1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 220 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)= 0 1cosx sint 2 dt，g(x)= （分数：2.00）A.低阶无穷小B.高阶无穷小C.等价无穷小D.同阶但非等价的无穷小3.设 D：x 2 +y 2 16，则 （分数：2.00）A.40B.80C.20D.604.下列说法正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：12.00)5.= 1 （分数：2.00）填空项 1
2、:_6.设 f()可导，y=f(x 2 )在 x 0 =一 1 处取得增量x=005 时，函数增量y 的线性部分为 015，则f (1)= 1（分数：2.00）填空项 1:_7.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_8.设 z= （分数：2.00）填空项 1:_9.设 (x)可导，(0)=2，且 L xy 2 dx+(X)ydy 与路径无关，则 (1，2) (2，3) xy 2 dx+(x)ydy= 1（分数：2.00）填空项 1:_10.微分方程(2x+3)y =4y 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：18，分数：36.00)11.解答题解答应写出文字
3、说明、证明过程或演算步骤。_12. （分数：2.00）_13.确定常数 a，b 的值，使得 ln(1+2x)+ （分数：2.00）_14.设 f(x)=x(x 一 1)(x2)(x 一 3)(x+100)，求 f (0)（分数：2.00）_15.求曲线 y=f(x)= （分数：2.00）_16.设 ba0，证明： （分数：2.00）_17.计算 （分数：2.00）_18.设 f(x)=sin 3 x+ xf(x)dx，求 0 f(x)dx（分数：2.00）_19.设 f(x 2 一 1)=ln （分数：2.00）_20.设 f(x)= 0 x （分数：2.00）_设直线 y=kx 与曲线 y=
4、 （分数：4.00）(1).求 k，使得 D 1 与 D 2 分别绕 x 轴旋转一周成旋转体体积 V 1 与 V 2 之和最小，并求最小值；（分数：2.00）_(2).求此时的 D 1 +D 2 （分数：2.00）_21.一半径为 R 的球沉入水中，球面顶部正好与水面相切，球的密度为 1，求将球从水中取出所做的功（分数：2.00）_22.求过直线 （分数：2.00）_23.设 xy=xf(z)+yg(z)，且 xf (z)+yg (z)0，其中 z=z(x，y)是 x，y 的函数证明： xg(z) =yf(z) （分数：2.00）_24.计算 I= ，其中 S 是平面 （分数：2.00）_25
5、.判断 （分数：2.00）_26.求幂级数 （分数：2.00）_27.求满足初始条件 y 2x(y ) 2 =0，y(0)=1，y (0)=1 的特解（分数：2.00）_考研数学一（高等数学）模拟试卷 220 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)= 0 1cosx sint 2 dt，g(x)= （分数：2.00）A.低阶无穷小B.高阶无穷小C.等价无穷小 D.同阶但非等价的无穷小解析：解析：当 x0 时，g(x) ，3.设 D：x 2
6、+y 2 16，则 （分数：2.00）A.40B.80 C.20D.60解析：解析： 4.下列说法正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：(A)不对，如 N =(一 3) n1 ，显然 发散； (B)不对，如 n = 发散； (C)正确，因为 =0，存在 N0，当 nN 时，0 n 1，从而 0 n 2 n 1，由比较审敛法得 n 2 收敛； (D)不对，如 n = 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)5.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：6.设 f()可导，y=f(x 2 )在 x 0 =一 1 处取得增量x=005
7、 时，函数增量y 的线性部分为 015，则f (1)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 dy=2xf (x 2 )x 得 dy x=1 =一 2f (1)005=一 01f (1)，因为y 的线性部分为 dy，由一 01f (1)=015 得 f (1)= 7.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*ln3）解析：解析： 1 5 f(x1)dx= 1 5 f(x 一 1)d(x 一 1)= 2 4 f(x)dx = 2 0 f(x)dx+ 0 4 f(x)dx = = 8.设 z= （分数：2.00）填空项 1:_
8、 （正确答案：正确答案：*）解析：解析：9.设 (x)可导，(0)=2，且 L xy 2 dx+(X)ydy 与路径无关，则 (1，2) (2，3) xy 2 dx+(x)ydy= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：21）解析：解析：由 2xy= (x)y 得 (x)=2x，解得 (x)=x 2 +C， 由 (0)=2 得 (x)=x 2 +2，故 (1，2) (2，3) xy 2 dx+(x)ydy= (1，2) (2，3) xy 2 dx+(x 2 +2)ydy= (1，2) (2，3) d( x 2 y 2 y 2 )=( 10.微分方程(2x+3)y =4y 的
