1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 237 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.下列命题中正确的是 设 a n n 与 b n n 有相同的收敛域(R，R)，则 (a n b b ) n 的收敛域为(R，R)； 设 a n n 与 b n n 的收敛域分别为1，1)，(2，2)，则 (a n b n ) n 的收敛域为1，1)； 若幂级数 a n n 的收敛区间(R，R)即它的收敛域，则 的收敛域可能是R，R； 若幂级数 a n n 的收敛域为R，R，则幂级
2、数 （分数：2.00）A.B.C.D.3.下列级数中发散的是（分数：2.00）A.B.C.1D.正项级数互 u n ，其中 u n 满足 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)4.设有极坐标系下的累次积分 J （分数：2.00）填空项 1:_5.设 (，y，z) 2 y 2 z 2 R 2 ， 为常数，则 I （分数：2.00）填空项 1:_6.设曲线 L 为 2 4y 2 1，则曲线积分 L yds 1（分数：2.00）填空项 1:_7.()设 S 是球面(a) 2 (yb) 2 (zc) 2 R 2 的上半部分，取上侧，则 J dydzydzdzddy 1； ()设 S 是球面 2 y
3、 2 z 2 2a2ay2aza 2 0(a0 为常数)，则 J (yz （分数：2.00）填空项 1:_8.由级数的敛散性确定下列参数的取值范围： ()若 收敛，则 a 满足 1； ()级数若 （分数：2.00）填空项 1:_9.设 f() （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_填空项 1:_三、解答题(总题数：21，分数：42.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_11.设 a0 为常数，求积分 I （分数：2.00）_12.求二次积分 I （分数：2.00）_13.设 f()连续，(R)(，y，z) 2 y 2 z 2 2Ry，R0 ()将
4、三重积分 I f(z)dV 化为定积分； ()求 J （分数：2.00）_14.设 是由 yz 平面内 z0，z2 以及 y 2 (z1) 2 1 所围成的平面区域绕 z 轴旋转而成的空间区域求三重积分，I （分数：2.00）_15.计算三重积分 I (yz) 2 dV，其中 ()(，y，z) 2 y 2 z 2 4，z （分数：2.00）_16.设 (y)有连续导数，L 为半圆周： (y)，从点 O(0，0)到点 A(，)方向(见图 251)，求曲线积分 I L (y)cosyd(y)sin1dy （分数：2.00）_17.设函数 u(，y)，v(，y)具有一阶连续偏导数，且满足 C 为包围
5、原点的正向闭曲线证明：() (vyu)a(uyv)dy (vyu)d(uyv)dy， 其中 C r 是以原点为心 r 为半径的圆周，取逆时针方向，r 充分小使 C r 在 C 所围区域内； () （分数：2.00）_18.设区域 D 由线 1 ：cos 3 t，ysin 3 t(0t，)与 轴围成，求 I （分数：2.00）_19.求曲面积分 I （分数：2.00）_20.设 F(P，Q，R)( 2 yz，y 2 yz，z 2 y) ()求 rotF； ()求 J PdQdyRdz，其中 是沿螺旋线 acos，yasin，z （分数：2.00）_21.下列区域 D 上， 是否与路径无关? （分
6、数：2.00）_22.设有平面力 F(，y)(P(，y)，Q(，y)，其中 P(，y)f()ye f()，Q(，y)f()，函数 f()二阶连续可导，并满足 f(0)0，试确定 f()，使得 ()力 F 对运动质点做的功与质点运动路径无关； ()若 L 是由点 A(1，1)到点 8(1，0)逐段光滑的有向曲线，则 L PdQdy （分数：2.00）_23.求0，)上连续曲线 yf()0 的方程，使曲线 yf()与两坐标轴及过点(t，0)(t0)的垂直于 轴的直线所围成的曲边梯形，绕 轴旋转所形成的旋转体的形心的横坐标等于 （分数：2.00）_24.求曲面 z1 2 y 2 上任一点( 0 ，y
