1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 226 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)是不恒为零的奇函数，且 f (0)存在，则 g(x)= （分数：2.00）A.在 x=0 处无极限B.x=0 为其可去间断点C.x=0 为其跳跃间断点D.x=0 为其第二类间断点3.设 f(x)在 x=0 的邻域内有定义，f(0)=1，且 （分数：2.00）A.可导，且 f (0)=0B.可导，且 f (0)=一 1C.可导，且 f (0)=2D.不可导4.设 f(
2、x)二阶连续可导，且 （分数：2.00）A.x=1 为 f(x)的极大点B.x=1 为 f(x)的极小点C.(1，f(1)为 y=f(x)的拐点D.x=1 不是 f(x)的极值点，(1，f(1)也不是 y=f(x)的拐点5.设 M= cos 2 xdx，N= (sin 3 x+cos 4 x)dx，P= （分数：2.00）A.NPMB.MPNC.NMPD.PMN6.设 f(x)= （分数：2.00）A.1+ 2B.1C.D.二、填空题(总题数：6，分数：12.00)7.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_8.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_9.设 z=(x 2 +y 2 ) xy
3、，则 （分数：2.00）填空项 1:_10.曲线 L： （分数：2.00）填空项 1:_11.设 （分数：2.00）填空项 1:_12.以 y=C 1 e 2x +C 2 e x +cosx 为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：32.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_14. （分数：2.00）_15.设 a 1 =1，a 2 =2，3 n2 4a n1 +a n =0，n=1，2，求 （分数：2.00）_16.设 f(x)连续，且 g(x)= 0 x x 2 f(xt)dt，求 g (x)（分数：2
4、.00）_17.求 y= 0 x (1 一 t)arctantdt 的极值（分数：2.00）_18.求 （分数：2.00）_19.求 （分数：2.00）_20.计算 3 （分数：2.00）_21.一直线位于 ：x+y+z+1=0 内、与直线 L： （分数：2.00）_22.设变换 （分数：2.00）_23.改变积分次序并计算 （分数：2.00）_24.计算 （分数：2.00）_25.计算 xz 2 dydz+(x 2 yz 3 )dzdx+(2xy+y 2 z)dxdy，其中为 z= （分数：2.00）_设 a 1 =2，a n1 = （分数：4.00）(1).存在； （分数：2.00）_(2
5、).级数 （分数：2.00）_26.求幂级数 1+ （分数：2.00）_27.求微分方程 y 2y 一 3y=(2x1)e x 的通解（分数：2.00）_考研数学一（高等数学）模拟试卷 226 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)是不恒为零的奇函数，且 f (0)存在，则 g(x)= （分数：2.00）A.在 x=0 处无极限B.x=0 为其可去间断点 C.x=0 为其跳跃间断点D.x=0 为其第二类间断点解析：解析：因为 f (0)存
6、在，所以 f(x)在 x=0 处连续，又因为 f(x)为奇函数，所以 f(0)=0，显然 x=0为 g(x)的间断点，因为 3.设 f(x)在 x=0 的邻域内有定义，f(0)=1，且 （分数：2.00）A.可导，且 f (0)=0B.可导，且 f (0)=一 1 C.可导，且 f (0)=2D.不可导解析：解析：4.设 f(x)二阶连续可导，且 （分数：2.00）A.x=1 为 f(x)的极大点B.x=1 为 f(x)的极小点C.(1，f(1)为 y=f(x)的拐点 D.x=1 不是 f(x)的极值点，(1，f(1)也不是 y=f(x)的拐点解析：解析：由 =2 及 f(x)二阶连续可导得
7、f (1)=0，因为 =20，所以由极限保号性，存在 0，当 0xl 时， 0，从而 5.设 M= cos 2 xdx，N= (sin 3 x+cos 4 x)dx，P= （分数：2.00）A.NPMB.MPNC.NMPD.PMN 解析：解析：6.设 f(x)= （分数：2.00）A.1+ 2B.1C.D. 解析：解析：函数 f(x)的傅里叶级数在 x= 处收敛于二、填空题(总题数：6，分数：12.00)7.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：8.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：9.设 z=(x 2 +
8、y 2 ) xy ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(x 2 y 2 ) xy yln(x 2 y 2 ) ）解析：解析：10.曲线 L： （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：曲线 L： 绕 y 轴一周所得的旋转曲面为 4x 2 +9y 2 +4z 2 =25，n=8x，18y，8z (0，1，2) =0，一 18，16，所求的单位法向量为 e= 11.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：8）解析：解析： 12.以 y=C 1 e 2x +C 2 e x +cosx 为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为
