1、考研数学一(高等数学)模拟试卷 221 及答案解析(总分:56.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:4,分数:8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.极限 (分数:2.00)A.等于 1B.为C.不存在但不是D.等于 03.设区域 D 由 x=0,y=0,x+y= ,x+y=1 围成,若 I 1 = ln(x+y) 3 dxdy,I 2 = (xy) 3 dxdy,I 3 = (分数:2.00)A.I 1 I 2 I 3B.I 2 I 3 I 1C.I 1 I 2 I 3D.I 2 I 3 I 14.级数 (分数:2.00)A
2、.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.敛散性不确定二、填空题(总题数:7,分数:14.00)5.= 1 (分数:2.00)填空项 1:_6. (分数:2.00)填空项 1:_7.= 1(其中口为常数) (分数:2.00)填空项 1:_8.设 a,b 为单位向量,且两向量的夹角为 (分数:2.00)填空项 1:_9.设 z=z(x,y)由 z+e z =xy 2 确定,则 dz= 1(分数:2.00)填空项 1:_10.设质点在力 F=2xy,x+2y的作用下从点 O(0,0)沿曲线 L:y= (分数:2.00)填空项 1:_11.yy =1+y 2 满足初始条件 y(0)=1,y (0)=0 的解
3、为 1(分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:17,分数:34.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_13.求 (分数:2.00)_14.设 f(x)= (分数:2.00)_15.设 f(x)连续,且对任意的 x,y(一,+)有 f(xy)=f(x)+f(y)+2xy,f (0)=1,求 f(x)(分数:2.00)_16.证明:当 x0 时,e x 1(1+x)ln(1+x)(分数:2.00)_17.设 f(x)在a,b上满足f (x)2,且 f(x)在(a,b)内取到最小值,证明:f (a)+f (b)2(b 一 a)(分数:2.00)_18.计算 (分数:
4、2.00)_19.求 (分数:2.00)_20.设 f(lnx)= (分数:2.00)_21.设 y =arctan(x 一 1) 2 ,y(0)=0,求 0 1 y(x)dx(分数:2.00)_22.求经过点 P 1 (5,一 4,3)和 P 2 (一 2,1,8)及直线 L: (分数:2.00)_设 L 1 :x 一 1= (分数:4.00)(1).若 L 1 L 2 ,求 ;(分数:2.00)_(2).若 L 1 ,L 2 共面,求 (分数:2.00)_23.设 z=f(x,y)由方程 zyx+xe zyx =0 确定,求 dz(分数:2.00)_24.计算 z 2 ds,其中为锥面 z
5、= (分数:2.00)_25.将 f(x)= (分数:2.00)_26.求幂级数 (分数:2.00)_27.求微分方程 yy =y 2 满足初始条件 y(0)=y (0)=1 的特解。(分数:2.00)_考研数学一(高等数学)模拟试卷 221 答案解析(总分:56.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:4,分数:8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.极限 (分数:2.00)A.等于 1B.为C.不存在但不是 D.等于 0解析:解析:因为当 x n = (n=1,2,)时, 3.设区域 D 由 x=0,y=0,x+y= ,
6、x+y=1 围成,若 I 1 = ln(x+y) 3 dxdy,I 2 = (xy) 3 dxdy,I 3 = (分数:2.00)A.I 1 I 2 I 3B.I 2 I 3 I 1 C.I 1 I 2 I 3D.I 2 I 3 I 1解析:解析:由 x+y1 得ln(x+y) 3 0,于是 I 1 = ln(x+y) 3 dxdy0;当 4.级数 (分数:2.00)A.发散B.条件收敛 C.绝对收敛D.敛散性不确定解析:解析: 又 单调减少且以零为极限,由莱布尼茨审敛法,级数 收敛,而 n时,二、填空题(总题数:7,分数:14.00)5.= 1 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:
7、正确答案:e)解析:解析:6. (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:7.= 1(其中口为常数) (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:8.设 a,b 为单位向量,且两向量的夹角为 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:9.设 z=z(x,y)由 z+e z =xy 2 确定,则 dz= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:z+e z =xy 2 两边求微分得 d(z+e z )=d(xy 2 ),即 dz+e z dz=y 2 dx+2xydy, 解得
8、dz= 10.设质点在力 F=2xy,x+2y的作用下从点 O(0,0)沿曲线 L:y= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:4)解析:解析:所做的功为 W= L (2xy)dx+(x+2y)dy= (2xy)dx+(x+2y)dy 而 (2xy)dx+(x+2y)dy=一 dxdy=一 , 11.yy =1+y 2 满足初始条件 y(0)=1,y (0)=0 的解为 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:lny*=x)解析:解析:令 y =p,则 ,解得 ln(1+p 2 )=lny 2 +lnC 1 ,则 1+p 2 =C 1 y 2 ,由 y(0)