7、 0 ，z 0 )的切平面与 z 2 y 2 所围成立体 的体积，以及当( 0 ，y 0 ，z 0 )(0，0，1)时 的表面积（分数：2.00）_25.求一段均匀圆柱面 S： 2 y 2 R 2 (0zh 对原点处单位质点的引力，设 S 的面密度1（分数：2.00）_26.设 a n ，试判断级数 （分数：2.00）_27.求幂级数 （分数：2.00）_28.求 （分数：2.00）_29.设 f() （分数：2.00）_30.设 f()是周期为 2 的周期函数，且 f() 写出 f()的傅氏级数与其和函数，并求级数（分数：2.00）_考研数学一（高等数学）模拟试卷 237 答案解析(总分：6
8、0.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.下列命题中正确的是 设 a n n 与 b n n 有相同的收敛域(R，R)，则 (a n b b ) n 的收敛域为(R，R)； 设 a n n 与 b n n 的收敛域分别为1，1)，(2，2)，则 (a n b n ) n 的收敛域为1，1)； 若幂级数 a n n 的收敛区间(R，R)即它的收敛域，则 的收敛域可能是R，R； 若幂级数 a n n 的收敛域为R，R，则幂级数 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：3.下列
9、级数中发散的是（分数：2.00）A.B.C.1 D.正项级数互 u n ，其中 u n 满足 解析：解析：关于选项 C：考察它添加括号后的级数 记为 a n 1 时，因 发散，收敛，所以 a n 发散，因添加括号后的级数发散，所以原级数也发散 01 时，a n (n) 这说明 a n 是负项级数，比较判别法对它是适用的 因 发散 a n 发散 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)4.设有极坐标系下的累次积分 J （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：() ；() ）解析：解析：()将累次积分-，写成 J f(，y)d， 其中，D 的极坐标表示 D： ，0rsin，于是得
10、 D 的直角坐标形式为(如图 243(a) 2 y 2 y(由 r 2 rsin 而得)，0， 即 2 ，0 现重新配限得 J ()在 Or 直角坐标系中(如图 243(b)， J f(rcos，rsin)rdrd 当 0 时，0 ，由 rsinsin() arcsinr，arcsinr 因此 J 5.设 (，y，z) 2 y 2 z 2 R 2 ， 为常数，则 I （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由变量的轮换对称性(坐标轴名称互换，区域 不变) 因此 I 6.设曲线 L 为 2 4y 2 1，则曲线积分 L yds 1（分数：2.00）填空项 1:_
11、（正确答案：正确答案：*）解析：解析：L 关于 ，y 轴对称，L 在第一象限部分记为 L 1 ，y对 ，y 均为偶函数，则 I L yds4 yds L 1 参数方程为 ，又 7.()设 S 是球面(a) 2 (yb) 2 (zc) 2 R 2 的上半部分，取上侧，则 J dydzydzdzddy 1； ()设 S 是球面 2 y 2 z 2 2a2ay2aza 2 0(a0 为常数)，则 J (yz （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：()；2R 3 R 2 c；()8(3 ）解析：8.由级数的敛散性确定下列参数的取值范围： ()若 收敛，则 a 满足 1； ()级数若
12、（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：()ae；()(1，)）解析：解析：()因一般项含有阶乘，选用比值判别法记 u n ，则 由比值判别法知，当ae 时级数绝对收敛，从而收敛，当ae 时级数发散(此时 u n 0) 当ae 时比值判别法失效，但由于 故ae 时级数也发散 因此，a 满足：ae ()0 时 1(n) 原级数发散 由于 0 时， 9.设 f() （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：()*）填空项 1:_ （正确答案：()*）填空项 1:_ （正确答案：()3）解析：解析：f()满足收敛性定理条件 () 是区间的端点， 时收敛于 ()0(，)是