9、1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y +y 一 2y=一 sinx 一 3cosx）解析：解析：特征值为 1 =一 2， 2 =1，特征方程为 2 + 一 2=0，设所求的微分方程为 y +y 一 2y=Q(x)，把 y=cosx 代入原方程，得 Q(x)=sinx 一 3cosx，所求微分方程为 y +y 一 2y=一sinx 一 3cosx三、解答题(总题数：16，分数：32.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：14. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.设 a 1 =1，a 2 =2，3 n2 4a n1 +a
10、n =0，n=1，2，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 3a n2 4a n1 +a n =0，得 3(a n2 一 a n1 )=a n1 一 a n (n=1，2，) 令 b n =a n1 一 a n ，则 b n1 b n =13(n=1，2，)， )解析：16.设 f(x)连续，且 g(x)= 0 x x 2 f(xt)dt，求 g (x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：g(x)=一 x 2 0 x f(xt)d(xt) )解析：17.求 y= 0 x (1 一 t)arctantdt 的极值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 y =(1 一 x)
11、arctanx=0，得 x=0 或 x=1，y =一 arctanx+ ，因为 y (0)=10，y (1)=一 0，所以 x=0 为极小值点，极小值为 y=0；x=1 为极大值点，极大值为 y(1)= 0 1 (1 一 t)arctantdt= 0 1 arctantdt 0 1 tarctantdt=tarctant 0 1 0 1 = )解析：18.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.计算 3 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.一直线位于 ：x+y+z+1=0 内、与直线 L：
12、 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 的交点为(0，一 1，0)； 直线 L 的方向向量为1，0，20，1，1=一 2，一 1，1， 所求直线的方向向量为 s=一 2，一 1，11，1，1=一2，3，一 1， 所求直线为 )解析：22.设变换 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 ， 作为中间变量，则函数关系为 z=f(，)， 则有 将上述式子代入方程 =0， 根据题意得 )解析：23.改变积分次序并计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：改变积分次序得 )解析：24.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由奇偶性得 I= x 2 zdS， )解析：25.计
13、算 xz 2 dydz+(x 2 yz 3 )dzdx+(2xy+y 2 z)dxdy，其中为 z= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由高斯公式得 xz 2 dydz+(x 2 yz 3 )dzdx+(2xy+y 2 z)dxdy = (x 2 y 2 z 2 )d= 0 2 d 0 )解析：设 a 1 =2，a n1 = （分数：4.00）(1).存在； （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 a n1 = 0，所以a n n=1 单调减少，而 a n 0，即a n n=1 是单调减少有下界的数列，根据极限存在准则， )解析：(2).级数 （分数：2.00）_正确答案：(正
14、确答案：由上问得 0 a n 一 a n1 ，对级数 (a n 一 a n1 )，S n =(a 1 一 a 2 )+(a 2 一 a 3 )+(a n 一 a n1 )=2 一 a n1 ，因为 (a n 一 a n1 )收敛，根据比较审敛法，级数 )解析：26.求幂级数 1+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 S(x)=1+ ， 令 S (x)=一 )解析：27.求微分方程 y 2y 一 3y=(2x1)e x 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为 2 +2 一 3=0，特征值为 1 =1， 2 =一 3，则 y +2y 一 3y=0 的通解为 y=C 1 e x +C 2 e 3x 令原方程的特解为 y 0 =x(ax+b)e x ，代入原方程得 ，所以原方程的通解为 y=C 1 e x +C 2 e 3x + )解析：
