1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 221 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.极限 （分数：2.00）A.等于 1B.为C.不存在但不是D.等于 03.设区域 D 由 x=0，y=0，x+y= ，x+y=1 围成，若 I 1 = ln(x+y) 3 dxdy，I 2 = (xy) 3 dxdy，I 3 = （分数：2.00）A.I 1 I 2 I 3B.I 2 I 3 I 1C.I 1 I 2 I 3D.I 2 I 3 I 14.级数 （分数：2.00）A
2、.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.敛散性不确定二、填空题(总题数：7，分数：14.00)5.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_6. （分数：2.00）填空项 1:_7.= 1(其中口为常数) （分数：2.00）填空项 1:_8.设 a，b 为单位向量，且两向量的夹角为 （分数：2.00）填空项 1:_9.设 z=z(x，y)由 z+e z =xy 2 确定，则 dz= 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设质点在力 F=2xy，x+2y的作用下从点 O(0，0)沿曲线 L：y= （分数：2.00）填空项 1:_11.yy =1+y 2 满足初始条件 y(0)=1，y (0)=0 的解
3、为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：34.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_13.求 （分数：2.00）_14.设 f(x)= （分数：2.00）_15.设 f(x)连续，且对任意的 x，y(一，+)有 f(xy)=f(x)+f(y)+2xy，f (0)=1，求 f(x)（分数：2.00）_16.证明：当 x0 时，e x 1(1+x)ln(1+x)（分数：2.00）_17.设 f(x)在a，b上满足f (x)2，且 f(x)在(a，b)内取到最小值，证明：f (a)+f (b)2(b 一 a)（分数：2.00）_18.计算 （分数：
4、2.00）_19.求 （分数：2.00）_20.设 f(lnx)= （分数：2.00）_21.设 y =arctan(x 一 1) 2 ，y(0)=0，求 0 1 y(x)dx（分数：2.00）_22.求经过点 P 1 (5，一 4，3)和 P 2 (一 2，1，8)及直线 L： （分数：2.00）_设 L 1 ：x 一 1= （分数：4.00）(1).若 L 1 L 2 ，求 ；（分数：2.00）_(2).若 L 1 ，L 2 共面，求 （分数：2.00）_23.设 z=f(x，y)由方程 zyx+xe zyx =0 确定，求 dz（分数：2.00）_24.计算 z 2 ds，其中为锥面 z
5、= （分数：2.00）_25.将 f(x)= （分数：2.00）_26.求幂级数 （分数：2.00）_27.求微分方程 yy =y 2 满足初始条件 y(0)=y (0)=1 的特解。（分数：2.00）_考研数学一（高等数学）模拟试卷 221 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.极限 （分数：2.00）A.等于 1B.为C.不存在但不是 D.等于 0解析：解析：因为当 x n = (n=1，2，)时， 3.设区域 D 由 x=0，y=0，x+y= ，
6、x+y=1 围成，若 I 1 = ln(x+y) 3 dxdy，I 2 = (xy) 3 dxdy，I 3 = （分数：2.00）A.I 1 I 2 I 3B.I 2 I 3 I 1 C.I 1 I 2 I 3D.I 2 I 3 I 1解析：解析：由 x+y1 得ln(x+y) 3 0，于是 I 1 = ln(x+y) 3 dxdy0；当 4.级数 （分数：2.00）A.发散B.条件收敛 C.绝对收敛D.敛散性不确定解析：解析： 又 单调减少且以零为极限，由莱布尼茨审敛法，级数 收敛，而 n时，二、填空题(总题数：7，分数：14.00)5.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：
7、正确答案：e）解析：解析：6. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：7.= 1(其中口为常数) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：8.设 a，b 为单位向量，且两向量的夹角为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：9.设 z=z(x，y)由 z+e z =xy 2 确定，则 dz= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：z+e z =xy 2 两边求微分得 d(z+e z )=d(xy 2 )，即 dz+e z dz=y 2 dx+2xydy， 解得