13、 f()的间断点，0 处收敛于三、解答题(总题数：21，分数：42.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：11.设 a0 为常数，求积分 I （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线 2 y 2 a 即圆周： ， 它的极坐标方程是 racos积分区域 D 如图 242(a)阴影部分 由于 D 关 于 轴对称，故 yddy0， ddy2 ddy， 其中 D 1 Dy0 将 D 1 看成正方形区域与半圆形区域的差集，在半圆形区域上用极坐标变换，可得 于是 Ia 3 )解析：12.求二次积分 I （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：直接计算行
14、不通，先表成 D 上的二重积分 I ddy， 确定积分区域 DD 1 D 2 ： D 1 ，y)01，1y2， D 2 ，y)12，0y2，如图 244(a)所示 交换积分顺序不能解决问题，直接对累次积分 I 用分部积分法时遇到求导 的困难 对内层积分作变量替换 ty(对 y 积分时 为常量)得 可表为 D 0 ：01，1y2，12，y2 上的二重积分(如图 244(b)所示，然后交换积分次序) )解析：13.设 f()连续，(R)(，y，z) 2 y 2 z 2 2Ry，R0 ()将三重积分 I f(z)dV 化为定积分； ()求 J （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()(R)是球
15、域： 2 (yR) 2 z 2 R 2 选择先二( 与 y)后一(z)的积分顺序，(R)表为 RzR，(，y)D(z)(，y) 2 (yR) 2 R 2 z 2 ， 于是I 圆域 D(z)的面积为 (R 2 z 2 )，因此 I -R R f(z)(R 2 z 2 )dz ()用题()的结果得 用洛必达法则得 )解析：14.设 是由 yz 平面内 z0，z2 以及 y 2 (z1) 2 1 所围成的平面区域绕 z 轴旋转而成的空间区域求三重积分，I （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：平面区域如图 245(a)所示空间区域 是由旋转面戈 2 y 2 (z1) 2 1 及平面 z0，z2
16、所围成，见图 245(b) 由被积函数与区域的特点，选用柱坐标变换 rcos，yrsin，zz， 并选择先二(先 r，Z)后一()或先 r， 后 z 的积分顺序 过 z 轴作极角为 的半平面截 得平面区域 D()(图 245(c)： 0r ，0z2，于是 )解析：15.计算三重积分 I (yz) 2 dV，其中 ()(，y，z) 2 y 2 z 2 4，z （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这二个区域 的共同点是，它们关于 yz 平面与 z 平面均对称，当被积函数对 或对 y 是奇函数时，则在 上的三重积分值为零于是 I ( 2 y 2 z 2 )aV2 (yyzz)dV ( 2 y
17、2 z 2 )dV 下面分别就上述两种区域 求积分值 I () 由上半球面 2 及锥面 z 围成如图 246(a)所示它们的交线是： 作球坐标变换，则 的球坐标表示为：02，0 ，02于是 () 是两个球体 2 y 2 z 2 4 与 2 y 2 z 2 4z( 2 y 2 (z2) 2 4)的公共部分，两球面的交线是 图 246(b)是 在 yz 平面上的截面图作球坐标变换，并用锥面 z 将 分成 1 2 其中 1 (，y，z) 2 y 2 z 2 4，z ， 2 (，y，z) 2 y 2 z 2 4z，z 用球坐标表示： 1 ：02，0 ，02， 2 ：04cos， ，02 这里球面 2
