1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 222 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.当 x1 时，f(x)= （分数：2.00）A.2B.0C.D.不存在但不是3.设 f(x)可导，且 F(x)=f(x)(1+sinx)在 x=0 处可导，则( )（分数：2.00）A.f(0)=0B.f (0)=0C.f(0)=f (0)D.f(0)=一 f (0)4.设平面区域 D：1x 2 +y 2 4，f(x，y)是区域 D 上的连续函数，则 （分数：2.00）A.2
2、1 2 rf(r)drB.2 1 2 rf(r)dr 一 0 1 rf(r)drC.2 1 2 rf(r 2 )drD.2 0 2 rf(r 2 )dr 0 1 rf(r 2 )dr5.设 k0，且级数 （分数：2.00）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.敛散性与 k 的取值有关二、填空题(总题数：7，分数：14.00)6.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_7.设函数 y=y(x)由 e 2xy cos(xy)=e 一 1 确定，则曲线 y=y(x)在 x=0 对应点处的法线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_8. 0 x 7 e x2 dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_
3、9.过点 M 0 (1，一 1，2)且与直线 L 1 ：x+2yz 一 2=0 与 L 2 ：xyz 一 4=0 都平行的平面为 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设 z=f(x，y)是由 e 2yz +x+y 2 +z= 确定的函数，则 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 f(x，y，z)=x 2 一 y 2 +2z 2 ，则 div(gradf)= 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设 y=y(x)过原点，在原点处的切线平行于直线 y=2x+1，又 y=y(x)满足微分方程 y 一 6y +9y=e 3x ，则 y(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总
4、题数：16，分数：32.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_14.求 （分数：2.00）_15.设 b0，且 （分数：2.00）_16.设 f(x)= （分数：2.00）_17.设 f(x)在0，1上二阶连续可导且 f(0)=f(1)，又f (x)M，证明：f (x) （分数：2.00）_18.计算 （分数：2.00）_19.求 （分数：2.00）_20.求 （分数：2.00）_21.设 f(t)= 1 t e x2 dx，求 0 1 t 2 f(t)dt（分数：2.00）_22.求过点 M(1，一 2，2)且与直线 L： （分数：2.00）_设直线 L： （分数：4.
5、00）(1).求由曲面及 y=0，y=2 所围成的几何体 的体积（分数：2.00）_(2).设 为均匀的几何体，求该几何体的质心（分数：2.00）_23.设 =f(x，y，z)有连续的偏导数，y=y(x)，z=z(x)分别由方程 e xy 一 y=0 与 e z 一 xz=0 确定，求 （分数：2.00）_24.求 I= ，其中为 x 2 +y 2 +z 2 =1 被 z= （分数：2.00）_25.求幂级数 （分数：2.00）_26.求幂级数 （分数：2.00）_27.一条曲线经过点(2，0)，且在切点与 y 轴之间的切线长为 2，求该曲线（分数：2.00）_考研数学一（高等数学）模拟试卷
6、222 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.当 x1 时，f(x)= （分数：2.00）A.2B.0C.D.不存在但不是 解析：解析：显然 =+，而3.设 f(x)可导，且 F(x)=f(x)(1+sinx)在 x=0 处可导，则( )（分数：2.00）A.f(0)=0 B.f (0)=0C.f(0)=f (0)D.f(0)=一 f (0)解析：解析：F(0)=f(0)， F (0)= =f (0)一 f(0)； F (0)= 4.设平面区域 D：
7、1x 2 +y 2 4，f(x，y)是区域 D 上的连续函数，则 （分数：2.00）A.2 1 2 rf(r)dr B.2 1 2 rf(r)dr 一 0 1 rf(r)drC.2 1 2 rf(r 2 )drD.2 0 2 rf(r 2 )dr 0 1 rf(r 2 )dr解析：解析： 5.设 k0，且级数 （分数：2.00）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛 D.敛散性与 k 的取值有关解析：解析：因为 都收敛，所以二、填空题(总题数：7，分数：14.00)6.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：7.设函数 y=y(x)由 e 2xy cos(xy
8、)=e 一 1 确定，则曲线 y=y(x)在 x=0 对应点处的法线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=*x1）解析：解析：当 x=0 时，y=1，e 2xy 一 cos(xy)=e 一 1 两边对 x 求导得 e 2xy (2+ )sin(xy)(y+ )=0，将 x=0，y=1 代入得 =一 2，故所求法线方程为 y 一 1= (x 一 0)，即 y= 8. 0 x 7 e x2 dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析： 0 x 7 x x2 dx= 0 x 6 e x2 d(x 2 )= 0 t 3 e t dt
