1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 230 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)连续，且 f (0)0，则存在 0，使得( )（分数：2.00）A.f(x)在(0，)内单调增加B.f(x)在(一 ，0)内单调减少C.对任意的 x(一 ，0)，有 f(x)f(0)D.对任意的 x(0，)，有 f(x)f(0)3.设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，若 （分数：2.00）A.不可导B.可导但 f (0)0C.取极大值D.取极小值4.曲线 y=x
2、(x 一 1)(2 一 x)与 x 轴所围成的图形面积可表示为( )（分数：2.00）A.一 0 2 x(x1)(2x)dxB. 0 1 x(x 一 1)(2 一 x)dx 一 1 2 x(x 一 1)(2x)dxC.一 0 1 x(x1)(2x)dx 1 2 x(x1)(2x)dxD. 0 2 x(x 一 1)(2 一 x)dx5.设 f(x，y)在(0，0)的某邻域内连续，且满足 （分数：2.00）A.取极大值B.取极小值C.不取极值D.无法确定是否取极值6.设 1 (x)， 2 (x)为一阶非齐次线性微分方程 y +P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为( )（分数：
3、2.00）A.C 1 (x)+ 2 (x)B.C 1 (x)一 2 (x)C.C 1 (x)一 2 (x)+ 2 (x)D. 1 (x)一 2 (x)+C 2 (x)二、填空题(总题数：7，分数：14.00)7.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_8.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_9. （分数：2.00）填空项 1:_10.设 z=f(x，y)二阶连续可导，且 （分数：2.00）填空项 1:_11.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_12.设曲线 L：y= （分数：2.00）填空项 1:_13.级数 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：14，分数：28.00)
4、14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_15.求下列极限： （分数：2.00）_16.求 （分数：2.00）_17.设 f(x)= （分数：2.00）_18.设对一切的 x，有 f(x+1)=2f(x)，且当 x0，1时 f(x)=x(x 2 一 1)，讨论函数 f(x)在 x=0 处的可导性（分数：2.00）_19.证明：当 0x1 时，e 2x （分数：2.00）_20.求 （分数：2.00）_21.证明： sin n xcos n xdx=2 n （分数：2.00）_22.设 （分数：2.00）_23.把 （分数：2.00）_24.计算 I= (x+3z
5、2 )dydz+(x 3 z 2 +yz)dzdx 一 3y 2 dxdy，其中为 z=2 一 （分数：2.00）_25.判断级数 （分数：2.00）_26.将 f(x)=lnx 展开成 x2 的幂级数（分数：2.00）_27.求微分方程 x 3 y +2x 2 y 一 xy +y=0 的通解（分数：2.00）_考研数学一（高等数学）模拟试卷 230 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)连续，且 f (0)0，则存在 0，使得( )（分
6、数：2.00）A.f(x)在(0，)内单调增加B.f(x)在(一 ，0)内单调减少C.对任意的 x(一 ，0)，有 f(x)f(0)D.对任意的 x(0，)，有 f(x)f(0) 解析：解析：因为 f (0)= 0，所以由极限的保号性，存在 0，当 0x 时， 3.设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，若 （分数：2.00）A.不可导B.可导但 f (0)0C.取极大值D.取极小值 解析：解析：由 =2 得 f(0)=0，由极限保号性，存在 0，当 0x 时，4.曲线 y=x(x 一 1)(2 一 x)与 x 轴所围成的图形面积可表示为( )（分数：2.00）A.一 0 2 x(x1)(2x
7、)dxB. 0 1 x(x 一 1)(2 一 x)dx 一 1 2 x(x 一 1)(2x)dxC.一 0 1 x(x1)(2x)dx 1 2 x(x1)(2x)dx D. 0 2 x(x 一 1)(2 一 x)dx解析：解析：曲线 y=x(x 一 1)(2 一 x)与 x 轴的三个交点为 x=0，x=1，x=2，当 0x1 时，y0；当1x2 时，y0，所以围成的面积可表示为(C)的形式，选(C)5.设 f(x，y)在(0，0)的某邻域内连续，且满足 （分数：2.00）A.取极大值 B.取极小值C.不取极值D.无法确定是否取极值解析：解析：因为 =一 3，所以由极限的保号性，存在 0，当 0
8、 时，xy 2 0，所以当 0 6.设 1 (x)， 2 (x)为一阶非齐次线性微分方程 y +P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为( )（分数：2.00）A.C 1 (x)+ 2 (x)B.C 1 (x)一 2 (x)C.C 1 (x)一 2 (x)+ 2 (x) D. 1 (x)一 2 (x)+C 2 (x)解析：解析：因为 1 (x)， 2 (x)为方程 y +P(x)y=Q(x)的两个线性无关解，所以 1 (x)一 2 (x)为方程 y +P(x)y=0 的一个解，于是方程 y +P(x)y=Q(x)的通解为 C 1 (x)一 2 (x)+ 2 (x)，选(C)二
