1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 216 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)= 0 x （分数：2.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶但非等价的无穷小D.等价无穷小3.下列结论正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：7，分数：14.00)4.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_5.设 （分数：2.00）填空项 1:_6. 0 x （分数：2.00）填空项 1:_7.设 z=f(x，y)= （分
2、数：2.00）填空项 1:_8.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_9.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_10.设 y=y(x)可导，y(0)=2，令y=y(x+x)一 y(x)，且y= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：18，分数：36.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_12.设 f(x)= （分数：2.00）_13.设 a n = （分数：2.00）_14.确定常数 a，b，c 的值，使得当 x0 时，e x (1+bx+cx 2 )=1+ax+o(x 3 )（分数：2.00）_15.设 y=ln(2+3 x )，求 dy x=0 （分
3、数：2.00）_16.求极限 （分数：2.00）_17.设 f(x)在1，2上连续，在(1，2)内可导，证明：存在 (1，2)，使得 f ()一 f()=f(2)一 2f(1)（分数：2.00）_18.求 （分数：2.00）_19.求 （分数：2.00）_20.求 0 （分数：2.00）_设 f(a)=f(b)=0， a b f 2 (x)dx=1，f (x)Ca，b（分数：4.00）(1).求 a b xf(x)f (x)dx；（分数：2.00）_(2).证明： a b f 2 (x)dx a b x 2 f 2 (x)dx （分数：2.00）_21.设曲线 （分数：2.00）_22.设 a
4、，b 为非零向量，且b=1， （分数：2.00）_23.设 z=fxg(y)，x 一 y，其中 f 二阶连续可偏导，g 二阶可导，求 （分数：2.00）_24.计算 （分数：2.00）_25.设 Q(x，y)在平面 xOy 上具有一阶连续的偏导数，且 L 2xydx+Q(x，y)dy 与路径无关，且对任意的t 有 (0，0) (t，1) 2xydx+Q(x，y)dy= (0，0) (1，t) 2xydx+Q(x，y)dy，求 Q(x，y)（分数：2.00）_26.求幂级数 （分数：2.00）_27.设 y=e x 为微分方程 xy +P(x)y=x 的解，求此微分方程满足初始条件 y(ln2)
5、=0 的特解（分数：2.00）_考研数学一（高等数学）模拟试卷 216 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)= 0 x （分数：2.00）A.高阶无穷小 B.低阶无穷小C.同阶但非等价的无穷小D.等价无穷小解析：解析：3.下列结论正确的是( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：(A)正确，因为 0( 0 + n ) 2 2( n 2 + n 2 )，而 收敛，所以由正项级数的比较审敛法得 ( 0 + n ) 2 收敛； 二
6、、填空题(总题数：7，分数：14.00)4.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a=3，b=一 2；）解析：解析：f(10)=f(1)=a+b，f(1+0)=1， 因为 f(x)在 x=1 处连续，所以 a+b=1； f (1)= =a， f (1)= 5.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*C）解析：解析：f(x)= ，则 f (2x 一 1)dx= f(2x 一 1)+C= 6. 0 x （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：7.设 z=f(x，y)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答
7、案：正确答案：*）解析：解析：8.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*sin1）解析：解析：改变积分次序得 0 1 dy y cosx 2 dx+ 1 2 dy 1 cosx 2 dx= 0 1 dx x 2x cosx 2 dy = 0 1 xcosx 2 dx= 9.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：6）解析：解析：令 S(x)= n 2 x n (一 1x1)，则 10.设 y=y(x)可导，y(0)=2，令y=y(x+x)一 y(x)，且y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由y= =0
8、，解得 y= ，再由 y(0)=2，得 C=2，所以 y=三、解答题(总题数：18，分数：36.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：12.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x1 时，f(x)=1； 当 x=1 时，f(1)= ； 当 x1 时，f(x)= ， 即f(x)= 因为 f(1 一 0)=1f(1+0)= )解析：13.设 a n = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14.确定常数 a，b，c 的值，使得当 x0 时，e x (1+bx+cx 2 )=1+ax+o(x 3 )（分数：2.00）_正确答案：(正
9、确答案：由 e x =1+x+ (x 3 )， )解析：15.设 y=ln(2+3 x )，求 dy x=0 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 得 sinxsin(sinx) x 3 ，于是 )解析：17.设 f(x)在1，2上连续，在(1，2)内可导，证明：存在 (1，2)，使得 f ()一 f()=f(2)一 2f(1)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)= ， 则 (x)在1，2上连续，在(1，2)内可导，且 (1)=(2)=f(2)一 f(1) 由罗尔定理，存在 (1，2)，使得 ()=0， 而
10、 (x)= )解析：解析：由 xf (x)一 f(x)=f(2)一 2f(1)得 =0，从而 =0，辅助函数为 (x)= 18.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.求 0 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：设 f(a)=f(b)=0， a b f 2 (x)dx=1，f (x)Ca，b（分数：4.00）(1).求 a b xf(x)f (x)dx；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： a b xf(x)f (x)dx= )解析：(2).证明： a b f 2 (x)dx a b x
11、2 f 2 (x)dx （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： a b xf(x)f (x)dx= )解析：21.设曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线与 x 轴和 y 轴的交点坐标分别为(a，0)，(0，b)，其中 b=4 一 a，曲线可化为 y= ，对任意的x，x+dx 0，a，dV 2 =2xydx=2x dx 于是 V 2 =2 0 A x a 2 b，根据对称性，有 V 1 = ab 2 于是 V(a)=V 1 (a)+V 2 (a)= a(4 一 a) 令 V (a)= a=2，又 V (2)0，所以 a=2 时，两体积之和最大，且最大值为 V(2)= )解析：
12、22.设 a，b 为非零向量，且b=1， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.设 z=fxg(y)，x 一 y，其中 f 二阶连续可偏导，g 二阶可导，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =g(y)f 1 f 2 ， )解析：24.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 得 z=1，故 在 xOy 平面上的投影区域为 D：x 2 +y 2 3， )解析：25.设 Q(x，y)在平面 xOy 上具有一阶连续的偏导数，且 L 2xydx+Q(x，y)dy 与路径无关，且对任意的t 有 (0，0) (t，1) 2xydx+Q(x，y)dy= (0，0) (1，t) 2xydx+Q(x，y)dy，求 Q(x，y)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为曲线积分与路径无关，所以 )解析：26.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 =3 得收敛半径为 R= )解析：27.设 y=e x 为微分方程 xy +P(x)y=x 的解，求此微分方程满足初始条件 y(ln2)=0 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把 y=e x 代入微分方程 xy +P(x)y=x，得 P(x)=xe x 一 x，原方程化为 y +(e x 一 1)y=1，则 y= +e x ，将 y(ln2)=0 代入 y= )解析：