9、= 9.过点 M 0 (1，一 1，2)且与直线 L 1 ：x+2yz 一 2=0 与 L 2 ：xyz 一 4=0 都平行的平面为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x+z 一 3=0）解析：解析：所求平面的法向量为 n=1，2，一 11，一 1，一 1=一 3，0，一 3=一31，0，1，所求的平面为 ：(x 一 1)+0(y+1)+(z 一 2)=0，即 ：x+z 一 3=010.设 z=f(x，y)是由 e 2yz +x+y 2 +z= 确定的函数，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：将 代入 e 2yz +x+y 2 +
10、z= 中得 z=0，e 2yz +x+y 2 +z= 两边求微分得 2e 2yz (zdy+ydz)+dx+2ydy+dz=0，将 x= ，y= ，z=0 代入得 11.设 f(x，y，z)=x 2 一 y 2 +2z 2 ，则 div(gradf)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：gradf= =2x，一 2y，4z， 则 div(gradf)=12.设 y=y(x)过原点，在原点处的切线平行于直线 y=2x+1，又 y=y(x)满足微分方程 y 一 6y +9y=e 3x ，则 y(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案
11、：y(x)=2xe 3x ）解析：解析：由题意得 y(0)=0，y (0)=2，y 一 6y +9y=e 3x 的特征方程为 2 6+9=0，特征值为 1 = 2 =3，令 y 一 6y +9y=e 3x 的特解为 y 0 (x)=ax 2 e 3x ，代入得 a= ，故通解为 y=(C 1 +C 2 x)e 3x + x 2 e 3x 由 y(0)=0，y (0)=2 得 C 1 =0，C 2 =2，则 y(x)=2xe 3x + 三、解答题(总题数：16，分数：32.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：14.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解
12、析：15.设 b0，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 0f(x)=x =0=f(0)，故 f(x)在 x=0 处连续 由 =1得 f (0)=1， 再由 )解析：17.设 f(x)在0，1上二阶连续可导且 f(0)=f(1)，又f (x)M，证明：f (x) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式得 f(0)=f(x)+f (x)(0 一 x)+ (0 一 x) 2 ，(0，x)， f(1)=f(x)+f (x)(1x)+ (1 一 x) 2 ，(x，1)， 两式相减得 f (x)= f
13、()x 2 一 f ()(1 一 x) 2 ， 取绝对值得f (x) x 2 +(1 一 x) 2 ， 因为 x 2 x，(1 一 x) 2 1 一 x，所以 x 2 +(1 一 x) 2 1，故f (x) )解析：18.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设 f(t)= 1 t e x2 dx，求 0 1 t 2 f(t)dt（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 1 t 2 f(t)dt= 0 1 f(t)d(t 3 )= f(t)
14、 0 1 0 1 t 3 e t2 dt， 因为 f(1)=0，所以 )解析：22.求过点 M(1，一 2，2)且与直线 L： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：所求平面的法向量为 n=s 1 s 2 =2，1，一 10，1，一 1=0，2，2，于是所求平面方程为 ：2(y+2)+2(z 一 2)=0，即 ：y+z=0)解析：设直线 L： （分数：4.00）(1).求由曲面及 y=0，y=2 所围成的几何体 的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 M(x，y，z)，M 所在的圆与 L 的交点为 M 0 (x 0 ，y，z 0 )，圆心为T(0，y，0)，由MT=M 0 T得
15、 x 2 +z 2 =x 0 2 +z 0 2 ， 由 代入得：x 2 +z 2 =1+4y+5y 2 ，所求的几何体体积为 V= )解析：(2).设 为均匀的几何体，求该几何体的质心（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设质心坐标为 ， )解析：23.设 =f(x，y，z)有连续的偏导数，y=y(x)，z=z(x)分别由方程 e xy 一 y=0 与 e z 一 xz=0 确定，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： ，方程 e xy 一 y=0 两边对 x 求导得方程 e z xz=0 两边对 x 求导得 ，则 )解析：24.求 I= ，其中为 x 2 +y 2 +z 2 =1
16、 被 z= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 得曲面在 xOy 平面上的投影区域为 D xy ：x 2 +y 2 ， )解析：25.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =1 得收敛半径为 R=1，又当 x=1 时，得级数收敛，收敛域为(一 1，1)解析：26.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x+1=t， =1 得收敛半径为 R=1，当 t=1 时，因为 (1) n 0，所以收敛区间为一 1t1，从而一 2x0 )解析：27.一条曲线经过点(2，0)，且在切点与 y 轴之间的切线长为 2，求该曲线（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设切点为 P(x，y)，曲线上 P 点处的切线为 Yy=y (Xx)，令 X=0，得 Y=y 一xy ，切线与 y 轴的交点为 Q(0，yxy )，由题意得 x 2 +x 2 y 2 =4，解得 y = ，变量分离得 dy= dx，积分得 y= +C，由 y(2)=0，得 C=0，所求的曲线为 y= )解析：
