1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 229 及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.f(x)在一 1，1上连续，则 x=0 是函数 g(x)= （分数：2.00）A.可去间断点B.跳跃间断点C.连续点D.第二类间断点3.设 f(x)在0，+)上连续，在(0，+)内可导，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.函数 f(x)=x 3 一 3x+k 只有一个零点，则 k 的范围为( )（分数：2.00）A.k1B.k1C.k2D.k25.设在区间a，b上
2、f(x)0，f (x)0，f (x)0，令 S 1 = a b f(x)dx，S 2 =f(b)(b 一 a)，S 3 = （分数：2.00）A.S 1 S 2 S 3B.S 2 S 1 S 3C.S 3 S 1 S 2D.S 2 S 3 S 16.设 f(x，y)= （分数：2.00）A.对 x 可偏导，对 y 不可偏导B.对 x 不可偏导，对 y 可偏导C.对 x 可偏导，对 y 也可偏导D.对 x 不可偏导，对 y 也不可偏导7.设三阶常系数齐次线性微分方程有特解 y 1 =e x ，y 2 =2xe x ，y 3 =3e x ，则该微分方程为( )（分数：2.00）A.y 一 y 一
3、y +y=0B.y +y 一 y 一 y=0C.y +2y 一 y 一 2y=0D.y 一 2y 一 y +2y=0二、填空题(总题数：6，分数：12.00)8.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_9.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_10.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 f(x，y)连续，且 f(x，y)=3x+4y+6+()，其中 = （分数：2.00）填空项 1:_12.设 I= （分数：2.00）填空项 1:_13.函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：32.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
4、。_15.设 （分数：2.00）_16.讨论函数 f(x)= （分数：2.00）_17.设 f(x)= （分数：2.00）_18.证明：当 0x1 时， （分数：2.00）_19.求 （分数：2.00）_20.设 f(x)在a，b上连续，且 f(x)0，证明：存在 (a，b)，使得 a f(x)dx= b f(x)dx（分数：2.00）_21.求点 M(1，一 1，2)关于平面 ：x 一 2yz 一 7=0 对称的点的坐标（分数：2.00）_22.求 =x 2 +y 2 +z 2 在 （分数：2.00）_23.把二重积分 （分数：2.00）_24.求曲面积分 （分数：2.00）_25.判断级数
5、 （分数：2.00）_26.将 f(x)= （分数：2.00）_设有幂级数 2 （分数：6.00）(1).求该幂级数的收敛域；（分数：2.00）_(2).证明此幂级数满足微分方程 y 一 y=一 1；（分数：2.00）_(3).求此幂级数的和函数（分数：2.00）_27.求微分方程 y +y=x 2 +3+cosx 的通解（分数：2.00）_考研数学一（高等数学）模拟试卷 229 答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.f(x)在一 1，1上连续，则
6、x=0 是函数 g(x)= （分数：2.00）A.可去间断点 B.跳跃间断点C.连续点D.第二类间断点解析：解析：显然 x=0 为 g(x)的间断点，因为3.设 f(x)在0，+)上连续，在(0，+)内可导，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析： 事实上，取 = f (x)=A，所以存在 X0，当 xX 时，f (x)一 A ，从而 f (x) 当 xX 时，f(x)一 f(X)=f ()(xX) (xX)(Xx)，从而 f(x)f(X)+ 4.函数 f(x)=x 3 一 3x+k 只有一个零点，则 k 的范围为( )（分数：2.00）A.k1B.k1C.k2 D.k2解析
7、：解析： 5.设在区间a，b上 f(x)0，f (x)0，f (x)0，令 S 1 = a b f(x)dx，S 2 =f(b)(b 一 a)，S 3 = （分数：2.00）A.S 1 S 2 S 3B.S 2 S 1 S 3 C.S 3 S 1 S 2D.S 2 S 3 S 1解析：解析：因为函数 f(x)在a，b上为单调减少的凹函数，根据几何意义，S 2 S 4 S 3 ，选(B)6.设 f(x，y)= （分数：2.00）A.对 x 可偏导，对 y 不可偏导B.对 x 不可偏导，对 y 可偏导 C.对 x 可偏导，对 y 也可偏导D.对 x 不可偏导，对 y 也不可偏导解析：解析：因为 不
8、存在，所以 f(x，y)在(0，0)处对 x 不可偏导；因为 7.设三阶常系数齐次线性微分方程有特解 y 1 =e x ，y 2 =2xe x ，y 3 =3e x ，则该微分方程为( )（分数：2.00）A.y 一 y 一 y +y=0 B.y +y 一 y 一 y=0C.y +2y 一 y 一 2y=0D.y 一 2y 一 y +2y=0解析：解析：由 y 1 =e x ，y 2 =2xe x ，y 3 =3e x 为三阶常系数齐次线性微分方程的特解可得其特征值为 1 = 2 =1， 3 =一 1，其特征方程为( 一 1) 2 (+1)=0，即 3 一 2 一 +1=0，所求的微分方程为