18、y 2 z 2 4z的球坐标方程是：4cos因此 )解析：16.设 (y)有连续导数，L 为半圆周： (y)，从点 O(0，0)到点 A(，)方向(见图 251)，求曲线积分 I L (y)cosyd(y)sin1dy （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：I L (y)dsinsind(y)dyyd (y)siny (0，0) (，) L yd L yd L 的参数方程是 因此，I )解析：17.设函数 u(，y)，v(，y)具有一阶连续偏导数，且满足 C 为包围原点的正向闭曲线证明：() (vyu)a(uyv)dy (vyu)d(uyv)dy， 其中 C r 是以原点为心 r 为半径的
19、圆周，取逆时针方向，r 充分小使 C r 在 C 所围区域内； () （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由题设可知，记 P (v，yu)，Q (uyv)，则 从而 2u( 2 y 2 )2u( 2 y 2 )0( 2 y 2 0) 在 C 与 C r + 所围的区域 D 上用格林公式得 其中 C r - 为顺时针方向(如图 252) 于是 C PdQdy PdQdy 即结论()成立 ()在 C r + 上 2 y 2 r 2 ，由结论()得 C PdQdy P 1 dQ 1 dy 其中 P 1 (，y)vyu，Q 1 (，y)uyv 在 C r + 围成的区域 D，上用格林公式得
20、再由二重积分中值定理得， (，)D，使得 udr 2 (，)， 因此，对 充分小的 r0，就有 C PdQdy )解析：18.设区域 D 由线 1 ：cos 3 t，ysin 3 t(0t，)与 轴围成，求 I （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：积分区域 D 的边界由参数方程给出，利用积分间的相互转化，将求，I(二重积分)转化为求 D 的边界 上的曲线积分，由曲线的参数方程求曲线积分是方便的边界 由 1 及 2 组成，见图 253 D 如图 253，边界厂取正向(逆时针方向)，在格林公式中， PdQdy 取 P y 2 ，Q0，左端即是 I，且 )解析：19.求曲面积分 I （分数：2
21、.00）_正确答案：(正确答案：图 261(a)中只画出曲面 z 2 y 2 ，易知，关于 z 平面对称，y 2 对y 为偶函数，于是 y 2 dzd0，II 1 dydz 不论投影到哪个平面上计算这个曲面积分，都需要先求投影区域现选择投影到 y 平面上，记投影区域为 D y 由 ，消去 z 得 2 y 2 ， 见图 261(b)因方程为 z 2 y 2 ，于是代公式化为二重积分得 作极坐标变换：rcos，rrsin，D y ： ，0rcos，于是 )解析：20.设 F(P，Q，R)( 2 yz，y 2 yz，z 2 y) ()求 rotF； ()求 J PdQdyRdz，其中 是沿螺旋线 a
22、cos，yasin，z （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()按旋度计算公式得 ()，y(y)，z(z)(0，0，0) ()若 C 是闭曲线，以 C 为边界的曲面 S，定向按右手法则，则由斯托克斯公式得 C PdQdyRdz rotF.ndS0 这里 不封闭，添加直线段 (如图 262)，则 C 构成闭曲线，于是 PdQdyRdz0 J PdDdyRd PdQdyRdz 0 h R(a，0，z)dz 0 h z 2 dz h 3 )解析：21.下列区域 D 上， 是否与路径无关? （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先明确 与路径无关等价于 存在原函数 记 ，易验证： ()D：
23、 2 y 2 0 不是单连通的，则 (，y)D)不是 L ，PdQdy 在 D 与路径无关的充分条件 事实上，若取闭曲线 C： 2 y 2 r 2 ，逆时针方向，则 C PdQdy 2 因此， 在 D 上不是与路径无关， 在 D 上不存在原函数 ()D：y0 是单连通的，在 D 上 L PdQdyD 上与路径无关，存在原函数 则原函数 uarctan C，其中 C 为 常数 ()同理， 在 D：0 上与路径无关， 存在原函数，可求得原函数为 uarctan C ()区域 D 如图 27 一 1 所示，D 是单连通区域，在 D 上 L PdQdy 在 D 上与路径无关，PdQdy )解析：22.