9、通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y= ）解析：解析：令 y =p，则 ，两边积分得 lnp=ln(2x+3) 2 +lnC 1 ，或 y =C 1 (2x+3) 2 ， 于是 y= 三、解答题(总题数：18，分数：36.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：12. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：13.确定常数 a，b 的值，使得 ln(1+2x)+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 ln(1+2x)=2x 一 +(x 2 )=2x 一 2x 2 +(x 2 )， =(ax1 一bx+(x)=ax 一
10、 abx 2 +(x 2 )， 得 ln(1+2x) =(a+2)x(ab+2)x 2 +(x 2 )， 于是 )解析：14.设 f(x)=x(x 一 1)(x2)(x 一 3)(x+100)，求 f (0)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f (x)=(x 一 1)(x+2)(x+100)+x(x+2)(x+100)+x(x 一 1)(x 一 99) 得 f (0)=(一 1)2(一 3)100=100！)解析：15.求曲线 y=f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 =得曲线无水平渐近线； 由 =得 x=一 1 为铅直渐近线； 由得 x=1 不是铅直渐近线；
11、由 )解析：16.设 ba0，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(t)=lnt，由微分中值定理得 f(b)一 f(a)=f ()(b 一 a)= ， 其中(a，b) 因为 0ab，所以 ， 从而 )解析：17.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.设 f(x)=sin 3 x+ xf(x)dx，求 0 f(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 xf(x)dx=A，则 f(x)=sin 3 x+A， xf(x)=xsin 3 x+Ax 两边积分得 xf(x)dx= xsin 3 xdx+ Axdx， 即 A= xsin 3 xdx=
12、2 0 xsin 3 xdx= 0 sin 3 xdx = ， 从而 f(x)=sin 3 x+ ， 故 0 f(x)dx= )解析：19.设 f(x 2 一 1)=ln （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(x 2 一 1)= ， 再由 f(x)= ， 所以(x)dx= )解析：20.设 f(x)= 0 x （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：设直线 y=kx 与曲线 y= （分数：4.00）(1).求 k，使得 D 1 与 D 2 分别绕 x 轴旋转一周成旋转体体积 V 1 与 V 2 之和最小，并求最小值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由方程组 ，
13、得直线与曲线交点为 因为 V (k)0，所以函数 V(k)当 k= 时取最小值，且最小值为 )解析：(2).求此时的 D 1 +D 2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 S(k)= ，所以此时 S= )解析：21.一半径为 R 的球沉入水中，球面顶部正好与水面相切，球的密度为 1，求将球从水中取出所做的功（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：以球顶部与水面相切的点为坐标原点，x 轴铅直向下，取x，x+dx 0，2R，由于球的密度与水的密度相同，所以水面以下不做功， d=(2R 一 x)R 2 一(Rx) 2 1gdx=x(2Rx) 2 gdx， W= 0 2R d= )解析：
14、22.求过直线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：s 1 =1，一 1，2，s 2 =1，2，1，n=s 1 s 2 =一 5，一 3，1，所求平面方程为 ：一 5(x 一 2)一 3(y+2)+(23)=0，即 ：一 5x 一 3y+z+1=0)解析：23.设 xy=xf(z)+yg(z)，且 xf (z)+yg (z)0，其中 z=z(x，y)是 x，y 的函数证明： xg(z) =yf(z) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：xy=xf(z)+yg(z)两边分别对 x，y 求偏导，得 )解析：24.计算 I= ，其中 S 是平面 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：I= ， 而 S：Z= =1 及 x 轴，y 轴围成的部分 )解析：25.判断 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： ， 因为 0，所以原级数为交错级数 由 收敛， 因为 )解析：26.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：幂级数 n(n+1)x n 的收敛半径为 R=1，收敛区间为(一 1，1) )解析：27.求满足初始条件 y 2x(y ) 2 =0，y(0)=1，y (0)=1 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 y =p，则 y = =x 2 +C 1 ，由 y (0)=1 得 C 1 =1，于是 y = )解析：