8、dz= 10.设质点在力 F=2xy，x+2y的作用下从点 O(0，0)沿曲线 L：y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：所做的功为 W= L (2xy)dx+(x+2y)dy= (2xy)dx+(x+2y)dy 而 (2xy)dx+(x+2y)dy=一 dxdy=一 ， 11.yy =1+y 2 满足初始条件 y(0)=1，y (0)=0 的解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：lny*=x）解析：解析：令 y =p，则 ，解得 ln(1+p 2 )=lny 2 +lnC 1 ，则 1+p 2 =C 1 y 2 ，由 y(0)
9、=1，y (0)=0 得 y = ，lny+ +C 2 =x，由 y(0)=1 得 C 2 =0，所以特解为 lny 三、解答题(总题数：17，分数：34.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：13.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)= 因为 f(x)是连续函数，所以 f(一 10)=一 1=f(一 1)= (ab一 1)=f(一 10)=ab， f(1 一 0)=a+b=f(1)= )解析：15.设 f(x)连续，且对任意的 x，y(一，+)有 f(xy)=f(x)+f(
10、y)+2xy，f (0)=1，求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x=y=0 时，f(0)=2f(0)，于是 f(0)=0 对任意的 x(一，+)， f (x)= = )解析：16.证明：当 x0 时，e x 1(1+x)ln(1+x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=e x 一 1 一(1+x)ln(1+x)，f(0)=0， f (x)=e x 一 ln(1+x)一 1，f (0)=0；f (x)=e x 一 )解析：17.设 f(x)在a，b上满足f (x)2，且 f(x)在(a，b)内取到最小值，证明：f (a)+f (b)2(b 一 a)（分
11、数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在(a，b)内取到最小值，所以存在 c(a，b)，使得 f(c)为 f(x)在a，b上的最小值，从而 f (c)=0 由微分中值定理得 ，其中 (a，c)，(c，b)， 两式取绝对值得 )解析：18.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.设 f(lnx)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设 y =arctan(x 一 1) 2 ，y(0)=0，求 0 1 y(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 1 y(x)d
12、x=xy(x) 0 1 一 0 1 xarctan(x1) 2 dx =y(1)一 0 1 (x1)arctan(x 一 1)arctan(x 一 1) 2 d(x1) 0 1 arctan(x 一 1) 2 dx = 0 1 arctan(x 一 1) 2 d(x1) 2 = 0 1 arctantdt = )解析：22.求经过点 P 1 (5，一 4，3)和 P 2 (一 2，1，8)及直线 L： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 =t 得 x=2+t，y=1 一 t，z=一 3t，代入 xy+z=0 中得 t=1，则直线 L：与平面 ：xy+z=0 交点为 M(3，0，一 3
13、)， )解析：设 L 1 ：x 一 1= （分数：4.00）(1).若 L 1 L 2 ，求 ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 L 1 ：x 一 1= )解析：(2).若 L 1 ，L 2 共面，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：s 1 =1，2，s 2 =1，1，1，s 1 s 2 =1，2，1，1，1=2 一 ，1，一 1，M 1 (1，1，1)L 1 ，M 2 (一 1，1，0)L 2 ，p= =2，0，1，L 1 ，L 2 共面的充分必要条件是(s 1 s 2 ) )解析：23.设 z=f(x，y)由方程 zyx+xe zyx =0 确定，求 dz（分数：2.
14、00）_正确答案：(正确答案：对 zyx+xe zyx =0 两边求微分，得 dz 一 dydx+e zyx dx+xe zyx (dzdydx)=0，解得 dz= )解析：24.计算 z 2 ds，其中为锥面 z= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲面在 xOy 平面上的投影区域为 D xy ：x 2 +y 2 4 )解析：25.将 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：幂级数 x n 的收敛半径为 R=+，收敛区间为(，+) )解析：27.求微分方程 yy =y 2 满足初始条件 y(0)=y (0)=1 的特解。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 y =p，则 y = =0，当 p=0 时，y=1 为原方程的解；当 p0 时，由 =0，解得 p= =C 1 y，由 y(0)=y (0)=1 得 C 1 =1，于是 )解析：
