1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 225 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)= （分数：2.00）A.连续点B.第一类间断点C.第二类间断点D.不能判断连续性的点3.设 f(x)= （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在，但不连续C.连续，但不可导D.可导4.设 f(x)连续，且 （分数：2.00）A.f(x)在 x=0 处不可导B.f(x)在 x=0 处可导且 f (0)0C.f(x)在 x=0 处取极小值D.f(x)在 x=0 处
2、取极大值5.设 （分数：2.00）A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.敛散性不确定二、填空题(总题数：6，分数：12.00)6.设 a （分数：2.00）填空项 1:_7.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_8.曲线 y=x 4 e x2 (x0)与 x 轴围成的区域面积为 1（分数：2.00）填空项 1:_9.曲线 L： （分数：2.00）填空项 1:_10.设 f(x，y，z)=e x yz 2 ，其中 z=z(x，y)是由 x+y+z+xyz=0 确定的隐函数，则 f x (0，1，一 1)= 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设二阶常系数非齐次线性微分方程 y +y +qy=
3、Q(x)有特解 y=3e 4x +x 2 +3x+2，则 Q(x)= 1，该微分方程的通解为 2（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：34.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_13. （分数：2.00）_14.设 x 1 =2，x= n1 =2+ （分数：2.00）_15.设 0 x2 te t dt+ 0 lny e t dt=e x2 ,求 （分数：2.00）_16.证明：当 x0 时，arctanx+ （分数：2.00）_17.求 （分数：2.00）_18.求 （分数：2.00）_19.求 1 1 （分数：2.00）_20.求直线 L 1
4、 ： 与直线 L 2 ： （分数：2.00）_21.设 =0 且 F 可微，证明： （分数：2.00）_22.改变积分次序 （分数：2.00）_23.计算 （分数：2.00）_计算 L (xy 2 +y)dx(x 2 y+x)dy，其中（分数：4.00）(1).L 从原点沿直线 y=x 到点(1，1)；（分数：2.00）_(2).L 从原点沿抛物线 y=x 2 到点(1，1)（分数：2.00）_24.设： +z 2 =1(z0)，点 P(x，y，z)， 为曲面在点 P 处的切平面，d(x，y，z)为点O(0，0，0)到平面 的距离，计算 （分数：2.00）_25.求级数 （分数：2.00）_2
5、6.求级数 （分数：2.00）_27.设二阶常系数齐次线性微分方程以 y 1 =e 2x ，y 2 =2e x 一 3e 2x 为特解，求该微分方程（分数：2.00）_考研数学一（高等数学）模拟试卷 225 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)= （分数：2.00）A.连续点B.第一类间断点 C.第二类间断点D.不能判断连续性的点解析：解析：当 x0 时，f(x)= =1；当 x=0 时，f(x)= ；当 x0 时，f(x)=x因为 f
6、(0+0)=1，f(0)=3.设 f(x)= （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在，但不连续C.连续，但不可导D.可导 解析：解析：因为 f(0+0)= =0，f(0)=f(00)= g(x)=0，所以 f(x)在 x=0 处连续； =0，即 f (0)=0， 4.设 f(x)连续，且 （分数：2.00）A.f(x)在 x=0 处不可导B.f(x)在 x=0 处可导且 f (0)0C.f(x)在 x=0 处取极小值D.f(x)在 x=0 处取极大值 解析：解析：由 =一 2 得 f(0)=1，由极限的保号性，存在 0，当 0x 时，5.设 （分数：2.00）A.条件收敛B.绝对收敛 C
7、.发散D.敛散性不确定解析：解析：因为 a n (x 一 1) n 在 x=一 1 处收敛，且 a n (一 2) n 收敛，所以 aa n t n 的收敛半径 R2，故当 x=2 时，21R，所以级数 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)6.设 a （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：7.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：8.曲线 y=x 4 e x2 (x0)与 x 轴围成的区域面积为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：9.曲线 L： （分数：2.00）填空项 1
8、:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：所求的曲面为：10.设 f(x，y，z)=e x yz 2 ，其中 z=z(x，y)是由 x+y+z+xyz=0 确定的隐函数，则 f x (0，1，一 1)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：f x (x，y，z)= ，x+y+2+xyz=0 两边对 x 求偏导得 1 =0，将 x=0，y=1，z=一 1 代入得 11.设二阶常系数非齐次线性微分方程 y +y +qy=Q(x)有特解 y=3e 4x +x 2 +3x+2，则 Q(x)= 1，该微分方程的通解为 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案
9、：正确答案：Q(x)=22x+312(x 2 +3x+2)=一 12x 2 一 34x一 19， 通解为 y=(C 1 e 4x +C 2 e 3x +x 2 +3x+2(其中 C 1 ，C 2 为任意常数)）解析：解析：显然 =一 4 是特征方程 2 +q=0 的解，故 q=一 12，即特征方程为 2 + 一12=0，特征值为 1 =一 4， 2 =3 因为 x 2 3x+2 为微分方程 y y 一 12y=Q(x)的一个特解，所以 Q(x)=22x+312(x 2 +3x+2)=一 12x 2 一 34x 一 19，且通解为 y=(C 1 e 4x +C 2 e 3x +x 2 +3x+2
10、(其中 C 1 ，C 2 为任意常数)三、解答题(总题数：17，分数：34.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：13. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：cos(sinx)=1 一 +o(x 4 )， )解析：14.设 x 1 =2，x= n1 =2+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.设 0 x2 te t dt+ 0 lny e t dt=e x2 ,求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程 0 x2 te t dt+ 0 lny e t dt=e x2 两边对 x 求导数得 2xx 2 e x2 )解析：16.证明：
11、当 x0 时，arctanx+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=arctanx+ ，因为 f (x)= 0(x0)，所以 f(x)在(0，+)内单调递减，又因为 )解析：17.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.求 1 1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.求直线 L 1 ： 与直线 L 2 ： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：s 1 =1，一 1，2，s 2 =1，0，一 21，3，1=6，一 3，3=32，一 1，1，设两直线的夹角为 ，则 co
12、s= )解析：21.设 =0 且 F 可微，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =0 两边对 x 求偏导得 )解析：22.改变积分次序 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D=(x，y)0x ，x 2 yx，则 )解析：23.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 令 L 0 ：x 2 +y 2 =r 2 (r0，L 0 在 L 内，L 0 取逆时针)，设 L 0 与 L所围成的多连通区域为 D 1 ，L 0 所围成的单连通区域为 D 2 ， )解析：计算 L (xy 2 +y)dx(x 2 y+x)dy，其中（分数：4.00）(1).L 从原点沿直线 y=x
13、到点(1，1)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： L (xy 2 +y)dx+(x 2 y+x)dy= 0 1 (x 3 +x)dx+(x 3 +x)dx= 0 1 (2x 3 +2x)dx= )解析：(2).L 从原点沿抛物线 y=x 2 到点(1，1)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： L (xy 2 +y)dx+(x 2 y+x)dy= 0 1 (x 5 +x 2 )dx+(x 4 +x)2xdx= 0 1 (3x 5 +3x 2 )dx= )解析：24.设： +z 2 =1(z0)，点 P(x，y，z)， 为曲面在点 P 处的切平面，d(x，y，z)为点O(0，0，0
14、)到平面 的距离，计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：平面 的方程为 +zZ 一 1=0，d(x，y，z)= )解析：25.求级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 =1 得收敛半径为 R=1， 当 x=1 时，因为 0，所以当 x=1 时，级数发散， 故幂级数的收敛域为(一 1，1) 令 S(x)= ， S(0)=3； 故 S(x)= )解析：26.求级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x 2 +x+1=t，则级数化为 的收敛半径为 R=1，注意到 t=x 2 +x+1= ，又 t=1 时，级数 由 x 2 x11 得一 1x0，故级数 的收敛域为一1，0 令 S(x) ，x=一 1，0 时，S(一 1)=S(0)=1，x(一 1，0)时， )解析：27.设二阶常系数齐次线性微分方程以 y 1 =e 2x ，y 2 =2e x 一 3e 2x 为特解，求该微分方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 y 1 =e 2x ，y 2 =2e x 一 3e 2x 为特解，所以 e 2x ，e x 也是该微分方程的特解，故其特征方程的特征值为 1 =一 1， 2 =2，特征方程为(+1)( 一 2)=0 即 2 一 一 2=0，所求的微分方程为 y 一 y 一 2y=0)解析：
