1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 243 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：2，分数：4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.“f(x)在点 a 连续”是|f(x)|在点 a 处连续的()条件（分数：2.00）A.必要非充分B.充分非必要C.充要D.既非充分又非必要二、填空题(总题数：7，分数：14.00)3. （分数：2.00）填空项 1:_4.设函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_5. 1 1 (x+ （分数：2.00）填空项 1:_6.f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_7.
2、设 z=yf(x 2 y 2 )，其中 f(u)可微，则 （分数：2.00）填空项 1:_8.设 r= 常数 使得曲线积分 L （分数：2.00）填空项 1:_9.幂级数 x+ （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：42.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_求下列极限：（分数：4.00）(1). （分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_11.设 f(x)在0，+)连续， f(x)=A0，求证： （分数：2.00）_计算下列各题：（分数：6.00）(1).设 y= （分数：2.00）_(2).设 y= （分数：2.00）_(3).设 y
3、= （分数：2.00）_12.把 y 看作自变量，x 为因变量，变换方程 （分数：2.00）_13.求星形线 L：x 23 +y 23 =a 23 (a0)所围区域的面积 A（分数：2.00）_设 a0，f(x)在(0，+)连续，求证：（分数：4.00）(1). （分数：2.00）_(2).又设 f(a 2 x)=f(x)(x0)，则 （分数：2.00）_14.证明定积分 I= （分数：2.00）_15.设 f(x)在1，+)可导，ddxxf(x)kf(x)(x1)，在(1，+)的 子区间上不恒等，又f(1)M，其中 k，M 为常数，求证：f(x) （分数：2.00）_16.求从点 A(10，
4、0)到抛物线 y 2 =4x 的最短距离（分数：2.00）_17.设 f(x)在 x=0 处二阶可导，又 I= （分数：2.00）_18.设函数 f(x)连续，且 0 x f(t)dt=sin 2 x+ 0 x tf(xt)dt求 f(x)（分数：2.00）_19.已知平面 ：x4y+2z+9=0，直线 L： （分数：2.00）_20.设 z=f(x，y，u)，其中 f 具有二阶连续偏导数，u(x，y)由方程 u 5 5xy+5u=1 确定求 （分数：2.00）_21.若函数 f(x，y)对任意正实数 t，满足 f(tx，ty)=t n f(x，y)， (*) 称 f(x，y)为 n 次齐次函
5、数设f(x，y)是可微函数，证明：f(x，y)为 n 次齐次函数 （分数：2.00）_计算下列三重积分或将三重积分化成累次积分（分数：4.00）(1).I= （分数：2.00）_(2).将三重积分 f(x，y，z)dV 在三种坐标系下化成累次积分，其中 是由 x 2 +y 2 +z 2 R 2 ，x 2 +y 2 z 2 ，z0 所围成的区域(如图 919 所示) （分数：2.00）_22.计算曲面积分 I= （分数：2.00）_考研数学一（高等数学）模拟试卷 243 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：2，分数：4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，
6、只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.“f(x)在点 a 连续”是|f(x)|在点 a 处连续的()条件（分数：2.00）A.必要非充分B.充分非必要 C.充要D.既非充分又非必要解析：解析：f(x)在 x=a 连续 |f(x)|在 x=a 连续(|f(x)|f(a)|f(x)f(a)|) |f(x)|在x=a 连续 f(x)在 x=a 连续 如 f(x)=二、填空题(总题数：7，分数：14.00)3. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5）解析：解析： 令 2x 3 =y，则 4.设函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答
7、案：4）解析：解析：由导数定义可求得 上述极限只在 1 时存在，且此时 f(0)=0，于是 f(x)的导函数为 欲使 f(x)在 x=0 处连续，必须有 而这一极限为零应满足3(=2，3 时5. 1 1 (x+ （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：原式= 1 1 x 2 +2x +(1x 2 )dx= 1 1 dx+2 1 1 x dx=2 (注意： 1 1 x 6.f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e 12 ；e 12 ）解析：解析：0|x|1 时 f(x)0，按定义 x=0 是极大值点，x0 时 7.设 z=yf(x 2
8、 y 2 )，其中 f(u)可微，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：zy 2）解析：解析： =yf(x 2 y 2 )2x=2xyf(x 2 y 2 )， =yf(x 2 y 2 )(2y)+f(x 2 y 2 )=2y 2 f(x 2 y 2 )+f(x 2 y 2 )， 8.设 r= 常数 使得曲线积分 L （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：把线积分表成 L Pdx+Qdy=0 (上半平面是单连通区域)，即 2r 2 x 2 =r 2 +y 2 r 2 =r 2 9.幂级数 x+ （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：
9、正确答案： 0 x ）解析：解析：三、解答题(总题数：17，分数：42.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：求下列极限：（分数：4.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：属 0 0 型故原式= 而 )解析：(2). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：属 0 型原式= ，而 )解析：11.设 f(x)在0，+)连续， f(x)=A0，求证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 f(x)=AA2，由极限的不等式性质可知， X，当 xX 时 f(x)A2，则 xX 时有 0 x dt= 0 X f(t)dt+ X x f(t)dt
