(1)=2f 1 (1，2)+2f 2 (1，2)=2(2+23)=16 往回代 7.设 D 为两个圆 x 2 +y 2 1 及(x2) 2 +y 2 4 的公共部分，则 I= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：D 关
10、于 x 轴对称，被积函数对 y 为奇函数8.设级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(1，+)）解析：解析：确定 a n = 关于 1n 的阶由于 而 a n 收敛 三、解答题(总题数：18，分数：44.00)9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：求下列极限：（分数：4.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：10.设 f(x)在0，+)连续， f(x)=A0，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先作变量替换： 0 1 f(nx)dx=1n 0 1
11、 f(nx)dx 1n 0 n f(t)dt 这是型数列极限将它转化为型函数极限，便可用洛必达法则求之，即 )解析：计算下列各题：（分数：6.00）(1).由方程 x y =y x 确定 x=x(y)，求 dxdy；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用多元函数微分学的方法：x=x(y)由方程 F(x，y)=0 确定，其中 F(x，y)=x y y x ，直接代公式得 约去 x y =y x 得 )解析：(2).方程 y x e y =1 确定 y=y(x)，求 y“(x)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：e y =y x ，两边取对数得 y=xlny对 x 求导(注意 y=
12、y(x) 将dydx 的表达式再对 x 求导得 注意 y=xlny，化简得 )解析：(3).设 2xtan(xy)= 0 xy sec 2 tdt，求 d 2 ydx 2 .（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：注意 y=y(x)，将方程两边对 x 求导，由复合函数求导法及变限积分求导法得 =sec 2 (xy)(1y) sec 2 (xy)(1y)=1，即 1y=cos 2 (xy) 再对 x 求导 y“=2cos(xy)sin(xy)(1y) 代入式 )解析：11.设 f(x)连续且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(x)的表达式中，积分号内含参变量戈，通过变量替换转化成变限
13、积分 x0时，(x)=1x 0 1 f(xt)d(xt) 1x 0 x f(s)ds；x=0 时，(0)= 0 1 f(0)=f(0) 由f(x)在 x=0 连续及 求 (x)即求这个分段函数的导数，x0 时与变限积分求导有关，x=0 时可按定义求导 最后考察 (x)的连续性显然，x0 时 (x)连续，又 )解析：12. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先作恒等变形，然后凑微分即得 )解析：13.设两点 A(1，0，0)与 B(0，1，1)的连线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14.证明： () 0 2 lnsinxdx= 0 2 lncosxdx； () 0
14、2 lnsin2xdx= 0 2 lnsinxdx； () 0 2 lnsinxdx= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： ()由题()与题()得 )解析：15.设 ae，0xy2，求证：a y a x (cosxcosy)a x lna（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把不等式改写成 注意到(a x )=a x lna，(cosx)=sinx，而|sinx|1对 f(t)=a t ，g(t)=cost，在区间x，y上应用柯西中值定理，即知存在满足0xy2 的 ，使得 )解析：设 f(x)=nx(1x) n (n 为自然数)，（分数：4.00）(1).求 （分数：2.00）_正
15、确答案：(正确答案：先求 f(x)=n(1x) n1 1(n+1)x 0，得唯一驻点 x=x n = 又f(0)=f(1)=0，f(x n ) )解析：(2).求证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.求圆 x 2 +y 2 =1 的一条切线，使此切线与抛物线 y=x 2 2 所围面积取最小值，并求此最小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 45，圆周的参数方程为 x=cos，y=sin圆周上 点(cos，sin)处切线的斜率是 dydx=cossin=cot，于是切线方程是 它与 y=x 2 2 交点的横坐标较小者为 ，较大者为 ，则 ， 是方程 x 2
16、+xcot2 =0 的根，并且切线与抛物线所围面积为 为求 16() 3 最小值，只要求() 2 最小值，由一元二次方程根与系数关系得 () 2 =(+) 2 4=cot 2 +4(2+ ) 因此，所围面积最小值为 所求切线有两条： )解析：17.设 f(x)在 x=a 处 n(n2)阶可导，且当 xa 时 f(x)是 xa 的 n 阶无穷小，求证：f(x)的导函数 f(x)当xa 时是 xa 的 n1 阶无穷小（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)在 x=a 可展开成 f(x)=f(a)+f(a)(xa)+ f“(a)(xa) 2 + + f (n) (a)(xa) n +o(x
17、a) n )(xa) 由 xa 时 f(x)是(xa)的1,阶无穷小 f(a)=f(a)=f (n1) (a)=0，f (n) (a)0 又 f(x)在 x=a 邻域 n1 阶可导，f (n1) (x)在 x=a 可导 证明由 g(x)=f(x)在 x=a 处 n1 阶可导 g(x)=g(a)+g(a)(xa)+ g (n1) (a)(xa) n1 +o(xa) n1 )， 即 f(x)=f(a)+f“(a)(xa)+ f (n) (a)(xa) n1 +o(xa) n1 ) = )解析：18.设有微分方程 y2y=(x)，其中 (x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这是一个一阶
18、线性非齐次微分方程，由于其自由项为分段函数，所以应分段求解，并且为保持其连续性，还应将其粘合在一起 当 x1 时，方程 y2y=2 的两边同乘 e 2x 得(ye 2x )=2e 2x ，积分得通解 y=C 1 e 2x 1； 而当 x1 时，方程 y2y=0 的通解为 y=C 2 e 2x 为保持其在 x=1 处的连续性，应使 C 1 e 2 1=C 2 e 2 ，即 C 2 =C 1 e 2 ，这说明方程的通解为 再根据初始条件，即得 C 1 =1，即所求特解为 )解析：19.求点 M 1 (1，2，3)到直线 L：x1= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：直线 L 过 M 0 点
19、(0，4，3)，以 l=1，3，2为方向向量，则点 M 1 到直线 L的距离为 其中 =1，2，0， )解析：20.设 y=f(x，t)，且方程 F(x，y，t)=0 确定了函数 t=t(x，y)，求 dydx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 y=f(x，t(x，y)两端对 x 求导得 而 t=t(x，y)由 F(x，y，t)=0 所确定，则 )解析：21.计算曲面积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：r 2 =x 2 +y 2 +z 2 关于 zx 平面，yz 平面均对称，则 1 ：x 2 +y 2 =R 2 ，x，y0，投影区域 D zx ：0xR，0zH， )解析：
20、求下列区域 的体积：（分数：4.00）(1).：x 2 +y 2 a 2 ，z0，zmx(m0)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D xy ：x 2 +y 2 a 2 ，x0，如图 927 =(x，y，z)|0zmx，(x，y)D xy )解析：(2).：由 y 2 =a 2 az，x 2 +y 2 =ax，z=0(a0)围成；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：=(x，y，z)|0z1a(a 2 y 2 )， (x，y)D xy ， D xy ：(x ) 2 +y 2 (a2) 2 )解析：22.求 Pdx+Qdy 在指定区域 D 上的原函数，其中P，Q=1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 原函数 u=x+ysin +C )解析：