9、=1,y (0)=0 得 y = ,lny+ +C 2 =x,由 y(0)=1 得 C 2 =0,所以特解为 lny 三、解答题(总题数:17,分数:34.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析:13.求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:14.设 f(x)= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:f(x)= 因为 f(x)是连续函数,所以 f(一 10)=一 1=f(一 1)= (ab一 1)=f(一 10)=ab, f(1 一 0)=a+b=f(1)= )解析:15.设 f(x)连续,且对任意的 x,y(一,+)有 f(xy)=f(x)+f(
10、y)+2xy,f (0)=1,求 f(x)(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:当 x=y=0 时,f(0)=2f(0),于是 f(0)=0 对任意的 x(一,+), f (x)= = )解析:16.证明:当 x0 时,e x 1(1+x)ln(1+x)(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 f(x)=e x 一 1 一(1+x)ln(1+x),f(0)=0, f (x)=e x 一 ln(1+x)一 1,f (0)=0;f (x)=e x 一 )解析:17.设 f(x)在a,b上满足f (x)2,且 f(x)在(a,b)内取到最小值,证明:f (a)+f (b)2(b 一 a)(分
11、数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 f(x)在(a,b)内取到最小值,所以存在 c(a,b),使得 f(c)为 f(x)在a,b上的最小值,从而 f (c)=0 由微分中值定理得 ,其中 (a,c),(c,b), 两式取绝对值得 )解析:18.计算 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:19.求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:20.设 f(lnx)= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:21.设 y =arctan(x 一 1) 2 ,y(0)=0,求 0 1 y(x)dx(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 0 1 y(x)d
12、x=xy(x) 0 1 一 0 1 xarctan(x1) 2 dx =y(1)一 0 1 (x1)arctan(x 一 1)arctan(x 一 1) 2 d(x1) 0 1 arctan(x 一 1) 2 dx = 0 1 arctan(x 一 1) 2 d(x1) 2 = 0 1 arctantdt = )解析:22.求经过点 P 1 (5,一 4,3)和 P 2 (一 2,1,8)及直线 L: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 =t 得 x=2+t,y=1 一 t,z=一 3t,代入 xy+z=0 中得 t=1,则直线 L:与平面 :xy+z=0 交点为 M(3,0,一 3
13、), )解析:设 L 1 :x 一 1= (分数:4.00)(1).若 L 1 L 2 ,求 ;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 L 1 :x 一 1= )解析:(2).若 L 1 ,L 2 共面,求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:s 1 =1,2,s 2 =1,1,1,s 1 s 2 =1,2,1,1,1=2 一 ,1,一 1,M 1 (1,1,1)L 1 ,M 2 (一 1,1,0)L 2 ,p= =2,0,1,L 1 ,L 2 共面的充分必要条件是(s 1 s 2 ) )解析:23.设 z=f(x,y)由方程 zyx+xe zyx =0 确定,求 dz(分数:2.
14、00)_正确答案:(正确答案:对 zyx+xe zyx =0 两边求微分,得 dz 一 dydx+e zyx dx+xe zyx (dzdydx)=0,解得 dz= )解析:24.计算 z 2 ds,其中为锥面 z= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:曲面在 xOy 平面上的投影区域为 D xy :x 2 +y 2 4 )解析:25.将 f(x)= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:26.求幂级数 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:幂级数 x n 的收敛半径为 R=+,收敛区间为(,+) )解析:27.求微分方程 yy =y 2 满足初始条件 y(0)=y (0)=1 的特解。(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 y =p,则 y = =0,当 p=0 时,y=1 为原方程的解;当 p0 时,由 =0,解得 p= =C 1 y,由 y(0)=y (0)=1 得 C 1 =1,于是 )解析: