1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 215 及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.函数 f(x)=xsinxe cosx ，一x+是( )（分数：2.00）A.有界函数B.单调函数C.周期函数D.偶函数3.在曲线 x=t，y=一 t 2 ，z=t 3 的所有切线中，与平面 x+2y+z=4 平行的切线( )（分数：2.00）A.只有 1 条B.只有 2 条C.至少 3 条D.不存在4.下列说法正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数
2、：7，分数：14.00)5.设 f(x)在 x=a 处可导，则 （分数：2.00）填空项 1:_6.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_7. 0 1 （分数：2.00）填空项 1:_8.设 z= （分数：2.00）填空项 1:_9. 0 1 dy 0 y2 ycos(1 一 x) 2 dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_10.级数 （分数：2.00）填空项 1:_11.设函数 ()可导且 (0)=1，二元函数 z=(x+y)e xy 满足 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：36.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_13.设 f(x
3、)= （分数：2.00）_14.(x0) （分数：2.00）_15.设 x 一(a+bcosx)sinx 为 x0 时 x 的 5 阶无穷小，求 a，b 的值（分数：2.00）_16.设 f(x)可导且 f (0)0，且 （分数：2.00）_17.设 f(x)在0， 上连续，在(0， )内可导，证明：存在 ，(0， )，使得（分数：2.00）_18.设 f(x)在0，1上连续，证明：存在 (0，1)，使得 0 f(t)dt+( 一 1)f()=0（分数：2.00）_19.求 （分数：2.00）_20.求 （分数：2.00）_21.设 f(x)= 1 x e t2 dt，求 0 1 x 2 f(
4、x)dx（分数：2.00）_设 f(x)为连续函数，（分数：6.00）(1).证明： 0 xf(sinx)dx= 0 f(sinx)dx= （分数：2.00）_(2).证明： 0 2 f(sinx)dx=4 （分数：2.00）_(3).求 0 （分数：2.00）_22.求摆线 L： （分数：2.00）_23.设 =f(x+y，x 2 +y 2 )，其中 f 二阶连续可偏导，求 （分数：2.00）_24.计算 (x 2 +y 2 )dxdydz，其中 是由曲线 （分数：2.00）_25.在过点 O(0，0)和 A(，0)的曲线族 y=asinx(a0)中，求一条曲线 L，使沿该曲线从点 O 到
5、A 的积分I= L (1+y 3 )dx+(2x+y)dy 的值最小（分数：2.00）_26.求幂级数 （分数：2.00）_27.求微分方程 （分数：2.00）_考研数学一（高等数学）模拟试卷 215 答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.函数 f(x)=xsinxe cosx ，一x+是( )（分数：2.00）A.有界函数B.单调函数C.周期函数D.偶函数 解析：解析：显然函数为偶函数，选(D)3.在曲线 x=t，y=一 t 2 ，z=t 3 的所有
6、切线中，与平面 x+2y+z=4 平行的切线( )（分数：2.00）A.只有 1 条B.只有 2 条 C.至少 3 条D.不存在解析：解析：在 t=t 0 处曲线的切向量为 T=1，一 2t 0 ，3t 0 2 ，切线与平面 x+2y+z=4 平行的充分必要条件是 nT=0，即 14t 0 +3t 0 2 =0，解得 t 0 = 4.下列说法正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：二、填空题(总题数：7，分数：14.00)5.设 f(x)在 x=a 处可导，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：10f(a)f (a)）解析：解析：因为 f(x)在
7、x=a 处可导，所以 f(x)在 x=a 处连续 6.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*C）解析：解析：7. 0 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：8.设 z= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：9. 0 1 dy 0 y2 ycos(1 一 x) 2 dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*sin1）解析：解析： 0 1 dy 0 y2 ycos(1x) 2 dx= 0 1 cos(1x) 2 dx 1 ydy = 0 1 (1 一 x)cos(1 一
8、x) 2 dx= 10.级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：p*）解析：解析： ， 当11.设函数 ()可导且 (0)=1，二元函数 z=(x+y)e xy 满足 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 x+y=，则 = ()e xy y()e xy ， = ()e xy +x()e xy ， =2 ()e xy +()e xy ， 由 =0 得 2 ()+()=0，或 ()+ ()=0， 解得 ()= ，再由 (0)=1 得 C=1，故 ()= 三、解答题(总题数：17，分数：36.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或
9、演算步骤。_解析：13.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x=0，x=1，x= 为 f(x)的间断点 f(00)= ， 由 f(00)f(0+0)得x=0 为跳跃间断点； )解析：14.(x0) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.设 x 一(a+bcosx)sinx 为 x0 时 x 的 5 阶无穷小，求 a，b 的值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x0 时，x 一(a+bcosx)sinx=x 一 asinx sin2x )解析：16.设 f(x)可导且 f (0)0，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 )解析：17.设
10、 f(x)在0， 上连续，在(0， )内可导，证明：存在 ，(0， )，使得（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 g(x)=cosx，g (x)=一 sinx0(0x )， 由柯西中值定理，存在(0， )，使得 ； 由拉格朗日中值定理，存在 ， 故 )解析：18.设 f(x)在0，1上连续，证明：存在 (0，1)，使得 0 f(t)dt+( 一 1)f()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=x 0 x f(t)dt 一 0 x f(t)dt 因为 (0)=(1)=0，所以由罗尔定理，存在 (0，1)，使得 ()=0 而 (x)= 0 x f(t)dt+(x 一 1
11、)f(x)，故 0 f(t)dt+( 一 1)f()=0)解析：解析：由 0 x f(t)dt+(x1)f(x)=0，得 0 x f(t)dt+xf(x)一 f(x)=0，从而(x 0 x f(t)dt一 0 x f(t)dt) =0，辅助函数为 (x)=x 0 x f(t)dt 一 0 x f(t)dt19.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设 f(x)= 1 x e t2 dt，求 0 1 x 2 f(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：设 f(x)为连续函数，（分数：6.00
12、）(1).证明： 0 xf(sinx)dx= 0 f(sinx)dx= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 I= 0 xf(sinx)dx，则 I= 0 xf(sinx)dx 0 （t)f(sint)(一 dt)= 0 ( 一 t)f(sint)dt = 0 (x)f(sinx)dx= 0 (t)f(sint)(dt)= 0 (t)f(sint)dt = 0 f(sinx)dxI， 则 I= 0 xf(sinx)dx= )解析：(2).证明： 0 2 f(sinx)dx=4 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 2 f(sinx)dx= f(sinx)dx=2 0 f(si
13、nx)dx =2 0 f(sinx)dx=4 0 * f(sinx)dx)解析：(3).求 0 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.求摆线 L： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：V= 0 2a f 2 (x)dx= 0 2a y 2 dx = 0 2 a 3 (1cos) 3 dt=8 0 3 a 3 ( ) 3 dt =32a 3 0 sin 6 =32a 3 I 6 =32a 3 )解析：23.设 =f(x+y，x 2 +y 2 )，其中 f 二阶连续可偏导，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =f 1 +2xf 2 ， =f 1 +2yf 2
14、， =f 11 +2xf 12 +2f 2 +2x(f 21 +2xf 22 )=f 11 +4xf 12 +4x 2 f 22 +2f 2 ， =f 11 +2yf 12 +2f 2 +2y(f 21 +2yf 22 )=f 11 +4yf 12 +4y 2 f 22 +2f 2 则 )解析：24.计算 (x 2 +y 2 )dxdydz，其中 是由曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线 绕 z 轴一周所成的曲面为 z= (x 2 +y 2 )，则=(x，y，z)(x，y)D z ，2z8，其中 D z ：x 2 +y 2 2z，于是 (x 2 +y 2 )dxdydz= 2
15、8 dz (x 2 +y 2 )dxdy= 2 8 dz 0 2 d )解析：25.在过点 O(0，0)和 A(，0)的曲线族 y=asinx(a0)中，求一条曲线 L，使沿该曲线从点 O 到 A 的积分I= L (1+y 3 )dx+(2x+y)dy 的值最小（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：I=I(a)= 0 (1+a 3 sin 3 x)+(2x+asinx)acosxdx= 一 4a )解析：26.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x 一 1=t，显然级数 的收敛半径为 R=1，又当 t=1 时，绝对收敛，所以级数 )解析：27.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x+y=，则 ，变量分离得 )解析：