10、0 X f(t)dt+ (xX)， 因此 )解析：计算下列各题：（分数：6.00）(1).设 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2).设 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：ln|y|=15ln|x5| ln(x 2 +2)，求导得 )解析：(3).设 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：12.把 y 看作自变量，x 为因变量，变换方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把方程中的 dydx，d 2 ydx 2 ，d 3 ydx 3 用 dxdy，d 2 xdy 2 ，d 3 xdy 3 来表示 由反函数求导法得 再由复合函数
11、求导法及反函数求导法 将它们代入原方程 )解析：13.求星形线 L：x 23 +y 23 =a 23 (a0)所围区域的面积 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：图形关于 x，y 轴均对称，第一象限部分：0xa，0y 4 0 2 cos 3 t3asin 2 tcostdt =12a 2 0 2 cos 4 t(1cos 2 t)dt )解析：设 a0，f(x)在(0，+)连续，求证：（分数：4.00）(1). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：按要证的等式，将等式左端改写可得 )解析：(2).又设 f(a 2 x)=f(x)(x0)，则 （分数：2.00）_正确答案：(正确答
12、案：按题设，对左端作变换 )解析：14.证明定积分 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先作变量替换 被积函数在0，2上变号，t(0，)时取正值，t(，2)时取负值，于是 把后一积分转化为0，上积分，然后比较被积函数，即 )解析：15.设 f(x)在1，+)可导，ddxxf(x)kf(x)(x1)，在(1，+)的 子区间上不恒等，又f(1)M，其中 k，M 为常数，求证：f(x) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知不等式得 在(1，+)的 子区间不恒为零，两边乘 =x k 得 在(1，+)的 子区间不恒为零，又 x k+1 f(x)在1，+)连续 x k+1 f(x)
13、在1，+)单调下降 )解析：16.求从点 A(10，0)到抛物线 y 2 =4x 的最短距离（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：抛物线上点 P(y 2 4，y)到 A(10，0)的距离的平方(如图 44)为 问题是求 d(y)在0，+)上的最小值(d(y)在(，+)为偶函数) 在(0，+)解 d(y)=0 得 y= 于是 d( )=36，d(0)=100 又 (y)=+ d(y)在0，+)的最小值为 36，即最短距离为 6 )解析：17.设 f(x)在 x=0 处二阶可导，又 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设易知， e f(x) 1=0，且 0，0|x| 时 f(x
14、)0进一步有 f(x)=f(0)=0 解用洛必达法则 )解析：18.设函数 f(x)连续，且 0 x f(t)dt=sin 2 x+ 0 x tf(xt)dt求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 0 x f(xt)dt x 0 (xu)f(u)(du)= 0 x (xu)f(u)du =x 0 x f(u)du 0 x f(u)du 代入原方程即得 0 x f(t)dt=sin 2 x+x 0 x f(u)du 0 x uf(u)du 由 f(x)连续可见以上方程中各项均可导将方程两端对 x 求导即得 f(x)=2sinxcosx+ 0 x f(u)du=sin2x+ 0
15、x f(u)du (在中令 x=0，得 0=0，不必另加条件与同解) 在式中令x=0 可得 f(0)=0，由式还可知 f(x)可导，于是将它两端对 x 求导，又得 f(x)=2cos2x+f(x) 故求y=f(x)等价于求解初值问题 )解析：19.已知平面 ：x4y+2z+9=0，直线 L： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()先求 L 的方向向量 ()求 L 与 的交点 M 0 由 解得 M 0 (x，y，z)=(3，1，5) ()所求直线的方向向量 L 1 =ln 所求直线方程为 或求出过 L 与 的交点 M 0 且与 L 垂直的平面方程，它是 2(x+3)+3(y+1)+2(z
16、+5)=0，即 2x+3y+2z+19=0 于是，所求直线方程为 )解析：20.设 z=f(x，y，u)，其中 f 具有二阶连续偏导数，u(x，y)由方程 u 5 5xy+5u=1 确定求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将方程 u 5 5xy+5u=1 两端对 x 求导数，得 5u 4 u x 5y+5u x =0，解得 u x = ，故 z x =f 1 +f 3 u x =f 1 + f 3 在上式对 x 求导数时，应注意其中的 f 1 ，f 3 仍是 x，y，u 的函数，而 u 又是 x，y 的函数，于是 z“ xx =f“ 11 +f“ 13 u x +(f“ 31 +f“
17、 33 u x ) )解析：21.若函数 f(x，y)对任意正实数 t，满足 f(tx，ty)=t n f(x，y)， (*) 称 f(x，y)为 n 次齐次函数设f(x，y)是可微函数，证明：f(x，y)为 n 次齐次函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f(x，y)是 n 次齐次函数，按定义，得 f(tx，ty)=t n f(x，y)( t0)为恒等式将该式两端对 t 求导，得 xf 1 (tx，ty)+yf 2 (tx，ty)=nt n1 f(x，y)( t0)， 令 t=1，则 xf x (x，y)+yf y (x，y)=nf(x，y) 现设上式成立考察 (t)=f(tx
18、，ty)t n ( t0)，由复合函数求导法则可得 (t)=1t n xf 1 (tx，ty)+yf 2 (tx，ty) )解析：计算下列三重积分或将三重积分化成累次积分（分数：4.00）(1).I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：积分域 是球的一部分，球也可以看成是旋转体，所以使用球坐标系与柱坐标系都可以 利用球坐标系 )解析：(2).将三重积分 f(x，y，z)dV 在三种坐标系下化成累次积分，其中 是由 x 2 +y 2 +z 2 R 2 ，x 2 +y 2 z 2 ，z0 所围成的区域(如图 919 所示) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：使用球坐标系 )解析：22.计算曲面积分 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：关于 xy 平面，yz 平面对称(如图 923) 投影到 zx 平面，由 x 2 +y 2 +z 2 =R 2 ，y0 投影区域 D zx ：x 2 +z 2 R 2 ，于是 =RR 2 =R 3 )解析：