9、y 一 y 一 y +y=0，选(A)二、填空题(总题数：6，分数：12.00)8.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：9.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2arcsin*C）解析：解析：10.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*(2ln21)）解析：解析：11.设 f(x，y)连续，且 f(x，y)=3x+4y+6+()，其中 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3dx4dy）解析：解析：因为 f(x，y)连续，所以 f(1，0)=9， 由 f(x，y)=3x+4
10、y+6+()得 z=f(x，y)一f(1，0)=3(x 一 1)+4y+( 12.设 I= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：I= (12ye y2 )dxdy，由二重积分的对称性得 I= 13.函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：f(x)=*）解析：解析：三、解答题(总题数：15，分数：32.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：15.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 x0 时， 所以 A= )解析：16.讨论函数 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当
11、 x(0，e)时，f(x)= =1， 当 x=e 时，f(e)=1， 当 xe 时，f(x)= =lnx， 故 f(x)= )解析：17.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(x)在 x=0 处连续，得 b=0 f (0)= =a， f (0)= =2 由 f(x)在 x=0 处可导，得 a=2， 所以 f(x)= )解析：18.证明：当 0x1 时， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=(1+x)ln(1+x)一 arcsinx，f(0)=0， f (x)=ln(1+x) arcsinx0(0x1)， 由 得当 0x1 时，f(x)0，故 )解
12、析：解析： 等价于(1+x)ln(1+x)19.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.设 f(x)在a，b上连续，且 f(x)0，证明：存在 (a，b)，使得 a f(x)dx= b f(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 g(x)= a x f(t)dt x b f(t)dt，因为 f(x)在a，b上连续，且 f(x)0，所以 g(a)=一 a b f(t)dt0，g(b)= a b f(t)dt0， 由零点定理，存在 (a，b)，使得g()=0，即 a f(x)dx= b f(x)dx)解析：21.求点 M(1，一 1，2)关于平面 ：x 一 2y
13、z 一 7=0 对称的点的坐标（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：过点 M 且垂直于平面丌的直线为 L： ，参数形式为 L： ，代入平面 得直线 L 与 的交点为 T(2，一 3，1)，设对称点为 N(a，b，c)，由 )解析：22.求 =x 2 +y 2 +z 2 在 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F=x 2 +y 2 +z 2 +( 一 1)， =x 2 +y 2 +z 2 在 =1 上的最小值为 min = )解析：23.把二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D 1 =(x，y)0 rsec， D 2 =(x，y) rcsc， )解析：24.求曲面积
14、分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由对称性得 曲面在平面 yOz 上的投影区域为 D：y 2 + ， )解析：25.判断级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 是正项级数，又 n时， 收敛，根据比较审敛法的极限形式，级数 )解析：26.将 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：设有幂级数 2 （分数：6.00）(1).求该幂级数的收敛域；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 )解析：(2).证明此幂级数满足微分方程 y 一 y=一 1；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=2+ ， 则 f (x)= ， f (x)
15、=1+ )解析：(3).求此幂级数的和函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f (x)一 f(x)=一 1 得 f(x)=C 1 e x +C 2 e x +1，再由 f(0)=2，f (0)=0得 )解析：27.求微分方程 y +y=x 2 +3+cosx 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为 2 +1=0，特征值为 1 =一 i， 2 =i，方程 y +y=0 的通解为y=C 1 cosx+C 2 sinx 对方程 y +y=x 2 3，特解为 y 1 =x 2 +1； 对方程 y +y=cosx，特解为 xsinx，原方程的特解为 x 2 +1+ xsinx， 则原方程的通解为 y=C 1 cosx+C 2 sinx+x 2 +1 )解析：