9、、填空题(总题数：7，分数：14.00)7.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：8.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：9. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2sinx 2 +2x 2 cosx 2）解析：解析： 0 x xsin(x 一 t) 2 dt=x 0 x sin(x 一 t)dt 10.设 z=f(x，y)二阶连续可导，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：f(x，y)=( ）解析：解析：由 =(x+1)y+(x)， 由 f x (x，0)=2x 得
10、 (x)=2x，即 =(x+1)y+2x， 再由 =(x+1)y+2x 得 z=( +x)y+x 2 +h(y)， 由 f(0，y)=sin2y 得 h(y)=sin2y，故 f(x，y)=( 11.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：12.设曲线 L：y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：13.级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：xln(1 一 x 2 )+x 3 一 x 3 ln(1 一 x 2 )(一1x1)）解析：解析： ， 而 ln(1 一 x 2 )(一 1x1)， x 2
11、 =一 ln(1 一 x 2 )一 x 2 (一1x1)， 三、解答题(总题数：14，分数：28.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：15.求下列极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： (6)由 ln(1+x)=x 一 +(x 2 )得 ln(12x)=一 2x 一 2x 2 +(x 2 )，于是 arctan 2 x2x+ln(12x)一 2x 4 ； )解析：16.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)为初等函数，所以 f(x)的间断点
12、为 x=0 和 x=1 因为 x0 时，1 一=一 1，即 x=0 为 f(x)的第一类间断点中的可去间断点； 因为 f(1 一 0)= )解析：18.设对一切的 x，有 f(x+1)=2f(x)，且当 x0，1时 f(x)=x(x 2 一 1)，讨论函数 f(x)在 x=0 处的可导性（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x一 1，0时，f(x)= (x+1)(x 2 +2x)， f (0)= =1 f (0)= )解析：19.证明：当 0x1 时，e 2x （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：e 2x 等价于一 2xln(1 一 x)一 ln(1+x)， 令 f(x)=ln(
13、1+x)一 ln(1一 x)一 2x，f(0)=0， f (x)= 0(0x1)， 由 得 f(x)0(0x1)，故当 0x1 时，e 2x )解析：20.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.证明： sin n xcos n xdx=2 n （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 * sin n cos n xdx=2 n1 0 * sin n 2xd(2x)=2 n1 0 sin n xdx=2 n 0 * sin n xdx)解析：22.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：M 1 (0，0，0)，s 1 =1，0，一 1，M 2 (1，0，1)，
14、s 2 =2，一 1，1， =1，0，1，s 1 s 2 =一 1，一 3，一 1， 因为 (s 1 s 2 )=一 20，所以两直线异面 过 M 1 作直线 L 2 L 2 ，L 1 与 L 2 所成的平面为 ：一(x0)3(y0)(z0)=0， 即 ：x+3y+z=0， 所求的距离为 d= )解析：23.把 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D=(r，)0 ，0rsec，则 f(x，y)dxdy= )解析：24.计算 I= (x+3z 2 )dydz+(x 3 z 2 +yz)dzdx 一 3y 2 dxdy，其中为 z=2 一 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 0 ：
15、z=0(x 2 +y 2 4)取上侧，则 I= (x+3z 2 )dydz+(x 3 z 2 +yz)dzdx 一 3y 2 dxdy 由高斯公式得 (x+3z 2 )dydz+(x 3 z 2 +yz)dzdx 一 3y 2 dxdy=一 (1+z)d=一 0 2 (1z)dz dxdy=4 )解析：25.判断级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 a n = ，因为 1，根据比值审敛法，级数 )解析：26.将 f(x)=lnx 展开成 x2 的幂级数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.求微分方程 x 3 y +2x 2 y 一 xy +y=0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x=e t ，则 xy =D，x 2 y =D(D 一 1)，x 3 y =D(D1)(D 一 2)，即 xy = ，原方程化为 +y=0，特征方程为 3 一 2 一 +1=0，解得特征值为 1 =1， 2 = 3 =1，则方程 +y=0 的通解为 y=C 1 e t +(C 2 +C 3 t)e t ，原方程的通解为 y= )解析：