24、设有平面力 F(，y)(P(，y)，Q(，y)，其中 P(，y)f()ye f()，Q(，y)f()，函数 f()二阶连续可导，并满足 f(0)0，试确定 f()，使得 ()力 F 对运动质点做的功与质点运动路径无关； ()若 L 是由点 A(1，1)到点 8(1，0)逐段光滑的有向曲线，则 L PdQdy （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：条件()即 L PdQdy 在全平面与路径无关 ，即 f()e f()，f()f()e 现求此方程的解 这也是可降阶的二阶方程令 pf()，两边乘 ()e d e 得 (e p)1 积分并注意 p(0)f(0)0 得 e f()，f()e 再积分得
25、 f()(1)e C 现由条件()定出常数 C 因积钋与路径无关取 L 如图 273 所示的路径， 则有 L PdQdy 1 0 Q(1，y)dy -1 1 P(，0)d 1 0 f(1)dy -1 1 f()d e -1 1 (1)e Cd e(1)e -1 1 e -1 1 2C ， )解析：23.求0，)上连续曲线 yf()0 的方程，使曲线 yf()与两坐标轴及过点(t，0)(t0)的垂直于 轴的直线所围成的曲边梯形，绕 轴旋转所形成的旋转体的形心的横坐标等于 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：该旋转体记为 t ，它的体积是 V 0 1 f 2 ()d 它的形心的 坐标 dV
26、0 t f 2 ()d， 其中 0 t .f 2 ()d 于是 0 t f 2 ()d 0 t f 2 ()d 0 t f 3 ()d 0 t f 2 ()d 按题意得 0 t f 2 ()d 0 t f 2 ()d t， 即 0 t f 2 ()d t 0 t f 2 ()d 两边求导得 tf 2 (t) 即 tf 2 (t) 0 t f 2 (t)dt 再对 t 求导得 f 2 (t)2tf(t)f(t)4f 2 (f)， 即 f(t) f(t)0(t0) (，式中令 t0 时等式自然成立，不必另加条件) 现在式两边乘 得 0积分得 f(t)C (t0) 又 f()在0，)上连续，因此求得
27、 f()C (0)，其中 C0 为 )解析：24.求曲面 z1 2 y 2 上任一点( 0 ，y 0 ，z 0 )的切平面与 z 2 y 2 所围成立体 的体积，以及当( 0 ，y 0 ，z 0 )(0，0，1)时 的表面积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求曲面 z1 2 y 2 在 点( 0 ，y 0 ，z 0 )处的切平面方程为 zz 0 2 0 ( 0 )2y 0 (yy 0 )， 即 z1 0 2 y 0 2 2 0 2y 0 y 再求切平面与 z 2 y 2 的交线在 y 平面上的投影，由 消去 z 得( 0 ) 2 (yy 0 ) 2 1 因此投影曲线为( 0 ) 2
28、(yy 0 )1，z0 求立体的体积 记 D：( 0 ) 2 (yy 0 ) 2 1，则切平面与 z 2 y 2 所围成立体的体积 V (1 0 2 y 0 2 2 0 2y 0 y)( 2 y 2 )ddy 1( 0 ) 2 (yy 0 ) 2 ddy ， 当( 0 ，y 0 ，z 0 )(0，0，1)时求 的表面积 的表面由平面部分 S 1 ：z1( 2 y 2 1)及旋转抛物面部分 S 2 ：z 2 y 2 ( 2 y 2 1)组成，记 D： 2 y 2 1，则 S 1 的面积 A 2 ， S 2 的面积 因此，表面积 AA 1 A 2 )解析：25.求一段均匀圆柱面 S： 2 y 2
29、R 2 (0zh 对原点处单位质点的引力，设 S 的面密度1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由对称性可知，引力 F(F 1 ，F 2 ，F 3 )，其中 F 1 F 2 0，只需求 z 方向的分量 F 3 圆柱面上 点(，y，z)处取曲面微元 dS，它对该质点的引力沿，r(，y，z)方向，模为 k ， rr 引力 dF ，在 z 轴方向的分量 dF 3 zdS 整个圆柱面对质点的引力的 z 分量为 F 3 现投影到 y 平面上求这个曲面积分S 如图283，投影区域 D yz ：RyR，0zh 前半曲面 S 1 的方程 ，(y，z)D yz ， )解析：26.设 a n ，试判断级数
30、（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：直接求 a n 办不到，直接估计 a n 也行不通用分部积分法将 a n 分解 记 b n ，易知交错级数互 b n 条件收敛 现估计 c n 由于 又 收敛 c n 绝对收敛 因此 )解析：27.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：变量替换法令 t 2 ，对 用求 R 公式 原级数的收敛半径 R 因此原幂级数的收敛区间是( ) 再考察端点 的敛散性 当 时，由于 显然 收敛，而 ， 因此 收敛，从而原级数 收敛 因此原幂级数的收敛域是 )解析：28.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()求收敛域：原幂级数记为 a n n 由 收敛域为(，) ()求和函数 为了用 e ，对原级数进行分解，记原级数的和为 S()，则 因此 S()e e 1 (1e )e (1) )解析：29.设 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知 现逐项积分得 )解析：30.设 f
